1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(23) Свойсгво (22) допускает следующсе обооше:гие. Пусть случайная ьелигииа '= ие зависит от разоиеиия .'.: гт, е. для любого О,:.'27 слУчайные величины ь и lо иезависиьгы). Тогда М (Р, .Р) ==- М". (24) Из (2б) в качестве частного случая получаем следующуго полезиунг формулу; М[М(Я:ц„г(,) г),)="М(ь ц,). (25) П р и и е р 3. Для случайных иеличин а и ц, рассмотрениы» в примере 1, найдем М(5+ц ц). В силу !'22) и (23! М(Р+ц ц) =Ма,-ц=о--ц, Ф к условныв Вегоятност/1 и Ожиддния 93 Этот результат можно получить и отправляясь от (8): М (9+ Ч ( Ч) = Х лр (9+ Ч = // ( Ч) = Р (1 — Ч) + /)Ч + 2РЧ = Р + Ч.
з-о Пример 4. Пусть $ и т) — независимые одинаково распределенные случайные величины. Тогда Мй.$+Ч)=М(Ч',1+Ч) = —," (26) Действительно, считая для простоты, что И и т) принимают значения 1, 2, ..., т, находим, что (1=.=// -и/, 2==((2т) р, Р(д=-// 9+и=/1 Р(й==// и=-/ — ь) Р (гь -г 1/ = /) Р (' + Ч =- /) Р/ /г Р/1 //) Р(/ /)Р(Д / /) Р „1) Р /4+ч=/) Р (й+//=/1 Этны доказано первое равенство в (26).
Для доказательства второго достаточно заметить, что 2М ($ ' $+ Ч) =- М (т ~+ Ч) + М (Ч' ,$ + Ч) =- М ($+ Ч ~ 5+ /1) = $+ Ч. 3. Вше в 9 1 отмечалось, что каждому разбиению /2т=(ВО ... ..., О/,) конечного множества 11 соответствует алгебра /х(Я) подмножеств П. Точно так же и обратно, всякая алгебра .З подмножес~в конечного пространства й порождаезся некоторым разбиением Ы (Ю=-а('/и)). Тем самым между алгебрами и разбиениями конечного пространства Й существует взаимно однозначное соответствие.
Это обстоя/ельство следует иметь в виду в связи с вводимым в далю.ейшем понятием условного математического Ожила//ия относительно специальных систем множеств, так называемых О-алгебр. В случае конечных пространств понятия алгсбр и о-алгсбр совпадают. При этом оказывается, что если =% — некоторая алгебра, то вводимое в дальнейшем (9 7 гл.
П) условнг е математическое ожидание М (И;еж)) случайной величины Е относительно алгебры,Я просто совпадает с М (9~/й/) — математическим ожиданием с относительно разбиения Ф такого, что ,й =с/(Я). В этом смысле в случае конечных пространств в дальнейшем мы не будем различать М (9/-.%) и М ($ Ю), понимая всякий раз, что М ($~,":6'.
есть /:о определению просто М($(.Ы). 4. Задачи. 1. Привести пример двух случайных величин 9 и Ч, которые не являются независимыми, но для которых М ($ ( Ч) = Мй. (Ср. с утверждением (22).) гл ~ элсчгнтэгнхя таомю всяоягностсп 2. Условной дпсгерспсй й относительно разбиения .2г назы- вается случайная величина 0 (". с;) М (( М (ь 2т))и р~ Показать, что дисперсия 04 = М0 (в , ,'.л) + 0М (с ~; ). 3. Отправляясь от (17), доказать, что для всякой функпин 7=-7(з)) условное математическое ожидание М (3, 1) обладает следующим свойс;вом: М(7(1) М(".'~Я=М(!7(~Р) 4. Пусть ь и ~1 — случайпыс величины.
Показать, что !п1М (ц — 1 (э))э дос~игаегся на функции 7'" (с)=М В), "-), (Таким об- разом, оптимальной в срсдпеквздратпческом сгллсле оценкой ц по Ц является условное математическое ожидание М (В | э)). 5, Пусть йи ..., с„, т — независимые сл)чайнье вели пипл, причем с„..., с, одинаково распределены и т иринина,.ег зн«ш- ния 1, 2, ..., п. Показать, чэо если 5,=-"=,—,...— и -,— с)мма случайного числа случайных вели пш, то М (Я,(т) =тМ:„0(5, т) =з0':, и М5,=Мт М$и 05т=Мт 0'=,-';0т (~,".-,)'. 6. Доказать равенство (21), $ 9. Случайное блуждание.
