1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 27
Текст из файла (страница 27)
!6О гл и. математические основания твоеии вееоятностьп Пространство  — зто пространство упорядоченных числовых последовательностей х=(х„х„...), — оо(х„<оо, я=1, 2..., Обозначим через 1» и В, соответственно интервалы (аы 6„~ и борелевские множества й-й числовой прямой (с координатой х„). Рассмотрим цилиндрические множества РУ(1гХ...Х1д) = (х: х=(хо ха, ...), хг еБ 1и ..., хл ~ 1л), (8) еу (В Х...х В ) .=- (х'. х= (х ...), х е— : В, ..., х„ен В„), (9) а (В")=.',х; (х„..., х„) с= В"), (10) где В" — борелевское множество из;%(В").
Каждый из «цилин- дров» яУ(В,Х...ХВ„) или еу(В") может рассматриваться также как цилиндр с оснсваниями в )Ь'е', я" ', , поскольку е7 (В, Х... Х В„) = .У (В, Х... Х В„Х )т), ,т (В.) =,у (Вял), где В"+'=В" ХВ. Отсюда следует, что как система цилиндров Х(В,х...хВ„), так и система цилиндров 7(В") образуют алгебры. Петрудно проверить, что множества, составленные из объединений непересекающихся цилиндров 7 (1, х... х 1„), также образуют алгебру. Обозначим через .-%()с ), %,()т'") и:%,Я ) наименьшие о-алгебры, содержащие все множества (8), (9) и (10) соответствешю.
(Часто о-алгебру;%,Я ) обозначают,%Я) х~ .%Я) Дх....) Понятно, что %(й ) ~.%,(й"') я;%,(В ). На самом же деле все зти три о-алгебры совпадают. Для доказательства обозначим для каждого и=-1, 2, в „=- ( А нз )(ь" (х: (х„..., х„) е- =А ) ен =% ()с ) ). Пусть В" ен %()с"). Тогда В" ен И'„=:Я ()с"). 1-1о $'„— о-алгебра, а значит, %(Я") — о(б'„) =3'„с Я Я~) и, следовательно, =%,(В' ): — % (В ) Итак, я%(Й ) =а%, (Й ) =а%',(ег' '). В дальнейшем множества нз %(В ) будем называть борелевскнми множествами (в В' ). Замечание. Пусть .%,(й ) — наименьшая а-алгебра, порожденная оласрывыми множествами Я,(х')=(хан)с: р (х, х')<р), х'ен)с", р)0, % 2 АЛГГБРЫ И СИГМА.
АЛГЕБРЫ в меррике р ° (х ха) =-~~' й-"р,(х„лр), А=., ) Тогда лр (о') (задача 7), Приведем иесколько примеров борслеаскик ьшож.с.в в К'": (а) (х ~ )г: зпр х„) арг, (х ~ )2р: !п1 х„< а гр) ())) (х еп)с=: 1'ипх -:.=а), ( х еп )с: !ип х„) а), где, как обычно, Ипг ха= 1п! Бир х, Игпхлллавр )п! х; л т)л л рл~л (с) (х~ )т.: х„-э-)— множество тек хеп)с'", для которых 1ип х„существует и конечен; (г() (х еп йр: Ига х„) а); рр('- - у;~ л ) л=! л а( л";з;,-р рм р р и . р) А=! Чтобы убедиться, например, в том, что множества из (а) входят в систему =Я()г ), достаточно заметить, что (х: зпрх„)а) = ( ) (хг х,) а) еп та Я ), р! (Х: 1ПЕХ„<а) = ! ) (Хг Ха<а) Я Я(Я ). 5.
Измеримое пространство ()гг, Л()7Г)), где Т вЂ” произвольное множество. Пространство глгт — это совокупность действительных функций х=(хр), определенных для 1 еп Т*). В осиовиом иао будет интересовать тот случай, когда Т вЂ” некоторое несчетное подмиожество числовой прямой. Для простоты и определенности можио сейчас предположить, что Т=10, оо). *) В дальнейшем ллн функции из гс используротсн также обозиаченииг л=(хг) Г, к=(хр), гш)с . Г ршп !62 Гл н мгтемгтнчегкне Основ»ппя теОРии аеРОятнОстеи Введем в рассыог)еппе три типа цилиндрических множеств еугр,„,, ! (Тг х... х гг») = (х: хг е= ггг, ..., х е:- у„1, (11) «Г! г (В") =-~Х: (Х,, ..., Хг ) «=В'~, (13) где 1» — лигсжества вида (а», Ь»1, В» — борслевгкие мпожсггга па числовой прямой, а В" — борелсвскос ыножесзво в )г'". гг)пожгстао «7, ! (!'г х...х!„) есть ке что иное, как множество гех ф)нкцп(г, которые в моне!мы 1„..., 1„«проходяг через окна» )„..., !'„, а в остальные моменты принимаюг прпзвольпые значении (рис.
4). Рис. 24. Обозначим через ~% ()сг), етег (Пг) и Ю (Рт) наименьшие о-алгебры, содержашие все цилиндрические множества (11), (12) и (13) соответственно. Ясно, что ,За (О т) ~ »т (рг) «- ««а (рг) (14) 'г!а самом же деле все зги три и-алгебры совпадают между собой. Более того, исчерпывающим образом можно описать и стр)кт)ру их множеств. Т е о р е м а 3.
