1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 4
Текст из файла (страница 4)
д. Следовательно, йг(М, гг+1) = 1!а'(М, п)+гт'(М вЂ” 1, и)+...+1«' (1, и) = а « л =См! л — !+Си — 1« л — 1+ ° ° +Сл= =( ' †. -) ( аа 1-1 л, 1 1; л.а-г а-а-1 Сц 1'л — СМ'-г-л — 1)+(С.Ч' 1 — См' 1« л — 1)+, ° ° ...+(Сл 1 — С„")+С'„а =С'гг.;-ла где мы воспользовались следующим легко проверяемым свойсгвом биномиальпых коэффипиентов: г — 1 г 1 С +С=С Пример 5. Выбор без еозврсгцеиия. Будем предполагать, что п = М и что извлеченные шары обрагио не возвращаются. В этом случае также рассматриваются две возможности, связанные с различением упорядоченных и неупорядоченных выборок.
В случае упорядоченных выборок без возвращения пространство исходов (й = (ес иг = (а„ ..., сл), а, 4= а«Ф ...=Е сл, а, = 1, ..., М), а число элементов этого множества (называемых разиегг(еиияэиг) равно М(М вЂ” 1)...(М вЂ” и+1). Для этого числа используется обозначение (1И)л, или А!1, называемое «чпслом размещений из Л( по ил. В случае неупорядоченных выборок (называемых сочеггганилии) пространство исходов 2 =!ах ы=[а„..., а„), а, ~а«Ф...Фа„, а,=!, ..., М), состоит из йг(о) =С" элементов. Действительно, из каждого неупорядоченного набора [аг„..., а„г, состоящего из различных элементов, можно пол) чить ровно п) упорядоченных наборов.
Следовательно, йг (гз) гг)= (М)л и, значит, йг (1)) = ("')л = С", . Результаты о числе исходов в случае и извлечений нз урны с М шарами сведем в табл. !. % ! Веяоятностнля модгль Таблица ! Для случая М=3 и я=2 структура соответствующих пространств элементарных событий приводится в табл. 2. Таблица 2 Пример 6. Разяен!ение дробинок по яче.';ком.
Рассмотрим вопрос о структуре пространства элементарных событий в задаче размещения л дробинок (и~аров н т. и.) по М ячезкам (ящикам и т. п.). В статистической физике подобная задача в ~зникает, например, при изучении распределения и частиц (это могут быть протоны, электроны, ...) по М состояниям (это могут быть энергетические уровни). Пусть ячейкам присвоены номера 1, 2, ..., М, и предположим сначала, что дробинки различимы (имеют номера 1, 2... и).
Тогда распределение и дробинок по М ячейкам полностью описывается (упорядоченным) набором (а,, ..., а„), где а~ — номер ячейки, куда попала дробинка с номером й Если же рассматриваемые дробинки неразличимы, то их распределение по М ячей- !8 тл г элемгнтльнья теоэггя Ввгоятпоствй кам полностью описывается (неупорядоченным) набором [а„... , а.|, где а,— номер ячейки, в которую попала дробинка на гтм шаге. Сравнивая рассматриваемую ситуацию с примерами 4 и 5, видим, что имеют место следующие соответствия: (даорядоченные вьгборки) (раз:гичилгые дробинки), (нерпорядоченньге вьгборки) (неразличимые дробинки), означающие, что случаю упорядоченных (неупорядоченных) выборок в задаче выбора и шаров пз урны с М шарами соответствует (один и только один) сл)чай расположения различимых (неразличимых) дробинок в задаче размещения а дробинок по М ячейкам.
Аналогичный смысл имеют также следующие соответствия; 'в ячейке может находиться любое! вьгбор с возвраи(ениелг~ ;число дрооинок (в ячейке может находиться не', (выбоР без возвРаи(енин) ~(бо,гее одно.г дробинки Из этих соответствий можно сконструировать соответствия типа: неразличилгые дробинки в задаче ы щ в зада!в вьгбора без воз- в каждан иэ них не может находшггься более одной дрооинки и т. д., что дает возможность использовать примеры 4 и 5 для описания стр)кту(ы прсстранства элементарных ссбьпий в задаче распределения различимых и неразличимых дробинок по ячейкам с запрегом (в ячейке может находиться не более одной дробньпсгг) илп без запрета (в ячейке может находиться любое число дробинок).
Табл. 3 показывает структуру расположения двух дробинок по трем ячейкам. В случае различимых дробинок они обозначаются Б (белая) и Ч (черная). В случае неразличимых дробинок нх наличие в ячейке обозначается знаком +. Указанная выше двойственность между рассматриваемыми задачами позволяет очевидным образом найти число исходов в задаче размещения дробинок по ячейкам.
Соответствуюнгие результаты, включающие в себя также и результаты табл. 1, сведены в табл. 4. В статистической физике говорят, что различимые (неразличимые) частицы, не подчиняющиеся принципу запрета Паули, удовлетворяют (физической) статистике Максвелла — Больцмана (соответственно — статистике Бозе — Эйнштейна). Если же частицы неразличимы и подчиняются принципу запрета, то — статистике Ферми — Дирака (см.
табл, 4). Известно, например, ччо электроны, 19 $1 ВЕРОятностнля модель' протоны и нейтроны подчиняются статистике Ферми — Днрака. Фотоны и пи-мезоны — статистике Бозе — Эйнштейна, Известно также, что случай различимых частиц, подчиняющихся принципу запрета, в физике не встречается. Таблица 3 Таблица 4 Р((ья ) 5 зайаие разнсшценил л Фюбинае по М яиейнан мазлииимь~с йрсзиьни Ьшразюиииьзьье юрюйинли (статиютинп чзер.ни-зз ирана ) (М)п йысор упюрядонеиные йьь сории Неуаорядо ленные йььйорни /(айор йз (ья) Ю зсйииг йысюрс и шпоюй из урньь с М шарами 3. Наряду с понятием пространства элементарных событий введем теперь важное понятие события.
