1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Можно, однако, )тверждать, что на (О,:У ) не существует вероятностной меры Р такой, чтобы сс сужение Р(,У „(т. с. мера Р, рассматриваемая лишь на множествах из .У „) совпадало с Р„, и = 1, 2, ... В самом деле, доп) стим, что такая вероятностная мера Р существует. Тогда (ы: гр~ (оз) =...= гр„(ы) = 1( = Р„(ы: грт (со) = .. ° = <Рл (м) = 1) = 1, (19) для любого и = 1, 2, ... Но (ап ~р, (о>) =...=<р„(сз) = 1) =(О, 1/и) т ((1„ что противоречит (19) и предположению о счетной аддитивности (а значит, и непрерывности в «пуле» 10) функции множеств Р.
!З2 ГЛ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВГРОЯТИОСТЕП Приведем теперь пример вероятностной меры в ()т=, ч%ф. )). Пусть Р, (х), Р. (х), ...— последовательность одномерных функций распределения. Определим функции 6 (х) = Р, (х), 6, (х„х,) = =- Р, (х,)Р,(х,), ... и соответствующие им вероятностные меры на (Р,:%(Р)), (Ю ч%()ч!')), ...
обозначим Ри Р„.,. Тогда из теоремы 3 следует, что в ()т, ч%()т )) существует такая мера Р, что Р(х~)с": (х„..., х„) ев В';=Р„(В), В ~ч%(У~") и, в частности, Р !х~ р: х, ==а,, ..., х„=-..а„) =Р,(а,) ... Р„(а„). Возьмем в качестве Р;(х) — бернуллпееское распределение: О, х<0, Р;(х)= д, О.=--х(1, 1, х=- 1. Тогда можно утверждать, что в пространстве о всех числовых последовательностей х=(х„х„...), х;=О, 1, с а-алгеброй его борелевскнх подмножеств существует вероятностная мера Р такая, что для любого з а! ~1 — ха! Р(х: х,=а„..., х„=а„)=р Заметим, что именно этого результата нам не хватало в первой главе, чтобы сформулировать закон больших чисел в форме (1.5.8). 5.
Измеримые пространства (Рг~, ч%()т )). Пусть Т вЂ” произвольное множество индексов Г ~ Т и )т! — числовая прямая, соответствующая индексу 1. Рассмотрим произвольный конечный неупорядоченный набор т =11„..., 1„] различных индексов 1; ев Т, п--1, и пусть Р,— вероятностная мера на ()с', %()г')) с Р'=В х...хР! . Будем говорить, что семейство вероятностных мер (Р,), где т пробегает множество всех конечных неупорядоченных наборов, является согласованным, если для любых наборов т=(1„..., 1„1 и о=(в„..., ЕА) таких, что о = т Р,((Хчя ..., Х,„): (Хги ..., Х,,) ЕВ В) = =Р,((х,,, ..., х! ):(х,и ..., х,,)е=В) (20) для любого В ~ %()т ). Теорема 4 (теорема Колмогорова о продолж спи и мер ы в Дг, %(!Тг)).
1!ус!пь (Р,) — семейство согласованных вероятноыпных мер на (Р',,% Д')). Тогда суи(ествует и притом единственная вероятностная мера Р на (Р, й()т )) такая, что Р !хе= йг: (х,, ..., х! ) я В) =Р(1, „,,! 1(В) (21) % 3 з'яхиня вггсятнсс|ных мсн для всех неупорядоченньис наборов т=(«с ..., („) различных анденсоз й я Т и В еп;. З(Р«). Доказательство.
Пусть множество Вен:%(Р~). Согласно теорем~ из 3 2 найдется такое счетное множес~во 5 = ',зс зн ...)— ~. Т, что В е= =дЗ Яз), где Рв = Рь х Вн Х... На множествах В я,Ю(Р~) определим функцию (множес|в) Р, полагая Р(В) =,,(В), (22) где Р; — та вероятностная мера, существование которой гарантируется теоремой 3, Мы утверждаем, что Р— именно та мера, существование которой утверждается в теореме.
С этой целью надо, во-первых, проверить, что определение (22) корректно, т, е. приводит к одному и тому же значению Р(В) при разных способах представления множества В, и, во-вторых, что эта функция множеств счетно-аддитнвна. Итак, пусть В ~ ауЯз ) и В ен Ч(Рз ). Ясно, что тогда В ен е ч уф'з ), и поэтомУ достаточно показать, что сели 5 «: — 5', Вен вЗЯз), то Рз(В) =Рз (В). Но ЭЗ(Вз) «: — ЗЯз') и на множествах В вида В =- (х еп Рв: (хнн ..., х,, ) ен Л), А я Я (Р«'), меры Рв (В) и Рз (В) совпадают в силу условия согласованности, Поэтому в силу теоремы 3 они совпадают и для всех множеств В ~ .!З(йв), что и доказывает корректпссзь определения Р (В).
