1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 20
Текст из файла (страница 20)
мАРтингклы Если,%»=а(Ы„), то сгт„-измеримость величин 71,=ь1(ы) эквивалентна предположению, что С конкретными примерами моментов остановки мы уже встречались: таковыми являются моменты т", аг„, введенные в Я 9 и 1О. Эти моменты являются частным случаем моментов остановки вида та = пп' и (О < й = и: $д я А ), о" = щ!п(0-=й =си Е„ен А), (7) являющихся моментами (соответственно первого после нуля и первого) достижения множества А некоторой последовательностью $0,$," $' 4. Теорема !. Пусть $=Яы .Уь)~~к~„— нартингал и т— некоторый момент осгаановки относительно раюигний (сгть), Тогда М (з, ~ 1~,) = $о (8) гдг Ь= Х еьь71 с ь1(ы) (9) (10) М (ьз~! ) г Ф) 1 кт р (г1) ' ~ М (Ь' 71т=1] ' То) МЯ,!В)=- П 1 у — „„, ~~ М[Ма„!Ы,) 7„„.7,)= р (р) ~„М 1М (Ба) 1 в=11 ' (о ~ ~с) Я=3 ь 1 Ъ1 р (111 7„М Йи7(т= (1 ' )о) = 1=! ~» (~~~ М Я~~)о) М Я» ~ О)1 Доказательство (ср.
с доказательством формулы (9.29)). Пусть В ен Ы,. Тогда, пользуясь свойствами условных математических ожиданий и (3), находим, что 118 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕН а следовательно, МД,~Ю,) =Ма„~Ы,)=~,. М5,=0, М5,'=Мт, (11) называемые тождествами Вальда (ср. с (9.29) и (9.30); см. также задачу 1 и теорему 3 в ф 2 гл. И1). 4. Используем теорему 1 для доказательства следующего утверждения. Теорема 2 (теорема о баллотировке). Пусть 11„..., т(„— последовательность независил»ых одинаково распределенных случайных величин, прина,иаю1цих неотрицательные целочисленные значенияя, 5» — — т(1 +... + 11», 1 ~ й =- и. Тогда Р(5»<1г для всех 1~lг~п15„)=(! — — "), (12) где а+= гпах (а, 0). Д о к а з а т е л ь с т в о.
На множестве (сн очевидна. Будем поэтому доказывать (12) для исходов, для которых 5„<л. Рассмотрим мартингал $ = (ь», Ы»)1-» „ Ы»=0з „„з, введенный в примере 4. Определим 5„» п) формула тех элементарных с $» — — „"", "„и т=ппп (1<1<я: $»»1), полагая т = л на множестве (с» < 1 для всех 1 ~ я < и) = = ) п1ах — '< 1~. Понятно, что на этом множестве с, = ь„= 5, = 0 и, ' <1<М значит, щах — 1<11=(гпах — '<1, 5,<п~ Д,=О). 1гегм ! 1 11м1< Рассъютрим теперь те исходы, для которых одновременно гпах — ' 1 и 5„<п.
Обозначим о=л+1-т. Нетрудно видеть, что о=свах(1(/г(л1 5»»я) и, значит, (поскольку 5„<п) о<п, 5„»а и 5„+,<о+1. Следовательно, Т(„1 = 5»+1 - 5» < (о+ 1) - о 1, т. е. Т)в+1 — — О, Поэтому Равенство М$,= М$1 следует отсюда очевидным образом. Теорема доказана. Следствие. Для мартингала (5„Ю»)1<»<„из примера 1 и любого момента остановки т (относительно (Ы»)) справедливы формулы 1!9 % !!, мАРтннГАлы о~5,=5,т.т(о+1, а следовательно, 5 =о и За+т-т ~а а+1 — т а Тем самым шах --'- 1, 5„(п~ ~ Я,=1). !=!ил (14) Из (13) и (14) находим, что тпах — ' ) 1, 5„( и~ = Дт = 1) П (5л ( п). ! ат=-л Поэтому на множестве (5„«- п) Р ( и!ах —,! Г а 1 !5„~ = Р Ят = 1; 5„) = М (т„~ 5„), 1!Мтм Р(9!=1) =Р(3! = — 1) =1у2, 5,=";, (-...-(-$„и а, Ь вЂ” целые неотрицательные числа такие, что а — Ь - О, а-1- Ь = и.
