1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Покажем, по на этом множестве случайная величина $ (Р-и. н.) постоянна, т. е. Р(0П Я~сопз!))=О. Обозначих! К =зцр (хе: — й: Р (0()(Ц (х))=0). Тогда н!ан»с<н>!=«< 0 !, и: с! с<,!<-а, г<К г — ранна»»»льна !92 ГЛ П Х!!ТЕМ1Т1!ЧЕСКПЕ ОСИОВХНПЯ ТЕОРПИ В!1РОЯТНОСТЕП поскольку, если Р(0()(",Сх))=О, то и Р(0П(е(у!)',=О для всех !!=гсх. П)пьх>К,тогда Р(0() Д х)!)Ои,значит, Р!О() Я)х))=О, поскольку 0 — атом. Поэтому г>К г — р а о йо а а а а а о Итак, Р (О П ($ ) К) ) = Р (О П (ь ( К) ) = О и, значит, Р (О () (с ~ К)) = О.
Общее утверждение (8) следуе~ отсюда в силу того, что 2,0, = 11. Лемма доказана. 7. Задачи, 1. Показать, что случайная величина $ непрерывна, если и только если Р($ =-х) =О для всех х ен)с 2, Если !~ ~ является,У-измеримой, то верно ли, что Ц также У -измерима? 3. Показать, что функция -=ье(о1) является расширенной случайной величиной тогда и только тогда, когда (еп $(!о) ее В) е= У для всех В ~ а(Т(й). 4.
Доказать, что функции х", хг=-гпах (х, О), х-= — ппп(х, О), ~х ~=хо+х- являютси борелевскими, 5. Если е и 11 —:У-измеримы, то (!о: $(!о) —.— 1) (ег)) ~ У. 6. Пусть ~ и 1) — дсе случайные величины на (11, У) и множество А ~ =У. Тогда функция также является случайной величиной.
7. Пусть 51..... -'„— случайные гели Сипы н гр (х!... ха)— борслевская фупкш!я, Показать, что ф,нкция ар(г1(!о)... Са(ы)) также является случайной величиной, 8, Пусть '-„и 1; — дзе случайные величины, принима!ощие значения 1, 2, ..., гаг. Предпо.тожик1, что ге=.У. Пг,казать, что существует такая перестановка (1„1„..., !'о) чисел (1, 2,, йа„ что для каждого 1'= 1, 2, ..., 1т' (!о: К=-1)=(!о: 11 = !а). $ 5. Случайные элементы 1. 11аряду со случайными величинами в теории вероятностей и ее приложениях рассматривают случайные объекты более общей пРиРоды, напРимеР слУчайные «точкигь вектоРы, фУнкции, пРоцессы, поля, множества, меры и т. д.
В связи с этим желательно иметь пояятие случайного Объекта произвольной природы. 5 я слэчапныс элементы Определение 1. Пусть (Я,У) и (Е,а) — два измеримых пространства. Будем говорить, что функция Х == Х(со), определенная на 12 н принимающая значения в Е, есть,У )6-азл[ерил«ая функция, или случайный элемент (со значениями в Е), если для любого В ен8 (ое Х(о») е= В) е= У. Иногда случайные элементы (со значениями в Е) называют также Е-значными случайнымп величинами.
Рассмотрим частные случаи этого определения. Если (Е, е')=(Р,,ЗЗ(Р)), то определение случайного элемента совпадает с определением случайной величины (4 4). Пусть (Е, 6)=(Р»,,Ю(Р")). Тогда случайный элемент Х(ы) есть «случайная точка» в Р". Если я» — проекция Р" на Ью координатную ось, то Х(о») можно представить в виде Х(о[)=(«,(о»), ..., в,(о»)), (2) где с» = и» Х. Из условия (1) вытекает, что $» — обычные случайные величины. Действительно, для любого В ен %(Р) (оп $»(о»): — В)= = (еп $ (о[) ~ Р...,, $» е= Р, Е» ен В, »я» е= Р, ...)= =(оп Х(о») ен(РХ...ХРХВхРХ.. хР)) ев:У, поскольку множество Рх...хРх ВХРх...хР е:-. Я(Р"). О п р е д е л е н и е 2.