Пусть теперь 1В,.) — некоторая последовательность попарно непересекающихся множеств из «йЗ (Р ). Тогда найдется такое счетное мнсжес'во 5 «: — ' Т, что для любого и В„е= ау(Рз). Тогда поскольку Рз — ьероязностные меры, то Р('В„)=Р,(~В,)= -,(В„)=- Р(В„). Теорсма доказана. 3 а меч а н и е 1. Подчеркнем, что Т вЂ” любое множество индексов.
При этом в силу замечания к теореме 3 настоящая теорема сстается в силе, сели вместо числовых прямых Р, рассматривать любые полные сепарабельные метрические пространства (н (с о-алгсбрами, порожденными открытыми множествами). Замечание 2. Исходное семейство вероятностных мер (Р,) предполагалось заданным для всех неупорядоченных наборов т —-- =((,, ..., („) различных индексов, Иногда в качестве исходного берут ссмейство вероятностных мер(Р,), где т пробегает множесгво всех упорядоченных наборов т = ((,..... („) различных индексов. В этом случае для справедливости теоремы 4 к условию Гл 11 м«т11млт11чсские ОсиОвлния теояии ВеРОятнОстеп (20) недо тогда добавить сше одно 1глосие Гогласоеоннсап1ц: Рр „, )(А, х...хА1)л В(1,,„,,1, (Л1, х...хЛ,, ), (23) где (1,, ..., 1„) — прс извсльная персстаиовка чисел (1...,, и), А! ~ г '(1«т, ), очевидпссть которого как необходимого условия с)шествования вероятносиюй ме( ы Р следует пз (21) (с замен, й 1»(г,,~ ((О! иа Р1,„,! )(В)). Рл дальнейшем мы вссгда будем предполагать, что рассматриваемые паборы т являю!си нецпорлоочсниыии.
Голи Т вЂ” мш жсство па чпсжвой прямоч (или некоторое вполпс упорядочсшцс 1ццжсство), 1о без ограипчсиия общиости мгжяо сч1петь, по рассматриваемые наборы т=-,1(„..., („) такоеьц что (! Р» ... -.(л. Текил! Образом, все «конечпомерные», вероятпосм! дос1аточио задевать ляшь для Таких иаборов т=(1„..., 1„), ) которых (,((«~...~(л. Ра смотрим сей 1ас тот случай, когда Т=(0, со).
В этом слу- Г чае Я сеть пространство всех действительпых функций х —-- = — (х,!1-.«. Важиым примером вероятностной меры иа !1Р!« "', .93(В!« -'1)) являсшя так называемая шшеровская мера, строящаяся следую:цим образом. Рассмотрим се«1ейство («р,(у!х)),-. «гауссовских плотпостсй (цо р при фиксированном х) ! 1р,(р!х) = — е — ь — «1Г и )' 2л! и определим для каждого набора т=((1, ..., 1„1, (1((«(... ((„ и множества В=)1х...х/„У»=(а», (1,), меру Р,(В) по форму:1е Р, (!, х... х У„) =- =~ ...
~ 1рь (а, !О) Гр1. 1. (а» а,)...«р,, (ал,'а„») г(а«...Г(а„(24) 1, 1, (иитегрироваиие понимается в смысле Римана). Затем лля каждого цилиндрического множества « 1, (1Тх...х I„) = (х е- :Я л х, е- =!'„..., х, е= 1„) определим функцию множеств Р, полагая Р(а ! ! (),х...х lл)) л Рр „11(!Тх...х)л). Наглядный смысл такого способа приписывания меры цилиндрическому множеству а ! „,! (11х...х1„) состоит в следующем.
Т"' л 1'(пожество а 1, 1 (1«х...ХУ„) — это множество всех функций, проходящих в моменты („..., (л через «окна» !1, ..., 1'„ (см. рис. 24 р 2). Будем инте претировать Гр,, 1 (и», а1,,) как вероятность того, что частица, выходящая из точки ал, за время % 3 зхдлнпя Вегоятностпых»!ГР— попадет в окрестное!ь точки о„. Тогда то, что в (24) рассматривается произведение плотностей, означает определсшбю независимость приращений смещений движущейся ачастнцы» на щпервалах времени [О, !!), [(„(»[, ..., [(„„1„[.