Покажем, что тогда Р(5,)0, ..., 5„)0~5„=а — Ь)= ':. (15) В самом деле, в силу симметрии Р(5,-»0, ..., 5„)015л=а — Ь) = = Р(5т(0, ..., 5„(0',5„= — (а — Ь)) = = Р (5! + 1 ( 1, ..., 5„+ п ( и ! 5„+ п = п — (а — Ь) ) =Р(т)к<1, ..., т)т+...+т)а <и !т)т+...-1-т)„=п — (а — Ь)) л — (а — Ь) 1+ а — Ь а — Ь л 1 л а+Ь где мы положили т1А =$А+1 и воспользовались равенством (12), Из (15) очевидным образом выводится формула (10.5), установ. ленная в лемме 1 9 10'с применением принципа отражения. где последнее равенство следует из того, что $т принимает лишь два значения: 0 или 1.
Заметим теперь, что М($, '5„) =М (ат~ Я!) и в силу теоремы 1 М (зт ~ .алт!) = $! = 5„1п. СлеДовательно, на множестве (5„( п) Р(5А (й для есек 1 (и =и ~ 5„) =1 — — ". Теорема доказана. Применим эту теорему для получения другого доказательства леммы 1 из 9 10 и объясним' ее название как теоремы о баллотировке. Пусть $„ ..., 1„ - независимые бернуллиевские случайные величины с !20 ГЛ !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ЕЕРОЯТНОСТСИ Будем интерпретировать $1=+! как голос, поданный на выборах за кандидата А, а я! = — 1 — за кандидата В.
Тогда 5» есть разность числа голосов, поданных за кандидатов А и В, если в голосовании приняло участие й избирателей, а Р (5, - О, .. О«)0~5„=а — Ь) есть вероятность того, что кандидат А все время был впереди кандидата В, при условии, что в обнцсй сложности А собрал а голосов, В собрал Ь голосов и а — Ь)0, а+Ь=п. Согласно (15) эта вероятность равна (а — Ь)1и. 5. Задачи. 1, Пусть «Р«: — У1 а ...: — Ы„ — последовательность разбиений, Ы«=-(Г1); Рм —,УА-измеримая величина, 1--н<.п. Доказать, что пес тедовательность $ = (~ь», эт») с 2»=- ~' [) — М(Ч ('» — )1 1=..! является л!артингалом. 2. 11!сть случайные величины 11„..., Т)„таковы, что М(»(»~н(„... 11„,) = О.
Доказать, что госледовательнссть й = («„)!« „,. „ с е1=-!1, н 2»«! =-,К ч'!)! (( " Рн) где !! — некоторые функции, образует мартингал. 3 Г1сказать, что всякий мартингал «=-(е», 56'„) имеег гскоррелированные приращения! если а< Ь< с »(, то соч (с« — «„5» — 5,) = О. 4, Пусть $ =- (е„..., ~») — некоторая случайная послед!.Еательнссть такая, что 2» У»-измеримы (Ы! =' О'» «=... =.', „), Доказать, что для того, чтобы эта псследовательность была мавтингалсм (относительно системы разбиений (Ы»)), необходимо и д1,статсчно, чтобы для любого момента остановки т (относи!ельно ( ~' »1) Мс, = — М«!.
(Выражение «для любого момента остановки» можно заменить на выражение «для любого момента остановки, при и имаюндего два значения»). 5. Показать, что если $=(«А, ЫА)!<А<„— мартингал и т— Рк.!!Ент Остановки, то для любого й М("„).—.) =Мв»)О=А<. 6. Пус-ь « —.(Е„У,) и Ч=(т)А, 'К») — два мартингала, =- Рп ==.О, Доказать, что П М«Ъ= Х М໠— 2 -1) (ЧА — Ч вЂ” ) )2! % !г марковские мгпи и, я час'!ности, МЦ= У', М(Е» — 1»»)г. 7.
