1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Примеры наиболее важных для теории вероятиостей измеримых пространств и способы задаиип вероятиостей ва иих будут даны в последующих двух параграфах. ГЛ. Н. МЛТЕЛ(ЛТИЧЕСКИЕ ОСНОВЛНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Таблица Иитериретачиа теории иисместа Иатсриретаиия теории аерсатисстеа Оба>>>сесина элемент, точка исход, элементарное со. бьггие множество точек А еУ а-алгебра подмножеств множество точек А =()'~,А А () В событие, состоящее в том, что произошло либо А, лабо В пересечение множеств А и В, т. е. множество точек ю, нходящих и вА ивВ А () В (нли АВ) событие, состоящее в том, что одновременно про. изошло и А и В (' А () В=>т> пустое множество множества Л н В не пере- секаются А+В сумма множеств, т. е. объединение непересекающихся множеств разность множеств А н В, т.
е. множество точек, входящих в А, но не входящих в В Л',В событие, состоящее в том, что произошло А, но не произошло В Ах>В событие, состоящее в том, что произошло одно нз событий А или В, но не оба одновременно () Ал сул>ма, т. е. объединение попарно непересекающихся множеств Аа, Аы ". и=! дополнение множества Л, т. е, множество точек ю, не входящих в А объединение множеств А и В, т.
е. множество точек <о, входящих илн в А или в В симметрическая разность множеств, т. е. мно>ке. ство (А'~,В) Ц(В" А) объединение множеств А,, Аа пространство исходов, элементарных событий; достоверное событие а-алгебра событий событие (если ю ан А, то говорят, что наступило событие А) собьпне, состоящее в ненаступлепии события А невозможное событие события А и В несовместны (не могут насту. пать одноврсмевпо) событие, состоящее в том, что произошло одно нз двух несовместных собы- тий событие, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А„Аа, ...
событие, состоящее в наступлении одного из несовлсестных событий А„Лм" !б) й 1. АКспОМАтпКА КОЛМОГОРОВА Продолжение Интер ~ротация теории аероятноетея Интерпретация теории миотнесте Обозначения пересечение множеств Ад, Ам... событие, состоящее в том, что одновременно пронзоштн А, А, возрастающая последовательность собыгнй, сходящихся к событию А Й Ал и=1 возрастающая последовательность множеств Ал, сходящаяся к А, т. е. А, =А!а... и А () Ал л=! Ал(А (или А =1нп 1 Ал) убывающая последовательность множеств Ал, сходящаяся к А, т.
е. А!юАа= ... и А= П Ал а=1 убывающая последовательность событий, сходящихся к собьпию А Ал)А ( илн А = !!Гп 1 Ал) я множество й л.— -1 )пп Ал л (или !1п15цр Ал, или (Ал б. ч.)) 1)гп А„ ! (или 1нп!п1 Ал) событие, состоящее в том, что произойдет бесконечно много событий из Ат, Ая, „, У Ае событие, состоящее в том, что произойдут все события А„Ая, ... за ис. ключением, быть может, только конечного числа множество П Аз з=я 4.
Задачи. 1. Пусть ьз =(г: г ев(О, 1Ц вЂ” множество рациональных точек на [О, 1), оК вЂ” алгебра множеств, каждое из которых является конечной суммой непересекающихся множеств А вида (г: а ( г <: (Ь), (г: ац г(Ь), (!': а< г = Ь), (г; а(г =Ь) и Р(А) =Ь вЂ” а. Показать, что Р(А), А ~ о~, является конечно-аддитивной, но не счетно-аддитивной функцией множеств. 2. Пусть ьз — некоторое счетное множество и У вЂ” совокупность всех его подмножеств.
Положим )с (А) =О, если А конечно и )а(А) =ОО, если А бесконечно. Показать, что функция множеств р конечно-аддитивна, но не счетно-аддитивна. 3. Пусть р — конечная мера на о-алгебре г, А„ бв У', п †. — 1, 2, ... и А = 1ип А, (т. е. Л = !!гп Лл = 1!гп Л ). Показать, что л л и )ь (Л) =1!Гп р (Ал). л !В2 ГЛ П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН р,(Л, В) удовлетворяет неравенству треугольника.