Всякий упорядоченный набор случайных величин (51,(со), ..., «[„(о»)) будем называть и-мерным случайным сектором. В соотве[ствии с этим определением всякий случайный элемент Х(со) со значениями в Р" является и-мерным случайным вектором, Справедливо и обратное: всякий случайный вектор Х(о»)=($, (о»), ..., В„(о[)) есть случайный элемент в Р". Действительно, если В» 5=,%(Р), у=1, ..., п, то (ох Х (со) е= (В, Х... х В„) ) = Ц (еп ~» (о>) е= В») е= У'. ».=1 Ио наименьшая о-алгебра, содержащая множества В, х...х В„, совпадает с „Ж(Р"). Тогда из очевидного обобщения леммы 1 из з 3 сразу получаем, что для любого В ен;М (Рл) множество (ьк Х(м) ~ В) принадлежит,У.
Пусть (Е, Ж)=(е„еУ(Я)), где а — множество кооп[лексных чисел г=х+[у, х, у ~ Р, а 55(У) — наименьшая о-алгебра, содсржагцая множества вида (г: г=х+су, а,(х=-.ЬЫ а»(у=-.[э»). Из предыдущего рассмотрения следует, что комп.лекснозначная случайная величина г (о») представляется в виде Л ([о) = Х (о5)+()г(«о), 1Э4 гл. и.
математические основлнпя теоипг вгвоятностеп где Х(сь) и У(в) — случайные величины. Поэтому Л(ы) называют также колтлексными случайными величинами. Пусть (Е, бе)=(е(т, Ю(рг)), где Т вЂ” некоторое подмножесгво числовой прямой. В этом случае всякий случайный элемент Х =- = Х (ы), представимый, очевидно, в виде Х = Я,),мт с в, =и, Х, называют случайной функцией с временным интервалом Т. Так же как и для случайных векторов, устанавливается, что всякая случайная функция яв,чается в то же самое время случайным процессом в смысле следующего определения.
Определение 3. Пусть Т вЂ” некоторое подмножество числовой прямой. Совокупность случайных величин Х = (ьг)г~т называегся случайным процессом с вреггеннылг интерволоч Т. Есл и Т = (1, 2, ...), то Х = (с„3„...) называют случайны н ггроцеееом с дискретньлм временем гглн случайной поеледовапгельноетью. Если Т=('О, 11, ( — со, сс), 10, оо), ..., Х= Я,)г~г называют случайным процессом с непрерывнылг врелгенем. Используя структуру а-алгебр,.%(Яг) (3 2), нетрудно показать, что всякий случайный процесс Х = (Ег)г т (в смысле определения 3) является в то же самое время случайной функцией пространства (рг йд ()от)) Определение 4.
Пусть Х=(ь,), т — случайный процесс. Для каждого фиксированного в я Й функция Д, (ы) )ы~ г называ. ется реализацией или траекторией процесса, соответствующей исходу ы. Г!о аналогии с определением 2 3 4 естественно следующее Определение 5. Пусть Х=(ьвг)ганг — случайный процесс.
Вероятностная мера Рх на()сг, ай()ганг)) с Р„(В) = Р (гь: Х (ы) ен В), В ~ Л гРг), называется раепределенггеи вероятностей процесса Х. Вероятности Рг ...,г (В)=Р(вкгЯг„.„вг)енВ) с 1,(1,(...(1„, 1, ен Т, называются конечномерными вероятностями (нли распределениями вероятностей). Функции Ег,, г (х„..., х„) = — Р (ьк 30 ~ хг ° .* Ег -.- хл) с 1,<1,«...1„, й я Т, называются конечномерными функциямн распределения. Пусть (Е, 8) = (С, Яь(С)), где С вЂ” пространство непрерывных функций х = (хг)г т на Т = [О, 11 с а-алгеброй чйь(С), порожден~ ной открытыми множествами (3 2).