Пусть т)о ..., т)„— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, Мт)!=0. Показать, что последовательности С =(1») с (г с»=( ~ т);~ — йМт)1, т — — ! охр Л(Ч,+...+т)лд (М ехр Лчд» являются мартипгалами. 8. ПУсть Ц„ ..., 0» — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величии, принимающих значения в конечном множестве у. Пусть )о(у) = 1' (т)т =у) у ~ 1' " )т (у) неотрицательная функция с 2, '(т(у) =1. Йоказать, что последоом У вательпость ~=-(ло», Ю'1) с ~~'~=-Й'ч, „, „, !) (тн) ".
)т (ч») )о(Чт)" !»(Ч») образует лтарти!!гал. (Величины $», называемые отношениями тгравдотгодобия, играют исключительно важную роль в математической статистике.) $ 12. Марковские цепи. Эргодическая теорема. Строго марковское свойство 1. В рассмотренной выше схеме Бернулли с 11 = (еп ы = = (х,, ..., х„), х; =О,1) вероятносгь р (вт) каждого исхода от задавалась формулой р (от) = р (х,)... р (х„), (1) где р(х) =р-"ат-".
При этом условии случайные величины $„... с $т(от)=хт оказывались независимыми и одинаково распределенными с Р Я, = х) =... = Р Я, = х) = р (х), х = 0,1. Если вместо (1) положить р (ет) = р,(х„)...р„(х„), где р! (х) =р,'(1 — р;)'-, 0( р, - 1, то тогда случайные величины ~„..., $„, также будут независимыми, но уже, вообще говоря, ГЛ. Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ЕЕРОЯТНОСТЕП разнораспределенными: Р(~,=х) =р,(х), ..., Р(ч„=х) =р„(х). Рассмотрим теперь одно обобщение этих схем, приводяпгсе кзависимым случайным величинам, образующим так называемую цепь Маркова.
Будем предполагать, что о) = (ьп оа = (х„х„..., х„), х; ~ Х), где Х вЂ” некоторое конечное множество. Пусть заданы также неотрицательные функции р,(х), р,(х, д), ..., р„(х, у) такие, ч~о ~~'.о ро (х) = )о ом х () ~Ч~ ~ро(х, и) =1, й= 1, ..., п; у ~ Х. РМХ Для каждого исхода в=(х„х„..., х„) положим р(оа) = р,(х,) р, (х„х,)...р„(х„„х„). Установим теперь справедливость следующего важного свойства условных вероятностей: Р(аоот — — ао„.т~$о=а„..., $о=ао)=РЯо+,— — аоот~~о=ао) (5) (в предположении Р(во=по, ..., $о=ао) )О).
В силу (4) Рй- ='" )~ =а " $о=ао)= Р(1оо,=ао~о " во=ар) ро(ао) ро(ао а,).„ро,(ао, аоот) Р(аь= ам ..., во=во) ро(ао)...рв(ав м ао) рвот(ав, аь„). Аналогичным образом проверяется равенство Р Доот — — ао+т ) $о = ав) = Рв„т (а„, а„„), что и доказывает свойство (5), (6) Нетрудно проверить, что ~ч,' р (оо) = 1 и, следовательно, набор оо о о этих чисел р(оа) вместе с пространством 11 и системой всех его подмножеств определяет некоторую вероятностную модель, которую принято называть моделью испытаний, связанных в цепь Маркова. Введем в рассмотрение случайные величины с $о(ьо) =хо простой подсчет показывает, что Р (3о=а) =р,(а), (4) Р (ь,=а„..., Со=ао)=ро(ао) р,(а„а,)...р„(ае н а„). 123 « 1» м«Р«оагкпе игпи Р («»ы = п»м ' '9Ц = Р ("»ы — — а»«« ~ $») (7) или Р (а»ы = п»м ' ««,, «») = Р (~*«, —— п»ы ) ь«»).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
