1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Ниже мы рассматриваем две такие постановки: задачу ое(ениеанил и задачу построения доверительных ингпераалоа. % 7. ОЦЕНКА ВЕРОЯТ!ЮСТП «УСПЕХА» Следуя обозначениям, принятым в математической статистике, неизвсстньщ параметр р обозначим через 0, считая а рг)ог), что значения 0 принадлежат множеству О = [О, 11.
Ьудем говори-, ь также, что набор (»1, вт',, Ре, 0 с= О) с ра(ы) =0 *1(1 — 0)п задает 0<ролл<носи<но-с«<па<<с<<и<««ск<<к<,под<Ель (отвечающую мг незавпсемпым испьпаниям» с вероятностью Куспеха» ОДНОЕ), а всяк<ю функцию Т»=-Т»(07), прииит<а<ощ)<о значения в О, б)ден назь<зать ойе«к«й. 5„ ГЕЛИ с»=-01-(-...-~-»п П Т, == — '., тО ИЗ ЗЗКОНа ООЛЬШИХ Ч<ССЛ Ьп и ' след< т, что сцепка Т„аглае< ся сося<о»ине,<ьн<75<«в том сны< лс, ч<о (с ) О) 1 0< (1) 1<.рс»!е то<О, зта сцщ:ка является «се.я<т«<па<<о«: для всяк"го 0 ен 8 1 0Т ==0, <2) где 1<)0 — математпческ«,е Рж!1»Пн!и', Отвечщо<5!Се серея«псстн Ра. Сьопйст<НЗ о!Ценки быль нес»<Оп<сино<0! Явл«!е1СЯ епоппе ~ с <с-сенным: Оио От(<ажаег то< ф»кт, ч!о всякая раз) ин»51 сценка д.п;кпа, по и:, айнеи мере <ся среднем», грив д<!Рь к желаемому резул »ату.
<)н!01 О лс! ко заме<и<«п что Оцепка Т[ не ЯЬПЯетсЯ едпистнсппьй пес»<ец<енной оценкоп. Напри»!Ср, такси же б)дст всякая Оценка Т„= — ' '+" п Где <7, -И...-'-(<и».= 1. Прн ЭтсМ дпя 'ГГКИХ < ИРНОК таня«п бт дс< пыпоппятъс51 закон ООП1,ших Рис<С! (11 (ПО 1«иа!',1и'и А!Ср<' длЯ Н'огриньтсльных 61) П <СА< Самым ати оценки Тп <щ< »не «х«й оп!и», у и.
В этой сп5!зп возню<1<ют гспрссы О тем, как с(1:внииа<э раз ли«п<ые несмещ<.*нные сценки, как)зо из иих пазгать наилучц<сй, опти<<альной, По сал!ол<у смыслу сценок естсс<венно было бы с»итат!О 17<» <ценна тем лучше, .ел< меньше се отклон«пие от опепивае<ю; о парамст а, Оснопываяс на этом, назовем оценку Тп эфцпекеи. ° ной (в классе несмещениых оценок Т„), если оат„= )П( оат„, 0 ~ О, (,"з< тп где 00҄— дисперсия опенки Т„, т.
с. Ма(҄— 0)'. Покажем, что рассмотренная выше оцеш<а Т„"' является э<[7[ек- тивной. Имеем ( 5„' Г«05п 00 (! — 0) " (! — 0) «7' <1» п» « ГЛ. Е ЭЛЕМЕНТЛРНЛЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕН !п( 0оТ„=- б (1 — б) аа (5) При 8=0 плп 1 зта сценка очевидна. Пусть 8 ен (О, 1) и Ро(. 1) =8" (1 — 8) '1. Ясно, что н Р (бо) =) 1 Ро(ха) 1=-.