1. Вероятное~и ( азорения и средняя продолжительность при игре с бросанием монеты 1. Значение установленных в й б предельных тес)'ем для с хан ны Бернулли далеко не исчерпывается тем, что они дают удобные формулы для подсчета вероягностей Р(Я„=й) н Р(А 5,-==.В). Роль этих теорем состоит также и в том, что они носят универсальный характер, т.
е. остаются справедливыми не только для независимых бернуллневских случайных величин "'„..., с„, принимающих все~о лишь два значения, по и для величин гораздо более общей природы. В этом смысле схема Бернулли явилась той простейшей моделью, на примере которой были подмечены многие вероятностные закономерности, присушив и гораздо более общим моделям В настоящем и следующем параграфах будет рассмотрен ряд новых вероятностных закономерностей, подчас носящих крайне неожиданный характер.
Все рассмотрения будут вестись снова для схемы Бернулли, хотя многие выводы о харакаере случаиных э 9 спич»ннов влуждлнив, г. колебаний остаются справедливыми для случайных блужданий более общего вида. 2. Рассх>отрпм схему Бернулли (11, а~, Р), где 0 =(а>: ы=(х„..., х„), х; = -+- 1), а г' — система всех подмножеств й и р(ы)=/>»>">у"-'"">, э(»>)= " . Пусть л(а>)с хн /=1, ..., и.
ш Б»+. 2 Тогда, как уже известно, последовательнссть ао ..., в„является последовательностью независимых бернуллиевсквх случайных величин Р (, =- 1) = />, Р (»з, = — 1) = а, р+ Ю = 1. Положим 5,= О, 5,='",+...+$„1==-.й=-.п. Последователь- ность 5„, 5,, ..., 5„можно рассматривать как траекторию слу- чайиого Глтждания некоторой частицы, выходящей из нуля. При этом 5„, = 5„+ "»„т, е.
сели в гкмент // частица находится в то~не В„то в момент Й+! опа сдан>антса либо на единицу ьвс >. (с вероятностью р), либо на единицу вниз (с вероятностью д). П)сть .А и  — ава целых числа, Л =О==В. Одна из инте- ресных задач, связаш.ых с рассматриваемым случайным блужда- нием, состоит в исследовании вопроса о том, с какой вероятностью бл) ждающая частица выйдет за п шагов из шп'ервала (Л, В). Иитересен также вопрос о том, с какой вероятностью выход из интервала (Л, В) произойдет в точке А или В.
Естественность этих в >просов становится особенно понятной, если воспользоваться следующей и. розой интерпретацией. Пусть имеются два игрока (первый и второй), у которых начальнье капигалы равны соответственно ( — А) и В. Если ~; =-+1, то будем считать, что второй игрок платит единицу капитала первому; если >ке»> = — 1, то наоборот, первый платит второму. Таким об; азгм, 5,=»>+...+»» можно интерпретировать как величину выигрыша первого игрока у второго (если 5»( О, то этот выигрыш есть на самом деле величина проигрыша первого игрока второму) за /г »ходов». Б тот момент времени й = и, когда впервые 5» = В (5» = А) капитал второго (первого) игрока становится равным нулю, иначе говоря, происходит его разорение.
(Если /> ( и, то следует счи>ать, что >тра прекращается в момент времени й, хотя само блуждан>>е остае>ся определенным до момента и включительно.) Г!режде чем переходить к точным постановкам, введем ряд обозначений. Пусть х — целое число из интервала [А„ В) н для О = /г ( и пусть 5»=х+5, т»=пип(О(/=./г: 5>"= А или В), где условимся считать т»= я, если А < 5> ~ В для всех О==/~й. ГЛ 1 ЭЛЕМСНТХРНХЯ ТЕОРПЯ ЕЕРОЯТПОСТЕП Для каждого 0 -й.-„п и х ее [А, В) момент т», называемый л!ожентося остановка (см.