Покажем, что всякий случай. ный элемент Х пространства (С, .Юь(С)) есть в то же самое время случайный процесс с непрерывными траекториями в смысле определения 3. $5 случгпныс элементы В самом деле, согласно э 2 множество А = (х я С: х, < а) есть открытое множество в =и,(С). Поэтому (вн ~г(вг) <а) =(ен Х (ег) ен А) я У. С другой стороны, пусть Х=Дг(вг))г~г есть случайный процесс (в смысле определения 3), траектории которого при каждом ы ~ 11 являются непрерывными функциями. В соответствии с (2.14) (х э= С: хе= 5„(х')) = П (х е= С: ' хг„— х)„~ <р~, гл где (л — рациональные точки отрезка 10, 1).
Поэтому (вг: Х (вг) е= 5 (Х'ы))) = П ~гв; / Ег„(ег) — Ц (вг) ~ < р ~ ~,У', а значит, и (еи Х(вг) е=. В) е= .У лля любого В е— : 93,(С). Аггалогичггые рассуждения показывают также, что всякий случайный элемент пространства (О,;7.',(0)) может рассматриваться ьак случайный процесс с траекториями из пространства функций без разрывов второго рода, и наоборот, 2, Пусть (о, У, Р) — вероятностное пространство и (Е„, е'„)— измеримые пространства, где индекс а принадлежит некоторому (произвольному) множеств) !г(, О п р е д е л е н и е 6.
Будем говорить, что ..У гЖ.„-измеримые функции (Х„(вг)), сс ~ 2(, независимы (ичи независимы в совокупности), если для любого конечного набора индексов а„..., сс, случайные элементы Х„,..., Х„независимы, т. е. Р(Х „енВ,, „Х снВ )=Р(Х„еиВ„,)...Р(Х. енВ,),(3) где В.„ен сч. П)сть 21 = (1, 2, ..., и,', $„— случайные величины, а ~21, и Еь(х,, ..., х.) =Р(с,=х„..., й„--х„) — и-мерная ф)пкция распределения вектора з =(с„,. „Е„).
Пусть Е;, (х,) — ф)нкц«я распределения случайной величины с„г = 1,..., и. Теорема. Д.гч нгоев чигобы слрчаиньгс величины Е„..., В„былгг независилиы, необходимо и досгпагпочнв, чгпооы для всех (х„..., х„) ~ йг" рт(хг, ..., х„) =Е.„„(хг)...Ез (х„). (4) Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности положим а = (а„..., а„), Ь = (Ь,, ..., Ь„) Рг (а, Ь] =Р(вп а, < $г==.Ь,, ..., а„-",„-. Ь„) Рз (а„ЬД=Р (а, <$, =Ь ). 196 Гл, н, ылтемлтнческие Основлния теогни ВЕРОятностеп Тогда в силу (4) и (3.7) и и )2,(а, (2)=Ц["ь;(") "2;(л)1=Ц)22,(п м !=! г=.! и, значит, Р Д, е= =У„..., й„е= !'и) =ЯР !Й е— : )!), (5) ~=! где Е = (ао б,], Зафиксируем )2,..., )„и покажем, что для л!обого В, е=;%(Е) и Р(ь! В $2 ) ''' а ~У ) Ря! — В!)ПРД е — )!)' (6) Г=-2 Пусть .22 — совокупность множеств пз Ю(Я), для которых выпол- НСНО (6).
В аЛ! ВХОЛПТ, ОЧЕВИЛНО, аЛГЕбра Рт МНОХОСТВ, СОСтОя2цпх пз сумх! непгресекаюшихся интервалов вида (! = (Ои Ь!). Поэтому а:~ ~=- а,е ~= тау(тс). Из счетной аддитивности (а следовательно, и непрерывности) вероятностной меры следуег также, что система Л является монотонным классом. Поэтому (см, п. ! ь 2) 12 (2,2') а: 2а ~ Я (22').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
