1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Оставляя в стороне конкретное вычисление этих вероятностей, зададимся вопросом об ик значениях при больших п. С этой целью заметим, что поскольку %» ! с: Л», й~п, то ~» т(х) ( р»(х) ~ 1. Естественно поэтому рассчитывать (а так оно н есть, см. п. 3), что при достаточно больших и вероятность р„(х) близка к решению р (х) уравнения ГЛ.!. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕП с граничными условиями Р(В)=1, 8(А)=О, (8) получаемых формальным предельным переходом из (4) и (5), /Тля решения задачи (7), (8) предположим сначала, что рог/, Нетрудно заметить, что рассматриваемое уравнение имеет два частных решения а и Ь (г//р)", где а и Ь вЂ” константы.
Будем поэ!ему искать решение р(х) в виде () (х) = а+ Ь (г//р).". (9) С учетом (8) находим, что для всех Ач-х(В гнг (Х) !г//Р) — (Ч/Р) (г//Р) — (я/р) (1О) Покажем, что это есть единспгвенное решение рассматриваемой задачи. С этой целью достаточно показать, что все решения задачи (7), (8) могут быть представлены в виде (9). Пусть () (х) — некоторое решение с )) (А) =О, р (В) =1. Всегда можно найти такие константы В и Ь, что гА+Ь (г//р)" =р (А), а+Ь (г//р) ~'=р (А+1). Тогда из (7) следует, что р (А+2) =а+Ь (г//р)"т~ и вообше р (х) =а+ Ь(г//р)".
Тем самым найденное решение (10) есть единственное решение рассматриваемой задачи. Аналогичные рассуждения показывают, что единственное решение уравнения а(х) =ргх(х+1)+г/а(х — 1), лен (А, В) (11) с граничными условиями а (А) = 1, сг (В) = О задается формулой (Ч/Р) — !г//Р) (12) (13) х — А 1),'х) =— В-А Если же р =г/=1/2, то единственными решениями р (х) и а(х) задач (7), (8) и (11), (12) являются соответственно $ В.
СЛУЧАПНОЕ БЛУЖДАПИЕ. Вв  — и () =и — Л* (15) Заметим, что при любых 0( р(1 а (х) + р (х) 1. (1б) Величины а(х) и р(х) хотелось бы назвать вероягпноетями разорения первого и вгпорого игрока соответственно (когда начальный капитал первого есть х — А, а второго  — х) при неограниченном числе ходов, что, ВЮ конечно, предполагает существование бесконечной последовательности независимых бер- 1 нуллиевских случайных величин где $;=+ 1 трактуется как выигрыш первого игрока, а $; = — ! — как его проигрыш. Расс — — — ~и~ ! смотренное в начале итого параграфа вероят- В х В ностное пространство (л), о Г, Р) оказывается Рис. 16.
График в (х)— слишком ибедныла, для того чтобы на нем исроитиости хостиас. существовала такая бесконечная последова ИИИ ТО"И и Ра ЫИС тельность независимых случайных величин. выходит ии точки х. В дальнейшем мы увидим, что такую последовательность действительно можно построить и что величины () (х) и а(х) в самом деле являются вероятностями разорения при неограниченном числе шагов. Обратимся к некоторым следствиям, вытекающим из полученных формул.
Если положить А=О, О. =.х=.В, то по своему смыслу функция р (х) будет вероятностью того, что частица, вышедшая из состояния х, достигнет точки В раньше, чем точки 0 Из форм)л (10) и (14) следует (рис. 16), что х/В, р=д= 1/2, р (х) = (В/р)" — 1 (вlр) (17) Далее, пусть с)) р, означающее, что для первого игрока игра является неблагоприятной. Его предельная вероятность разорения а = а (О) задается формулой ив) — 1 В р>'г — Юя Предположим сейчас, что условия игры изменены: капиталы игроков по-прежнему равны ( — А) и В, но плата каждого игрока теперь равна 1)2, а не 1, нак раньше, Иначе говоря, пусть гл. и элемвнтхянхя твотия ввтоятностнн теперь Р(си= 1/2)=р, Р($„= — 1/2)=д.
Обозначим в этом случае предельную вероятность разорения первого игрока через а1а . Тогда (а/р)за — ) (в/р)го — (я/р)~л и, значит, а =а (~/р) + )а (в/р)~+(я/ ) если д) р. Отсюда вытекает такой вывод: если для первого игрока игра неблагоприятна (т. е. д ° р), гпо увеличение ставки в два риза уменьшает вероятноСть его разорения. 3. Обратимся теперь к вопросу о том, как быстро а„(х) и р„(х) сходятся к предельным значениям а(х) и () (х).
Будем считать для простоты х=О н обозначим и, =- а„(0), р„= р„(0), у„= 1 — (а„-(- р„), Ясно, что у„= Р (А < 5, < В, 0 < й =.= и), где (А< 5, =В, 0 </г -и) обозначает событие П (А<5 <В). ь<л<л Пусть и= ген, где г и т — нелые числа, и ~,=~,+...+3, ьз = астм+ ° ° + сза ~.=1 м-)+ +" +~, . Тогда, если С=! А)-)-В, то нетрудно убедиться в том, что (А < 5, < В, 1 к- /г =. ггп) к (, .'1, ~ < С, ..., ! ~, ~ < С), и, значит, в силу независимости величин с,, ..., Ь, и их одинаковой распределенности у„< Р" ,сл,' < С, ..., ', с, ! <С) = Г =П Р(~~,,<С)=(Р(~~,)<С)).