1 Обозначим Ео (о1) = !и ро (оа). Ео (и) = 1п 8 ч' х1+1п (1 — 8) ~,' (1 — хб) Тогда ддо (ан) '" (х1 — б) дб О (! — О) ПОО1'ольк)' 1 = Мо ! = ~ Ро (оа) аа и в силу несмещенностн сценки Т„ 8 = — МоТ,= ~~ Т ( ) Ро (ао) ан то после дифференцирования по 8 получим, что ~дро (ан)~ 0=;,— =,~,— --' Ро(ой = Мо! =.— )а %т дро(оа) к1 дб, Г ддо (м) 1 дб 7 ро ( ) „ ) дб аа 8ро (ан) ан Значит, 1 =Ма'((҄— 8)— ддо (на) 1 и, согласно неравенству Коши — Буняковского, 1"=.
Мо(Т вЂ” 8)'Мо~ Позтсму, для того чтобы установить, что оценка Т„'бффектпвпа, достаточно показать, что вз $3. ОЦЕНКА ВВРОЯТНОСТП УСИГХ3» откуда й3)а (҄— 81» =,— '„„, » 10 где Величина 7» (8) = Ма ~ — — — — з! носит название инфорла!)ии 1 дбз (ы) Л» 00 Фии1ера. Из (6) получасы частный слу шй тая называемого неравенеиша Рао-Кра.33ера для пес!!СШеиных оценок Т„ 1 и (7) Е) 03ассмат;3ипсемот! Случзе Р,,)8 — Т;)~б) =-,,— "-=— 0„т„а !! — 0) ньы н, значит, для ВсякОГО ) ~ 0 Если взять, к примеру, Х = 3, то с Ре-вероятностью, большей чем 1 8 0,8888 (1 — -„- = — - — 0,8888), осуществится событие Зг 9 )8 — Т;,) «З ~уГ'— '„—" что и доказ3 изет Гзравепстзо !8), !ш которого, как уже отмечалось, след)'е! В»»13ситивиость !шшшшснпо(1 опенки Т„" =- — — для иеиззествого 13аремстра 9. ук Очег3идио, что, оассмаз 3!Вшя в качестве <3точсчнс30» оценки для 0 величин.
Т„,;зы совершаем !3еи 3тср) 1о 5 13Н1бку. 813жег даже случиться. что численное значение Т;;, Глдсчит,шиос по паблю- ДЕ~ЗН'.и Зна'1Е3'.ИНЧ Х3, ..., .3Ы, бтдет ЛОВОЛЬнО СЯЛьио ОТЛИ:1а3Ься от юпишого зиа .. Яия 9. 1)оэт333!у целссо1.бразпо было бы )казывать еще 33 ясличгшу иогрсии:ост13. ° ОГольно ' ссс3и.3слснио и:3 'ятьс53, что дл53 !3Гсх элс»1ента3\иых соб3!31313 величин!3 ';,', 3ы) 3!зло отлич!Яо ся от Г3" 33и!!ого зиаче!и я иситпестн3 го пс)3амсзра 93.
Сдиако 13з закона больших чисел мы анас!3, что для 3 сяксгс б) 0 ири достачи шо больишх и вероятность соб3ыт1и1 33)Г3 — Т„(1В)1) б) будст дос1аточно мала. Согласно неравенству Чебышева Гс! ! Ялг<<ги» <и!<я !соР!!я БеРоягностеп и тем более — с<,бьп ие )а Т;;).
—,= 3 поскольку 6(1 — 6) ( — —. ! Таким образом, Ре), 0 — Т'„!'~ —.~=-Ра" Т'„— —,. ~ Р .-Т«+ — '~)0,8888. 3 Ипаче говоря, мсжно утвержда!ь с Рероятиостью, большей чем 0,8888, что истинное значепие параметра 6 принадлежит пптервалу )Т„"' — —,, Т„''+ —,. !.
