1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Нетрудно показать (см. далее задачу 7), что если р(ьь, ц)= — '-1, то величины," и ц линейно зависимы: т) =- а",- + Ь, где а )О, если р($, з)) =-1, и а~О, если о (х, ц) =- — 1. Сразу озмегим, что если с и ц независимы, то независимы $ — М'- и ц — Мц, а значит, по свойству б) математических ожиданий сот(:, т)) = М(с — МЕ) М(ц — Мц) =О. С учетом введенного обозначения для ковариапни 0 Д+ т1) = 0с+ 0ц+2 сок Я, ц), (1О) 5 4 СЛУ'1!1ТНЫЕ ВЯЛИ'П1НЫ И НХ ХЗР!КТСРНГТИКП если же ", и г) независимы, то дисперсия суммы с+!1 равна с)ыз!с дисперсий () (Р + Ч) = Е)- + Е) гь (11) Как слет)ет»з (10), свойство (11) остается выполненным, н нри мсньшсч прсдположении, нюкели независимость й и ц. 11хе гно, досгаточгио предположить, что величины с и г) некоррелированы, т.
е. Ооч('.=, 11) =-О. 3 а меч а и не, Из игкоррелировапности ья и т), вообшс говоря, не сл!дуег пх независнз!сеть. Вот простой пример. Пусть случай!!ая геличина а принимает значения О, п,2 и л с вероягизстями 113. Тогда '„-:=~!!га и 11:=созе! нскоррелироваиы; в то же врс!4!я оии 14е !Олько сгохасти' ескг! зависимы (т. е. гю 14езавнснмы Отнес!Нсльно вор!г!Тттигсти Р): Р»,' —.=1, !1=1!.=-0~ 1,'9=-Р ггьь =-.1) Р (11 =1), но п функционально зависимы: " -';.11'=1. Свойства (10), (11) Очевидным образом распространи!отса на произвольное число случайных величин $„..., з„: О, ) 5! != ~4 Ой!+2 ~ оотг з ).
(12) — !ь!. В чаем!ости, если величины .',, ..., с„ попарно независимы (достаточно их понарной нскоррелнрованности), то П ! П гл,' ел с! ) = ~л Псь (13) П р и м е р 5. Если с — бернуллневская случайная величина, пршшмающая два значения ! и 0 с вероятностями р и гг, то ыь = М (' — Мз) = М (ь р) = (1 — р)" р+ р 4) = — рч. О~сюда следует, что если Р„..., с„— последовательность нсзавис!Нных (одинаково распределенных) бериуллпевских случайных величин и 5„=- з +...+$„, то РЯ„= прг). (14) 8. Рассмотрим две случайные величины ~ и 11. Предположим, что наблюдению подлежит лишь случайная величина с.
Если величины с и г) коррелированы, то можно ожидать, что знание значений ч позволит вьшести некоторые суждения и о значениях ненаблюдаемой величины т). Всякую функцию Г'=Г(Ч) от $ будем называть оценкси" для 41. Будем говорить также, что оценка ~*=)г*(с) опплил!алина а ересь некеггдраагическолг слгь!с ге, если М (Π— Г" (З))' = (п1 М (т) — ~ ф)'. ГЛ. 1. ЭЛЕМЕГ!ТАРНАЯ ТЕОРНЯ ВЕРОЯТНОСТЕ11 Покажем, как найти оптимальную оценку в классе линейных оценок Л(") л а+Ь$. Для этого рассмотрим функцию д(а, Ь) = = М(т) — (а+Ь$))т. Дифференцируя д(а, Ь) по а и Ь, получаем ~Д' )= — 2М[Ч вЂ” (а+Ь$)1, дь 2М [(Ч вЂ” (а+ Ьс)) Ц, откуда, приравнивая производные к нулю, находим, что оптимальная в среднеквгдратическом смысле линейная оценка есть Л* (с) = ал + Ь*с, где а'= МЧ вЂ” ЬлМ$, (15) сот(ь, Ч) г!$ Иначе говоря, Л*©=МЧ+ (' ") (а — Ме) 0$ Величина М (Ч вЂ” Л* (с))' называется среднеквадратической ошибкой оцепнвания.
Простой подсчет показывает, что зта ошибка равна Л* М (Ч Л" (Е))1 ПЧ с " '» Ч ПЧ [1 рз(Е Ч)) (17) 7С=О, 7и =1, 7,+7„-=1, УАВ=(А )В, ! АоВ = !А+ 7 — 1АВ, л л П [1 )А1)* ! =П [1 ТА,) () А, () А 1=! 1= 1 1=! л = У; 7,„ А,. 1.= ! Чл 1 — ! )А„В=(7А-7,)л, Таким образом, чем больше (по модулю) коэффициент корреляции р(с, Ч) между с и Ч, тем меньше среднеквадратическая ошибка оценивания 1т"'. В частности, если ! р (е, т)) / = 1, то Л" = О (ср. с результатом задачи 7). Если жс случайные величины с и Ч не коррелнрованы (р($, т)) =О), то Л* (Е) = МЧ, т. е. в случае отсутствия корреляции между $ и Ч лучшей оценкой Ч по $ является просто МЧ (ср. с задачей 4).
9. Задачи. 1. Проверить следующие свойства индикаторов !и — — 1А(е!)! З 4. СЛУЧХПНЫГ ВЕЛПаигНЫ И НХ ХЛРЛКтЕРИСТИКИ где А д — сггмлгеирггческая разность множеств А и В, т. е. множество (А В) О(В" А), 2. Пусть а„..., ь„— независимые сл) чайные величины и $ Ы=ППП(а„..., аа), Ра а„=нгаХ($„..., 1„). Показать, что а РЛ- -=х)=п РЛ =-"1 а Р (ье.,„, С х) = Ц Р Д < х). 3.