й 11), является целочисленной случайной величиной, определенной иа пространстве элементарных событий 1? (зависпмость т," от»а явно не указывается), Ясно, что для всех 1~ й множество (»а: т'=1) есть событие, состоящее в том, что случайное блуждание (5,', О="»==я), начинающееся в нулевой момент в точке х, вьшдет нз интервала (А, В) в момент 1. Понятно также, что для 1(/г множества (ес! т'= 5," = А) и (»»: т'=-1, 5».=В~ имеют смысл событий, состоящихв том, что блуждающая частица выйдет из интервала (Л, В) в момент 1 в точках А н В соответственно.
Сэ!сознас! !и для всех О~й= и ,=.:г",,= ~ (ея! т»=1, 5! =А~, »<1=-» м»= ~; (!Рп Т1,=1, 5!'=В!, с о 1=-» и пусть — вероя!ности выхода частицы за время (О, й)из интервала (А, В) соответственно в точкзх Л и В. Для этих вероятностей можно пол! чить 1'екуррентныс соотношения, из которых гпюледоватсльно находятся а! (х), ..., с»„(х) и ()! (х), ..., р„(х), Итак, пусть Л (х ( В. Ясно, что и» (х) = 1)„(х) ==. О. Пусть теперь 1--/г- и.
Тогда по формуле (8,5) () . !. ) — — Р ( ':""» ! = Р ( Уэ'" 5 !" = х + 1) Р (й = 1) + + Р (Я„'' ,51 = х — 1) Р (с, = — 1) =— =-рР(Я»„;5!' =х+1)+ !)Р('.8»'5!с =-х — 1) (8) Покажем, что Рм»; 5) =к+ 1) =.— Р(..%"~(), Р(;14' Я =х — 1) = Р(='Е» !) С этой целью заметим, что множество»эй» можно представить в н;!де »%»== (»!! (х, х+Я„..., х+Я!+...+$») ес В»)с гдс В,. — множество траекторий вида (х, х+х„..., х+х, +...4-х») с х, =:+:1, которые за время (О, й) впервые выл!дат пз ип!ерзала (А, В) в точке В (рис.
18), 97 $ е. случАЙЯОе блуждАние, т. Представим множество В» в виде В»'"+ +В»'" !, где В»'а+' и В„'' ' — те траектории из В», для которых х,=+1 и х,= — 1 соответственно, Заметим, что каждая траектория (х, х+ 1, х+ 1+х.„... ..., х+ 1+х, +... +х,) из В»' "+ т!аходится во взаимно однозначном соответствии с траекторией (х+1, х+1+х„..., х+1+х,+...+х,) из В!»~,!. То же справедливо и для траекторий из В» ' '. Учитывая эти обстоятельства, а также независимость, одинаковую распределенность величин й„..., ~» и формулу (В.б), находим, что Р ( тв" ! Я = х+ 1) = Р (.'е' ( 9! = 1) = =Р((х, х+$„..., х+$,+ ! +..с+и =В*, $,=11= ! ! =Р((х+1, х+1+5е, ..., х+ е» + 1 + й.
+...+ 9») ЕБ Вк ! !)— = Р((х-~-1, х-(-1+ $... х+ А + 1+ Цт+...+$» т) е= В»~ ~!)= =Р(=ту» (). Рис. !о. Пример траеитоТочно так же рии иа множества В;. Р (Л» ~ Я = х — 1) = Р (Ю": !) Таким образом, в силу (3) для х ~ (А, В) и й(а р» (х) = р()» т (х+ 1) + !)р» т (х — 1), (4) где Д! (В) = 1, ~! ( 4) = О, 0 ~ 1== и. Лна»огнчно а» (х) = ра» т (х+ 1) -(- т)сс», (х — 1) (б) (6) р (х) = рр (х+ 1) + !)р (х — 1) се! (А) = 1, а! (В) = О, О ~ 1( и, Поскольку ае(х) =не(х) =О, хе= (А, В), то полученные рекуррентные соотношения можно (по крайней мере в принципе) использовать для отыскания вероятностей ат (х), ..., ста (х) и ()! (х), ..., ()„(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