Экспериментаторы обычно интересуются не тем, какой конкретно исход имеет место в результате испытания, а тем, принад- лип ерю- > роз- сине- о ифение ч ~9 й М (статистина Мансйллла- йольамана ) и ~мыл-з (статистина Газе — Эйнштей- на) 20 ГЛ 1 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРПЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ лежит ли исход тому или иному подмножеству всех исходов. Все те подмножества Л «= Г2, для которых по условиям эксперимента возможен ответ одного нз двух типов: «исход ««ее А» или «исход е> ф А», — будем называть собыпшями. Например, пусть осу>цествляется трехкратное подбрасывание монеты. Пространство всех исходов Г состоит из восьми точек '»« =(ГГГ, ГГР, ..., РРР( и если мы в состоянии записать (зафнксировать, «измериты> и т, п.) рез>льтаты всех трех подбрасываний, то, скажем, множество А.=-,'ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ( является событием, состоящим в том, что выпадет по крайней и> ре два м ерба», Одгако если мы иож»м зафиксировать лш«ь результат > ервого подбрасывания, то рассма> рива««>ое м>н жество А нельзя буде>' называть событием, пестелю>у нельзя дать ни ттвердительного, нп отрицательного ответа на вопрос о том, принадлежит ли кон>«рет>(ь»> ~~~од <ъ мпожсству А.
Отправляясь от некоторой заданной сне-емы иножсств, являющихся события>ш, можно образовыва;ь новые события, отвечак>- щие констр)к>н>ям вь:сказываний с лош ческими связками «или», «н» и «пш>, чему на язьпсе теории множеств соответствуют операции «объедппеппя», «пересечения», «дополнения».
Если А и  — два множества, то под их объединениги, обозначаемым А Ц В, понимается множество, состоящее пз точск, входящих плп в Л, плп в В: АДВ=(шее ГН ь>ге А илп е>ееВ(. Л Д В вЂ” собьйпе, состоящее в том, пли событие В. А и В, обозначаемое А Г( В, илп из точ«к, входящих и в А и в В: Ба язь>ке теории вероятностей что произшпло плн ссбьй>-е Л, Вер'с чение двух мнсжесгв АВ, есть множество, ссс Ояиие А Д В.= (ы « —. о; ы =-- Л и м = В,'.
Если А — некоторое подмножество»Л, то под его до>голъениеи, обозначаемым в дальнепшем Л, понимается множество точек из ««, не входящих в А. Соб»тие Л Д В состоит в >сии что Одпов(ех>ечпо произошло и собьйпе А, и ссбы>гс В. Так, если Л = (ГГ, ГР, РГ( и В = (РР, РГ, ГР'„то АДВ=-(ГГ, ГР, РГ, РР( (=-(«>, Л Г( — (РГ, ГР(.
2! »! загоятностн»я модель Если через В",А обозначать разносись множеств В и А (т. е. множество точек, входящих в В и не входящих в А), то А = й',А. На языке теории вероятностей А — это собьппе, состоящее в ненасгуплении события А. Так, если событие А = (ГГ, ГР, РГ), то А = (РР) — событие, состоящее в том, что подряд в»впадут две «решетки». Множества А и А не имен>т общих точек и, следовательно, множество А() А является пустым.
Для пустого множества будем использовать обозначение ф. В теории вероятностей множество 3 называется невозгножнььи событием. Множество й естественно назвать необходимым, или досяоверным, событием. Объединение А() В л»ножеств А и В в том случае, когда они пе пересекаются (ЛВ= Я, называется суммой множеств Л и В н обозначается А + В.
Если рассматривается некоторая система Ы'» множеств Л : — й, то с помощью теоретико-множественных операций (), Д и ' можно из элементов ат ь построить новую систему множеств, когорые также являются событиями. Присоединяя к этим событиям достоверное и невозможное события й и ф, получаем систему множеств вт, которая является алгеброй, т.
е. такой системой п>дмножеств множества й, что 1) йе= Г, 2) если Ааз', В---а~, то множества А()В, АГ(В, А",В также принадлежит =,т. Из сказанного следует, что в качестве систем событий целесообразно рассматривать ~акис системы множеств, которые являются алг брами. Именно такие системы событий мы и будем рассматривать далее. Останонпмся на некоторых примерах алгебр событий: а) (й, В) — система, состоящая из й и пустого множества (так называемая трнваальная алгебра); Ь) (А, А, й, ф) — сис1ема, порсждениая событием Л; с) я г' = (А: Л ~ й) — совокупность всгх (включая и пустое множество ф) подмножеств й.
Нетрудно заметить, что все эти алгебры событий получены по сл: дующему при~ пину. Будем говорить, что система множеств (Ог ° ° ° ~«) образует разбиение множества й, а Вй являются атомами этого разбиения, если множества Ей непусты, попарно не пересекаются и их сумма равна й: (.), +... + О„= й. гл ~ элвмантхшыя таоння аггяоятностап Если, например, множество (з состоит из трех точек, (2 = (1, 2, 3), то существует пять различных разбиений: 'Г, = (О,) с О, = (1, 2, 3); Ю',=(0„0.,) с 0,=-(1, 2), Оэ=(3); =(О, 0 ) с 0,=(2 3,' О,=(1)' (По поводу общего числа разбиений конечного множества см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