Пусть 3„ ..., е„ вЂ” независимые бернуллиевские случайные величины с Р Дг = О) = 1 — агЛ, Р (-; =- ! ) = ).,Л, где Л вЂ” малое число, Л) О, )1) О. Показать, что а Р(.,+...—;-=-„=1) =, ~" )1,'Л+О(Ла), '1=-1 Р (Зг+...+:-„» 1) = О (Ла). 4. Показать, что гп( М (= — а)а достигается прп о = Л1$ п, следовательно, (п( М (, "— о)' = 03. — л<а(аа 5. Пусть $ — случайная величина с функцией распределения Гь(х) и и,— медиана р:(х), т. е.
такая точка, по рг (пг — ) ~ — а-. (7$ (777 ). 1 Показать, что п11 М ь — а',=М а — пг,~. ,~а(а 6. Пусть Ре(х)=-РД=х) и Р;.(х)=РЯ=- х). Показать, что для а ) О и — ос ~ (7 ( оо Ра:а (х) =Ре 7 — ), р; „, (х) = Р'Е (:). Если д'=-О, то ~;. (у) = Р,(+) 7'17) — РЕ ( — )~'д)+ Р-,( — ):77). 56 Гл ! элгмептхгг!ля таогпя Вевоятносте!т Пусть с+=шах (Е, 0). Тогда О, х<О, Е.!- (х) =- Рв(0), х=О, Г!е (х), х )О.
7. Пусть Е и з) — две случайные величины с Г)'. >О, 00) О, и р=о(",-, г)) — их коэффициент корреляции. Г!оказать, что !р ~.=- ~ 1. При этом, если р , '= 1, то найдутся такие константь; а и (!, что г)= а$+Ь. Болсе того, если о =-1, то !! — Мч з — М'э Гт О!! 1ХО=- (и, значит, а ° О), если гке р= — 1, то и — мч ": — м; Рбч 1 !э= (и, значит, а('0). 8. Пусть с и 9 — две случайные величины с Мс=.М!1=0, Г)с=-Г)!1=1 и коэффициентом корреляции р=-р (е, О).
Показать, что М шак (са г(э) =.= 1 -'- Рг( — р'-'. 9. Используя равенство! — „=- Ц(1 — )л,), дскгзать фор() л,. !.=! му лу Р (Ва] = 1 — 5, + 5., -1-...: 5,, нз зада ш 4 ~~ 1. 1О. Пусть Е„..., "„— независим!ае глупа!(ные вели шны, Ч! !Г! (аы Ь) и г(г <рт я! "! ., е„) — две фтнкипи !л г!, ..., с, и 5!,„„..., с, соответстве!шо. Показан,, чзо сл! !а!!пь!е величины <г! и !рв независимы. 11. Показа!в, что случайные величины !, ..., с„независимы тогда и только тогда, когда для всех х,, ..., х„ Ев „,! (х„..., х„)=Ее (х,) ... Е» (х„), где ггл ...,е (х„..., лл) = Р Яг---=хг, ..., с„-=..-х„';. "' ' -п 12. Показать, чзо случайная величина с пе зависит от самой себя (т. е.
$ и $ незаю!симы) в тем и только том случае, когда $ =— со!!з1. 13. При каких условиях на $ случайные величины $ и э!п$ независимы? !4. Пусть с и !1 — независимые случайные величины и г) чьО. Выразить вероятности событий Р Яц= г) и Р 1-~-==г~ через вс- роятностн Ре(х) и Р„(у). Э». схема вш п»лли, ь закон вольших чисел й б. Схема Бернулли. 1, Закон больших чисел 1. В соответствии с данными выше определениями тройка (»>, а.-»:, Р) с Ы = (пи о>=(а„..., а,), а;=О, 1), е'Е = (А: Л Б 1>), р (ы) = р-'у" была названа вероятностной моделью, отвечающей и независимым испытаниям с двумя исходами, илп схе»>ой Бернулли.
В этом и следующем параграфе мы изучим некоторые пре- дельные (в указываемом ниже смысле) свойства схем Бернулли, которые оказывается удобным вести в терминах случайных вели- чии и всроятносте>! собьпии, связанных с пимп. Введем случайные ве:пгчпны ".„, ..., -„, полагая для ы=-(а„... ..., а„), что «;(ы) =по 1=1,..., и.
Кзк мы уже видели, берпул- лиевские величины с; («») независимы п одинаково распределены: Р ($;=1) =р, Р(«л=-О) =-д, 1=-1, ..., и. Понятно, что случайная велич>ша гы характеризует результат испытания на еьм шаге (в 1-и момент времени), Положим 5„(ь>) ==О и 5 = «> -1-... -1- 1м А = 1, ..., и. Как было найдено выше, М5„=-пр и, следовательно, а (1) 1.1наче говоря, среднее значение .частоты появления «успеха», т. е. 5»,'~г, совпадает с вероятностью «успеха» р.
Отсюда естес>- венно возникает вопрос о том, как велики отклонения часто>ы 5„,'и появления «успеха» от его вероятности р. Прежде всего отметим, что ие приходи>ся рассчитывать на то, что при достаточно малых е ) О и даже при больших значениях и отклонения частоты 5„)п от вероятности р будут меньше е для всех ш, т, е. что будет выполнено неравенство — )7 ~ ~ в, «> е= »« ° при О(р(! = 1~=Р Я» =1, ..., «„=1)=р, = О(=Р Д,=О...., Е„=О)=д", (2) Действительно, Р> >(вп Р ('~л откуда следует, что неравенство (2) не выполняется прн достаточно малых е О. 88 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