Заметим, что 0ь,=т(! — (р — о)']. Поэтому при 0< р;,1 для достаточно больших гп Р()ьм )<с) <е„ (19) где е,<1, поскольку если Р(,~,)-=С)=1, то сль,<С'. гог З а, слгчнвног влгжддниа, г. Если же р=О или р=1, то для достаточно больших т Р('г".г'(С) 0 н, следовательно, (19) выполнено при всех 0~ ~ р<". 1.
Из (18) и (19) следует, что для достаточно больших п 7я~~в (20) где с = е, '" <. 1. Согласно (1б) а+() =1. Поэтому ( — а.)+(б — (),) =у„ и так как а=-а„, () )б„, то 0 (а — а„~у„~ в", 0 ~ )) — р„=. у„=. е", е(1, Аналогичные оценки справедливы и для разностей а(х)-а„(х) н б (х) — б„(х). 4. Обратимся теперь к вопросу средней длшпельности случайного блуждания. Пусть та (х) = Мта — математического ожидание момента остановки т'„й~п. Поступая, как и при выводе рекуррентных соотношений для ргг(х), получаем, что для хан (А, В) пг, (х) = Мтя = У,' УР(та= 1) = с<с<я 1. (рР(т„=(, ,~, = 1)+дР(т„=Ц ~, = 1)1 с<с<а Р( Я+г 1 1)+ Р( Я вЂ” г с<с<я Х (1+1)ИЖ-"=1)+4Р("":1=1))- а<с<а-г — ргпя-г (х+ 1) + г)пгя-г (х 1) + + Х ЬрРЖ-"~= 1)+ЧРЫ:г-1)1- а<г -я — г = рт,, (х+ 1) + упг, г (х — 1) +! .
Итак, для хан(А, В) и 0 =.)гч-.п функции та(х) удовлетворяют рекуррентным уравнениям спя(х)=1+рсгга г(х+1)+г)сп„с(х-1), (21) где т„(х) = О. Из этих уравнений вместе с граничными условиями (22) сп (А)=пгя(В) 0 можно последовательно найти тг(х), ..., т„(х). 1ОЗ ГЛ 1 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ЕЕРОЯТНОСТГИ Поскольку т„(х) (т„„(х), то сушествует предел лг (х) = Вш т„ (х), Х О который в си.ту (21) удовлетворяет уравнению т (х) = 1+ рт (х+ 1) + г)хчг (х — 1) (23) с граничными условиями т(А) =т(В) =О.
(24) Чтобы найти решение Этого уравнения, предпологких! сначала, что пг (х) < со, х е= (А, В). (25) Х Тогда, если р~!), то частное решение имеет вид — и обшее Я вЂ” Р решение (см. (9)) записывается в виде т(х)= +а+ЬЯ . Отсюда с учетом граничных условий т(А) =т (В) =0 находим, что т (х) = (Вр (х)+ Аи(х) — х), (26) Р— Я где р(х) и и(х) определяются из формул (!0) и (13). Если же р=!) =1)2, то общее решение уравнения (23) имеет вид т (х) =- а + Ьх — х', и поскольку' лг (А) = лг (В) = О, то т (х) = (х — В) (х — А), (27) Отсюда, в частности, вытекает, что если начальиьге капиталы игроков равны (В = — А), то т (0) = В'. Возьмем В = 1О, и пусть каждый ход в игре осуществляется через 1 'с., тогда (предельное) среднее время до разорения одного из игроков довольно велико в оно равно 100 с.
Формулы (26) и (27) были получены в предположении, что т(х)(ОО, х~(А, В). Покажем теперь, что и на самом деле т(х) конечны нри всех х ен (А, В). Ограничимся рассмотрением случая х=О. Общий случай разбирается аналогичным образом, Пусть р=г) =1)2. С последовательностью 5„5„..., 5„и моментом остановки т„= т„' свяжем случайную величину 5,, 1ОЗ З О СЛУЧАЙНОЕ ЕЛУЖДАНПЕ.
Ь определенную следующим равенством: 5, = ~ 5»/(л .,) (оо). »=о (28) Наглядный смысл величины 5, ясен — это есть значение слу- ЧайиО~О бЛУжДаНИЯ В МОМЕНТ ОСтаНОВКИ тл. ПРИ ЭТОМ, ЕСЛИ т„< < и, то 5, = А или В; если же тл=в, то А ( 5, (В. л л Докажем, что при р = д = 1)2 М5, =О, (29) М5', =Мтл, (30) Для доказательства первого равенства заметим, что л М5, =,Я М[5»((л„=») (оо))= » =.о л л = ~", М [5лт'(л„=») (оо)1+ ~; М [(5» — 5.) 1(л„=») (оо)1= » =-о » =-а =М5л+ 'У', М[(5» — 5„)1(,„») (ао)1, »=а (31) где, очевидно, МВА=О. Покажем, что л ~~ М [(5» — 5л) 7(, ») (оо)) = О.
»=о С этой целью заметим, что для 0((о<п (т„>Ф)=(Л< <5 <В, ..., А<5»<В). Событие (А<5 <В, ..., Л < < 5„<В) может быть, очевидно, представлено в виде (еп (3Н ..., $») ен А»); (32) где А» — некоторое подмножество множества ( — 1, + 1)". Иначе говоря, это множество определяется лишь значениями случайных величин ч„..., е» и не зависит от значений величин 5» „..., '„. Поскольку множество (т„=Ц=(т„>/г — 1)" (тл>й), то оно также является множеством вида (32).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