Иногда это утверждение спмволи- 21 и 2Ри чески записывают в такой форме: 6 Т„'—, ( -88';~), 21' л где «г»88"~,'» означает «болсе чем в 887,' случаев». 3 3 И первал ) Т« — —, Т„'+ —, ~ является примером так 21' л 2)гл называемых доверительных интервалов для веизвсст пего параяк ! ра. Определение. Иитервал вида И!( ), ф,( )1, где <11(«<) и <й!(<») — две фуикции зле<!ептарных событий, Рь- '< ! дои<ришельиыл пнлеервплож надежи<!сл!и 1 — б (плп с дро«. <ш аночижоски! 8), если для всех 6 е:- О Р<! !<р (<и) =' 0 — 11'.» (<Я)):-ь 1 — о. Привсдсш<ые выше рассуэкдеиия показывают, что интервал ., Т",— 1,, А т ! — — Т'„'+ —,.
~ имеет надежность 1 — --;. На самом д лс 21 и 21'л .~ Ри над<жность доверительного интервала значительно выш<, что связано с тем, что использоваппое неравенство Ч<быи!еьа дает л<,п<ь груб)ю спевку вероятностей собьппй.
л!ля полу ения более точных результатов заметим, что !Ре '0 — Т«'-.ь..й(l ( ))=(е!!1)!(Т„"', и)(0-=-<)<»(Т;"„и', У л гдс ф, = ф< (Тц< и) и <)<» = ф» (Т„', и) — корни квадратпого у('аР!!< Ния (0 — Т,*,)» = — - 6 (1 — 6), л« вв Э к опшгкл всвоятностп «хспсхх Тогда в силу (6.24) 1 ! эпр ~!Ге(х) — Ф(х) = 1«ле(! — е) ' Поэтому, если а рг1ог( известно, что 0<..Л - Е=-.1 — Л<-.1, где Л вЂ” некоторая константа, то ! ! эпр ! Ее («) — Ф (х) ! -.-..
Х Л1~ и и, зпгчп ° Ре'!р~(7 !!)-":-г~=-.~(э(7';;, кг)1=РеС,й Т ..--;-17 е(! — е)~ ! 8„— ае... 2 =- Рэ';=-.— — =..:) 1==- (2Ф!й) — 1)— 11' ~,е(~а> Пусть й" — то наименьшее Х, для которого 2 (2Ф (й) — 1) — —. —.= ==.. 1 — 6"', а)' й где 6'" — заданный уровень значимости. Обозначая 6 = бэ —,, находим, что Х есть а )е п корень уравнения Ф(Л) =-1 — —. 6 2 В с..учзе больших и можно пренебречь членом 2(Л~/а и считать, что й* удовлетворяет соотношению и с. !з. 2 В частности, если 1*=3,то6*=0,9973 ... Так что с вероятностью, примерно равной 0,9973, (8) описываюшего эллипс, расположенный так, как это изображено на рис.
13. Пусть теперь г 5„— ла Р~(«)=Ре У, . =-«~. ф л~~~ — э) ГЛ !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕГ! или после нтернрования и отбрасывания членов порядка 0(а-'') находим, что ;-ЧГ" —: = -.'.1/" —:. У л Отсюда следует, что доверительный интервал (10) ичеет (при болшппх и) надежность 0,9973 (тогда как неравенство Чебышева давало надежность лишь, примерно, равную 0,8888). О~сюда л!Ожно одела!ь след)ющнй практический вывод. Пусть производится большое число Л/ серий экспериментов, в каждой пз которых по и наб:подениям оценивается параметр 6.
Тогда примерно в 99,73",~, случаев из Л' в каждой серии оценка будет отличаться от истинного значения параметра не больше чем на з —. (См. по этому поводу также конец 3 5.) 21' л 3. Задачи. 1. Пусть а рг(ог( известно, что параметр В принимает значения во множестве О„: — (О, 1). Построить несмещенную сценку для параметра В, принимающую значения лишь во множестве О„. 2. В условиях предыдущей задачи найти аналог неравенства Рао — Крамера и рассмотреть вопрос об эффектив~ых оценках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
