1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 7
Текст из файла (страница 7)
злемептхгнхя теогня вегоятноствп 4. Используя вероятностные соображения, доказать справедливость следующих тождестш ,У, С~=2", о о а й(й — 1)С' =т(т — 1)2 -', т~2. о=о $ 3. Условные вероятности. Независимость !. Поня!ие вероятности событий дает нам возможность ответить на вопрос такого типа: если урна содержит М шаров, из которых М, шаров белого цвета и М, — черного, то какова вероятность Р(А) собьния А, состоящего в том, что выкрашенный шар имеет белый цвет. В случае классического подхода Р (А) =М,!М. Вводимое ниже понятие условной осротпностп позволяет отвечать на вопрос следую!него типа: какова вероятность того, что второй извлеченный шар белого цвета (событие В), при условии, что первый шар также имеет белый цвет (событпе А)? (Рассо!атривается выбор без возвращения.) Естественно здесь рассуждать так: если первый извлеченный шар имел бель!й цвет, то п! ред вторым извлечением л!ь! имеем урну с М вЂ” 1 шаром, из которых М, — 1 шаров имеют белый цвет, а Мо — черный; поэтому представляется целесообразным считать, что интересующая нас (условная) вероятность равна Л'!1 — ! Я вЂ” ! ' Ладим теперь определение условной вероятности, согласующееся с >штуитивными представлениями о ней.
Пусть (Рм а ~, Р) — (конечное) вероятностное пространство и А — некоторое событие (т. е. А енот'). Определение 1. Условной вероятностью события В при условии события А с Р(А)- О (обозначается Р(В ! ~А)) называется величина Р (АВ) Р(А) ' »» холоаные Вгснолтностп независимость В случае классического способа задания вероятностей Р(Л) =- Р(ЛВ) = —,.
и, значит, Л'1А) М (ЛВ) ь' бы) ' Л' (».) (2) Следующие свойства условных вероятностей непосредственно вытекают из определения 1: Р(А' А) =-1, РЯ/А)=0, Р(в~А)=1, в л, Р (В, + В, ~ А) = Р (В, ~ А) + Р (В«1А). Из этих свойств следует, что при «закрепленном» множестве Л условная вероятность Р (; Л) обладает на пространстве (<2 П А, .т. () А), где « ~П А =',В() А: В е= »»), теми же свойстаамп, что и исходная вероятность Р( ) на (»1, «.*К).
Отметим, что Р(В! А)+Р(В ~ А) =1, однако, вооб:це говоря, Р (В ~ ~А) + Р (В ~ Л) =~ 1, Р(В ~ Л)+Р (В; А) Ф1. П р и ме р 1. Рассмотрим семьи, имеющие двух де ей. Спрашивается, как жа вероятность того, что в семье оба ребенка мальчики, в предположении, что: а) старший ребенок —:ильинку Ь) по крайней мс;з один пз детей — мальчик? Пространс»во элементарных событий— () =(ММ, МД, ДМ, ДД), где МД означает, что старший рсоенок — мальчик, младший— девочка и т. д. Будем считать, что каждый исход равновозможен: (' ' ) ( Д) (~'' ) (ДД) 4 Пусть А — событие «старший ребенок — мальчик»,  — «младший ребенок — мальчик». Тогда А()В есть событие «по крайней мере один из детей — мальчик», АВ «оба ребенка — мальчики» и интересующая нас в вопросе а) вероятность есть условная вероятность Р (АВ А), а в вопросе Ь) — условная вероятность Р(АВ' А О В).
зг ГЛ ! ЭЧГМС!ГГХРПЛЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕП Л!Гко находи»1, что Р(АВ) !(Л Р(АВ;А)=- Р(А) — -,-,-2 — 2, и (АВ) Р(АВ'А "В)= р(Ацв) =з,! = з' 2. След)шщея просгая, но важная форм)ла (3), носящая название формулы полной вероятности, язляе!ся основным средством при подсче!с вероятностей сложных собы:ий с использовав!ем )слоеных европ:постой, Рассмотрим !!Ек ото рое разбиение Г» = (А „..., А„) с Р (А) ) О, !' = 1, ..., и (час-.о так!.е разбиение назывг!От также полной Группой исс!.внести»!ых сооытпй). Г(сио, что В= ВА! ° ° ' ВА и, значит, « Р (В) = ~ Р (В»1,). !=! Но Р (ВА;) = Р (В; А;) Р (А,).
Тем сах!ь!х! имеет место фори!Т»!Г! полной аерояьчяости » Р(В) = УР(В А)Р(А). ~=! В частности, если О(Р (А) с; 1, то Р (В) = Р (В ! А) Р ( А) + Р (В '! А) Р (А). (4) П р и и е р 2. В урне имеется М шаров, среди которых нг «счаст!и!вых». Спрашивается, какова вероятность извлечь на втором шаге «счастливый» шар (предполагае!ся, что качество первого извлеченного шара неизвестно, рассматривается случай выбора без возвращения обьема и = — 2 и все исходы равновозможиь!). Пусть А — событие «первьш шар — счастливый»,  — «второи шар— счастливый».