6. Пусть р — конечно-аддитивная мера на алгебре Р=г, множества А„ А„ ... еп в К, попарно не пересекаются и А = ~'„ А! ы« ' Тогда и (А)~ ~', р(А,). ~= ! 7. Доказать, что 1нпенр А„= Ип>!п1А„, Иш !п1 А„= Ип! знр А„ 1пп!п1 А„= Ишэнр А„, Ишзцр(А„() В„) =!Ипзнр Л„() !Ипзнр В„, Игпьнр А„()! Ип !п( В„: — ! Ип знр(А„() В„) ~(ниэнр А, Я Иш енр В„. Если Л,(А нлн А„) Л, то Иш !п1 А„= Ишзнр А„. 8. Пусть (к,) — числовая последовательность и А„=( — со, к„).
Показать, что к = ! !ш енр к„н А = Ип! Енр А„связаны следующим образом: ( — со, к) с=- А с='( — со, л). Иначе говоря, А равно или ( — со, к) нлн ( — оо, к). 9. Привести пример, показывающий, что для мер, принимающих значение +со, из счетной аддитивности не вытекает, вообще говоря, непрерывность в «нуле» (7>. 5 2. Алгебры и о-алгебры, Измеримые пространства 1.
Алгебры и О-алгебры являются составными элементами прн построении вероятностных моделей. Приведем примеры и ряд результатов, относящихся к этим объектам. Пусть 11 — некоторое проел ранство элементарных событий. Очевидным образом системы множеств ,Я, =(ф, (1),,У *=(Л! А ы ТЦ являются и алгебрами, и о-алгебрами.
При этом,р „— тривиаль- ная, самая «бедная» о-алгебра, а,У'« — самая «богатая» о-алгебра, состоящая из всех подмножеств Й. 4. Доказать, что 5. Показать, что ленные по формулам р,(А, В) Р(А ОВ) =Р(А)+Р(В) — 2Р(А() В). «расстояния» р,(А, В) и р«(А, В), опреде- =Р(Ах!В), , если Р(А () В) ФО, О, если Р (А () В) = О, % 2. АЛГЕБРЫ И СИГМА.АЛГЕЭРЫ В случае конечных пространств »1 о-алгебра,р* вполне обозрима, и, как правило, именно ее рассматривают в элементарной теории в качестве системы «событий».
В случае же несчетных пространств класс У * оказывается слишком широким, поскольку иа системе таких множеств не всегда удается «согласованным образом» задать вероятность. Если Л с= (), то система .У-л=(А, А, 3, ()) является также примером алгебры (и о-алгебры), называемой алгеброй (о-алгеброй), порожденной множеством А. Эга система множеств является частным случаем систем, порождаемых разбиениями. А именно, пусть б>=(О О« ") — некоторое счетное разбиение () на непустые множества: г) = ( ~г+ (7«+ ° ~ Р~ П >>> = З ( эь!'. Тогда система о:е' = а(Ю), образованная из множеств, являющихся обьединением конечного числа элементов разбиения, является алгеброй.
Следующая лемма имеет важное значение, поскольку в ней устанавливается приншишальная возможность построения наименьших алгебры и о-алгеоры, содержащих заданную систему множеств. 71 е м м а 1. Пусть е — некоторая система множеств из»г. Тогда существу>от наиленыиая алгебра, обозначаемая сс (о), и наименьшая о-алгебра, обозначаемая о(6), содержащие все множеспма иэ «>. Доказательство. Класс всех подмножеств,У* пространства 11 есть о-алгебра. Таким образом, по крайней мере одна ал~ебра и о-алгебра, содержащие Ж, существуют. Образуем теперь систему я(б), (о(бэ)), состоящую из тех множеств, которые принадле>кат любой алгебре (о-алгебре), содержащей б.