Так построенное семейство мер [Р,[ являешься, как нетрудно проверить, согласованным и, следовательно, может быть продол- жено до меры на (Ф ' ', ай(Гс!"' ')), Полученная таким образо»! мера играет важную роль в теории вероятностей.
Эта мера бы.!а введена Н, Вип!ероь! и называется опнеровской лерой. б. Задачи. !. П) сть с (х) = Р ( — сс, х[. Показазь справедливость след)!о- ших формул: Р (о, Ь) = г (о) — Е (о), Р (а, о) =- г"(о †) — Е'(а), Р[о, (!1=!с((!) — !"'(о — ), Р[а, (!)=г ((! — ) — В(а — ), Р [хг=г (х) — г (х — ), где г" (х — ) =1)ш Е(д). »'к 2.
Убедиться в справедливости формулы (7). 3. Провести доказазельсзво теоремы 2. 4. Показать, что функция распределения г = г"(х) на Я имеет не более чем счетное число точек разрыва. Справедлив лн соответствующий результат для функций распределения в )7"й б. Показать, что каждая из функций ( 1, х+у'=-.О, 6(х, у) =[х+у) — целая часть х+у, является непрсрывной справа, возрастающей по каждой переменной, но не является (обобщенной) функцией распределения в К'. 6, Пусть )с — мера Лебега — Стилтьеса, отвечающая непрерывной обобщенной функции распределения.
Показать, что если множество А не более чем счетно, то р(А) =О. 7. Пусть с — мощность континуума. Показать, что мощность борелевских множеств в )с" равна с, а лебеговских — 2'. 8. Пусть (Г), Х, Р) — некоторое вероятностное пространство и а:с — алгебра подмножеств Г) такая, что о(а:») = У . Используя принцип подходящих множеств, доказать, что для всякого е ) О и В я.у можно найти такое множество А я о 8', что Р (А с.
В) ( е. 9. Пусть Р— вероятностная мера в (Р', »%()с")). Используя задачу 8, доказать, что для всякого е 0 и В ~ З()с») можно !ВЕ Гл и матам »тг!':гескнв Основания твогн!! ВЕРоятиостсп найти такой компакт А е агу(В"), что А:-В и Р (В ' А) -= е. (Этот результат используется в доказательстве теоремы 1.) 1О. Проверить согласованность мер, задаваемых формулами (21). $4. Случайные величины. 1 1. Пусть . (1),,У ) — некоторое измеримое пространство и ()т, -,.Ю(В)) — числовая прямая с системой борелсвских множссгв аИ (йг). Определение 1. Действительная функпия $=$(ы), определенная на (Й, У), называется У -изглерилгой функ!(ией иди еду!айной величинои, если для любого В и= З Я) (ен! $(а») е= В) ~ У, или, что то же самое, если прообраз «-г(В) = (ы: й(ы) ед В) является измеримым множеством в 1), В том случае, когда (12,:У') =()»г", «б()(г")), ао Я«)-иззгернхгые функции назьвают борелевскигни, Простейшим примером случайной величины является индикатор гл(ы) любого (измеримого) множества А ~..У.
Случайная величина в, представимая в виде к (ы) = "! х!)л, (а!), (2!) где ~" Л! =- 1)„Л, е=,У, будет называться дискрепгной, Если же в (2) сумма конечна, то такая случайная величина будет называться просп!ой. Следуя той же интерпретации, что и в 5 4 главы 1, можно сказать, что случайная величина есть некоторая,''числовая характеристика зксперимента, значения которой зависят от «случая» ь!.
При этом требование измеримссти (1) важно, и вот по какой причине. Если на (Ы,,У ) задана вероятностная мера Р, то тогда имеет смысл говорить о вероятности события (аг: «(а!) ед В), состояшего в том, что значения случайной величины принадлежат некоторому борелевскому множеству В. В втой связи дадим такое Определение 2. Вероятностная мера Рь на ()т, Я()т)) с р:(В)=-Р(ьн»(ы) ~В), В .=.:З(Й), называется распребеленисн вероятностей слуга гно1 ве~ггггинз! «на ()з, «и (Й)) ° гат «е случхпиыв Величины. ! Р! (В) = Х р (хг) (3) !»: х»~вг где р(х») =-Р г!» =х,) =г»Р,(х„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