Тогда !!! (и — !) р (и»!) л! (л! — '! Р(А) Г! Т! — ! ' ЛК !Ги и! ГГ! — !!1) Р(А) М вЂ” и Л! — ! ЛТ 37 З з. ксловные вероятности независимость Р(В) = Р(В,' Л) Р (А)-УР (В! Л) Р(Л) = »1 — ! м м Х! — а т — —, +— хн — ! ун л! — ! А! АГ Интересно отметить, что вероя!ность Р (Л) также равна !и);И. Таким образом, то обстоятельство, что качес!во первого шара осталось неизвестным, не изменило вероятности того, что извлеченный на втором шаге шар оказался «счастливым». Из определения ус.човной вероятности (Р(А) )О) Р (ЛВ) =- Р (В, Л) Р (Л). (5) Эта формула, носящая название фор,пуль! узпчожснпя аерояп!ногте!(, оообщается (ио индукции) следующим образо«и если события Ао ..., Ла, таковы, что Р (А,, Ла,) - О, то Р(Л! Лл) =Р(Л,) Р(А«~ А1) Р(Л»' Л» А -!) (6) (здесь Л,...
Л» =-А,() Л»П... () Л.). 3. Иредпоетолсим!, что события А и В таковы, что Р (А) ) О и Р(В) ) О. Тогда наряду с (5) справедлива также формула Р(ЛВ) =-Р(Л В)Р(В). Из (5) и (7) получаем так называел!у!о ф о р и у л у Б а й е с а (7) Р(Л;'В) =— Р(л)Р(п Л) Р(В! ' (8) Если собьпия Л„..., Л, образуют разбиение Ро то из (3) и (8) след;ег так называемая теорем а !5 а йес а 1, В Р(л,)Р(В л;) (9) ~Р(Л,)Р(в Л,) *) А рпог! — до опыта, а роа!сг!ог! — после опыта. Б статистических применениях события Л„..., Аа (Л,+...
+ Л. = О) часто называют «гипотезамшк а Р (А;) — априорной а) вероятностью гипотезы Аь Условная вероятность Р(Л; ! В) трактуется как алостгрнориая вероятность гипотезы Л; после наступления события В. Пример 3. Пусть в урне находя'!ся две монеты; Л,— симметричная монета с вероятностью «герба» Г, равной 1)2, и ˫— несиммегричная монета с вероятностью «герба» Г, равной !)3. Наудачу вынимается и подбрасывается одна из монет. Предполо- зв ГЛ, Е ЭЛЕМЕНТАРНЛЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕИ жим, что выпал герб. Спрашивается, какова вероятность того, что выбранная монета симметрична.
Построим соответствующую вероятностную модель. В качестве пространства элементарных событий ес ествснио здесь взять множество (2 = (А,Г, А,Р, А«Г, А«Р), описывающее все исходы выбора н подбрасывания (А,Г означает, что вынута монета А, и в результате подбрасывания выпал герб и т. д.). Вероятности р(со) рассматриваемых исходов должны быль заданы так, чтобы, согласно условиям задачи, Р (А,) =- Р (А») = 1!2 н Р (Г ! А,) =-!)2, Р (Г ! А») = 1)3.
Этими условигми вероятности исходов определяются однозначно: Р (А,Г) = 1)4, Р (А,Р) =-1(4, Тогда, согласно формуле Байеса, интересующая нас вероятность Р(А,)Р(Г А,) 3 Р(А)0)Р(Г~А1)+Р(А»)Р(Г.'Л») 5 и, значит, Р (А» ~ Г) = 2!5. 4. Вводимое в этом пункте понятие нсзааисилости играет в определенном смысле центральную роль в теории вероятностей: именно это понятие определило то своеобразие, которое выделяет теори1о вероятиостси в общей теории, занимающейся исследованием измеримых пространс1'в с мерои. Гслн А и  †д события, то естественно сказать, что событие В не зависит от А, если знание того обстоятельства, что совершилось событие А, никак не влияет на вероятность совершения события В. Иначе говоря, «В це зависит от А», если Р (В)А) = Р (В) (1О) (здесь мы предполагаем, что Р (А) )О).
Поскольку Р (В(А)- Р(Л) ' то из (10) находим, что Р (АВ) = Р (А) Р (В). (11) Точно так же, если Р(В) ) О, то естественно сказать, что «А не зависит от В», если Р(А(В) =Р(А). $ Е ЗСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ Отсюда снова получаем соотношение (11), которое симметрично относительно Л и В и имеет смысл также и тогда, когда вероятное!ь этих событий равна нулю.
Исходя из этого, примем следующее Определение 2. Собыгия Л и В называются независимымп или стапгиспшчески независимыми (относительно вероятности Р), если Р(ЛВ) =Р(Л) Р(В). В теории вероятностей часто приходится рассматривать независимость ие только событий (множеств), но и систем событий (х!Ножеств).
Приведем соответствующее Определение 3. Две алгебры событий (множеств) а Г! и называю!ся независимылги или статистически независимыми (относительно вероятности Р), если независимы любые два множества Л„и Л, принадлежащие соответственно ~=К! и ~се Для примера рассмотрим две алгебры ;К!=(А„Аг, 3, ()) и .-Г,=(А,, А„3, Й), где А, и А — некоторые множества из о. Нетрудно показать, что М! и ат', независимы тогда н только тогда, когда независимы события Л, и Л, Депствительно, независимость Рле!! и т'В означает независимость шестнадцати событий: Л„и Л,„А, и Л,, ..., 12 и П, Следовательно, А, и А., независимы.
Обратно, если Л, и А, независимы, то надо показать, что независимы сстальиые пя!надцать пар событий. Проверим, например, независимость А, и А, Имеем Р (А,ЛВ) =- Р (А,) — Р (А,А,,) = Р (А,) — Р (Л,) Р (Ае) = .=Р (А,) (1 — Р (АВ)) =Р (Л,) Р (АВ), Независимость остальных пар проверяется аналогичным образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