Нетрудно проверить, что такая система есть алгебра(о-алгебра) и к тому же наименьшая. 3 а м е ч а н и е. Систему а (6) (соответственно и (Ж)) часто называют наименьшей алгеброй (соответственно о-алгеброй), порожденной системой множеств 6. Часто возникает вопрос о том, прн каких дополнительных условиях алгебра или какая-нибудь другая система множеств является в то же самое время и о-алгеброй. Приведем несколько результатов в этом направлении. Определение 1. Система >ь подмнохгеств 11 называется монотонным классом, если из того, что А„~ Ж, и=1, 2, ..., и А, 7 А или А„( Л следует, что А ен >». !Ь4 гл и мхтвмлтичвскпе основлния теотш веьоятноствп Пусть 8 — некоторая система множеств. Будем обозначать через р(В) наименьший монотонный класс, содержащий 8.
(Доказательство сущ<ствования такого класса проводится так же, как и в лемме 1.) Лемма 2. Для п1ого чтобы алггбра а,г была а то жг гремя и о-алгеброй, необходимо и достаточно, чпгобы она была монотонны н классом. Доказательство. Каждая о-алгебра является, очевидным образом, монотонным классом. Пусть теперь а г является моно- а тонным классом и А„ен ахг, и = 1, 2, ... Ясно, что В„= О А, ен а б 1=-1 и В„с:-'В„ам Следовательно, по определению монотонного класса В„т ( ) А; ен а Г. Аналогично устанавливается, что П А~ е= а К.
Используя эту лемму, докажем справедливость следующего результата, показывающего, как, отправляясь от алгебры а К, можно с помощью монотонных предельных переходов получить о-алгебру о (а б). Т е о р е м а 1. Пусть а б — алгебра. Тогда р (а К) =о(аГ).
Доказательство. Из леммы 2 р(ахи) о(а~). Поэтому достаточно показать, что р( г') является о-алгеброй. Но система ль'=р(а К) — монотонный класс, поэтому опять-таки по лемме 2 достаточно только установить, что р(ае) является алгеброй. Возьмем А ен ль и покажем, что тогда А ен ль. С этой целью применим часто используемый в дальнейшем приниип подходли!их лгнолсестг, состоящий в следующем, Обозначим Ф=(В: В~ лз, ВАМ) все те множества, которые обладают интересующим нас свойством. Ясно, что аг ы к ~ лг. Установим, что Ф~ — монотонный класс.
Пусть В„~ М, тогда В„е= М, В„~ Ф, и поэтому !!щ (В„~ ь', !(гп у В„~ лг, 1!гп ' В„~ лг, 1!п1 1 В„ен Ж. Следовательно, 1! щ ', В„=!! гп ~ Ва ~ М, 1'нп ~ В„= Вщ 1 В„~ Ж, 1!т у Вь=-1!гп (, В„с= М, !!гп) В,=!пп ~ В„~,ль, а значит, Ф вЂ” монотонный класс. Но Ф ~ ае и Ю вЂ” наименьший монотонный класс.
Поэтому ль= Ф, и если АенМ=р(аб), то 5 2 алГеБРы и сигма.ллгеБРы и А ен ГР, т. е. класс ® замкнут относительно операции взятия дополнения. Покажем теперь, что класс М замкнут относительно взятия пересечения. Пусть А ев М и Мл = (В: В е= ГР, А П В е= М). Из равенств В т ~ (А () Вл) = А П !! ш ~ В„ 1ип ( (А П В,) = А П1ип т В„ СЛЕДУЕТ, ЧтО 2зл — МОНОтОННЫй КЛаСС. Далее, легко проверяется, что (А е= ~в) с,"Ф (В е= л~л). (2) Пусть теперь А ен -Г', тогда поскольку а ~ ~— алгебра, то для всякого Вале множество А ПВ ев а;а' и, значит, ~~ ~=..~,.=..~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