Пусть Т вЂ” любое несчетное множесагво. Тоегга Ю()«т) =Ю (гтт) =««гд (йг), и любое множество А е.: — «З(ггсг) имеет следуюи(ую структуру: найдется не более чем счетное множегаггго точек 1„1„... из Т и борелееское множество В иэ Я'(й ) !!!акое, чпю А = (х: (хг„хг„, ...) Ен В). (15) Локззательство. Обозначим через Ь' совокупность множеств вида (15) (при различных наборах (г„г„...) и множесгвах В из Э()с )). Еслг! А„А«, ...Ецй и отвечающие им наборы 5 2 АЛГЕБРЫ и СИГМА. АЛГЕБРЫ гвз есть Тп'=4", (",, ...), Т'и=((,"', (';", ...), то множество Т' - ( )Тпн можно взять в качсстве единой системы такой, что все А, будут представлены в виде Л,=-',х: (х,„х,„...) '= В,), где В; — некоторые множества из (одной и той же) о-алгебры РЯ(Я ), а т~ ~ Т Отсюда следует, что система множеств е' образует а-алгебру. Понятно, что эта о-алгебра содерж 1т все цилиндрические мно>кестта видз (1) и, поскольку М, Ят) есть наик|еньщзя о-алгебра, содсржзщая эти множества, то вместо с (14) э1о даст Д(РГ) тд (Рт);.
Бд (Рт) В Рассмотрим множество А пз 8, птедставпмое в виде (!5). Если зафиксировать набор (,',, )Б ...), то тогда те же расс;ждепия, что и в случае пространства (Й, З()А")), показывают,;то множество Л будет элементом о-алгебры, порожденной цилиндрическими множествами (11). Но эта а-алгебра, очезидв ч принадлежит о-алгебре .%()гт), что вместе с (16) и доказывает оба утверждения теоремы. Итак, любое борелсвскос множество А из о-алгебры сЯ(РГ) определяется ограничениями, наложенными на функции х = (х ), ГЕРАТ, не более чем в счетном числе точек )„ГБ, ...
О;сюда следует, в частности, что множества Л, =-,'х: Бор х,<С для всех Г а= [О, 11), А,=-(х: х,=0 по крайней мере для одного г = — (О, 11), Л,=1х: х~ непрерывна в фикспров ппой топ:е (, (О, 11), зависящие от кповедепия» функций в несчстном числе точек, пе обязаны быль бсрслевск1ми. И действительно, все три указанных Апкжсства не прьнадлтхалг «'3(Р<' и). 10кгжси это для игюжества А,. Если А, е= ='В(уча 0), то, соглас,ю доказашой теореме, ьюжно нанти такие точки (1,', )', ) и ин.жссгво В'~ Я(К '), что ~х; Бор х,(С, ( е— : 10, 1]~ =(х: (хааа, хгь ...) Бн В').
Ясно, что функция у, = С вЂ” 1 принадлежит А„и, следовательно, (у...,,.) ен В'. Образуем тогда функцию ( С вЂ” 1, 1 ~ (),", ("„ ...), ) С+1, (Ф()ь (,', ...). !64 гл и мхтсл4хтпчсские сснсалния теории всроятностеи Понятно, что (у... у,,, ...) =-(г!, г„.....), и, следовательно, функция г=(г!) принадлежит ьп!с!кеству х: (х,., )е=В"], Но в то же время ясно, что сна не прингдлежит множеству (х: эцр х, < С].
Полученное противоречие показывает, что А, ей сй(Я!Р и). В связи с неизмеримостью множеств А„А, н Ар по отнсшсншо к о-алгебре %(Я!' '!) в пространстве всех функций х=(!,), Г ~ [О, 1], естественно рассмотреть более узкие классы функций, где эти множества могут оказаться измеримыми.
Интуитивно понятно, что так будет, если в качестве исходного пространства рассмотреть, например, пространство непрерывных функций. 6, Измеримое пространство (С, %(С)). Пусть Т =[О, 1] и С— пространство непрерывных функций х=(х!), 0(1 11. Относительно равномерной метрики р (х, у) = я4р / х, — у, / это пространсмг ство является метрическим. В С можно ввести две о-алгебрлн %(С) — а-алгебру, порожденную цилиндрическими множсщвами, и а-алгебру .%,(С), порожденную открытыми (в метрике р(х, у!) множествами.
Покажем, что на самом деле обе эти о-алгебры совпадают: % (С) = =%р (С). Пусть В = (х: х!, < Ь] — некоторое цилиндрическое множество. Нетрудно убедиться, что это множество является открытым, Отсюда вытгкает, что (х! х, <Ь„..., х! <Ь.] ен,%4(С) и, значи-, ,% (С) == р%р (С).
Обратно, рассмотрим множество Вр — (у у ~ Вр(х')], где х'— нскоторая функция из С и Яр(ха)=(хе= С: звр ~ х! — х! ', <р)— ьвг открьпая сфера с центром в х'. В силу непрерывности функций из С В, = (у ен С: у я Вр (х')) = (у ен С: гпах ! у! — х!"' ,< р) = =Д *(у енС: ,'у, — х7 $<р] енр%(С), (17) !! где 1, — рациональные точки отрезка [О, 1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
