1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Некоторые классические модели и распределения 1. Бииомиальное распределение. Предположим, что монета подбрасывается и раз и результат наблюдений записывается в виде упорядоченного набора (а„..., а„), где сч = 1 в случае появлсш:я <герба» («успех») и си=О в случае появления «решетки» («неуспех»). Пространство всех исходов имеет следующую структуру; »1 =(ы: ы =(по ..., а,), а; =О, 1). Припишем каждому элементарному событию е»=(а„..., а») вероятность р( )=р~ "(!" ~)" где неотрицательные числа р н д таковы, что р+д=1.
Прежде всего покажем, что этот способ задания <весов» р(ы) действи- гл г элемента»нля тгояня ввяоятиоствп тельно являезся корректным. Для этого нам достаточно проверить, что ~ р (го) = 1. »> «э Я Рассмотрим все те исходы оо = (а„..., а»), для которых ,5,аг=гг, где я=О, 1, ..., и. Согласно табл. 4 (размещение гг неразличимых «единиц» по и местам) число таких исходов равно С'„. Поэтому ~„р (го) = ~, С»р"г)" "= (р+ г))" = 1.
о>: — и »=о Итак, пространство (! вместе с системой гг» всех его под- множеств н вероятностями Р(А) = ~ р(ол), Л сна.гъ определяет имя и»которую вероятностную модель. Естественно ее назвать вероят. постной моделью, описывающей и-кратное подбрасывание монеты. В случае и = 1, когда пространство элементарных исходов состоит лишь из двух точек ол = ! («успех») и <о = О («неуспех») героятность р(1) = р естественно назвать вероятностью «успеха». Далее мы увидим, что рассматриваемая нами верояыгостная мо- дель, описывающая и-кратное подбрасывание моне ы, мож т быль получена как результат и «независимых» испытаний с вероят- ностью «успеха», на каждгом шаге равной р.
Введем в рассмотрение события А»=(гв: го=(а„..., а»), а, +...+а„=ггг, lг=-О, 1, ..., и, означающие, что произойдет в тогногти /; «успсхов». Из сказанного выше следует, что Р(Л„)=С ра (1) » причем ~Р(Л»)=1. »-о Набор вероятностей (Р (А,), ..., Р гЛ„)) называется бинилгггальногм гпмирсде»кнгоем (числа «усг:.сх и» в выборке объема и). -чо распределение нг!»аст исклюшпельво важную (голь В теории вероятностей, возникая в самых разнообразных вероятностг ых моделях.
Обозначим Р«(lг) = Р (Л,), Ф = О, !... и. На рис. ! ! воспронзгедеиы биномиальные распределения для случая р = —- 2 («симметричная» монета) и и = 5, ! О, 20. Приведем еще одну модель (в сущности эквивалентную предшествующей), описывающую случайное блуждание некоторой «частицы». 29 $2 НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ Л$0ДЕЛИ Пусть частица выходит из нуля и через единицу времени делает шаг на единицу вверх или вниз (рнс. 2).
Таким образом, за л шагов частица может переместиться максимум на и единиц вверх или п единиц вниз. Понятно, что каждая ктраекторпяи со движения частицы люжет быть полностью Р„1й 0,5 03 0,1 0 1254 55783!0 й 01й545 /', Й/ 05 0,й 01 0 5 8 10г2 15 й01с рис. ( Графики Сииосжилыиык исролтиос~сй Р„(а) длл и = 5, 10, 20. описана набором (аи ..., а„), где а;=+ ), если на (-м шаге частипа сдвигается вверх и а,= — ), если сдвигается вниз.
Припишем каждой траектории ы ивсе» р(2о) =р'( 'ди-ии"(, где т(~о) — число +1 в последовательности со =(аи ..., а„), т, е. (о, +... + ии(+ и л а неотрицательные числа р и д таковы, что р+д= !. Поскольку ~", Р(ы) = ! Рис. 2. имя то набор еероятнсстей р (ы) вместе с пространством (й траекторий ы=(а„..., а,) и его подмножествами действительно определяет некоторую вероятностную модель движения частицы за п шагов. Поставим следующий вопрос: какова вероятность события А„ что за л шагов частица окажется в точке с ордпнатой, равной 80 ГЛ,1. ЗЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТКОСТЕН й? Этому условию удовлетворяют все те траектории а, для ко.
торых т(ш) — (и — т(от)) =й, т. е. ч(ш)= — ° л+ )т л+А Число же таких траекторий (см. табл. 4) равно С„' и, значит„ л+в и+в и — и Р(1) С и з Рассмотрим асимптотпку этих вероятностей при больших л. Если число шагов равно 2л, то из свойств биномиальных коэффициентов следует, что среди вероятностей Р (А»), ;)т,== 2а, максимальной является вероятность Р(Ае) = Сл„2 "" -~-.т-г-( () 1 г.т 4 рис. 3. Возникновение Оигтоиивль ного рвсорецелении. Из формулы Стнрлинга (см, формулу (б) в п.
4) п( )Г2птте-"и'*). Поэтому Сл = ' 2»л. (Ял)) »„1 (~г!р )тил н, значит, прп больших и Р (А,) )' лл Рис. 3 дает представление о возникновении биномиального распределения при движении частицы за 2л шагов (в отличие от рис. 2 временная ось здесь направлена вверх). ) (л) ») Соотношение 1(л) д(тг) ознвчвет, что — -»1 ири л-»со. и (л) Таким образом, биномиальное распределение (Р (А „), »... Р (А,), ..., Р (А,)) описывает, как говорят, распределение вероятностей положения частицы за л шагов. Заметим, что в «симметричном» случае (р = т) = 1)2), когда вероятность отдельной траектории равна 2-", л -Ь» Р(А„)=С, з 2-", г г НВКОтООЫВ КЛЛССИагВСКИВ МОДВЛИ где р; — О и р,+...+р„= 1, Залгетл!лг, что р(ы) =- ~, Сл(л„..., л,) р'а „.
Рл» пми )л -/-... +аа =л) где Сл(л„, ..., л,) — число (упорядоченных) последовательностей (а„..., а,), у которых элемент Ь, встречается л, раз, ..., элемент Ь, встречается п, раз. Поскольку число способов, которым л, элементов Ь, можно расположить на гг местах, равно Сл', и, элементов Ьг — на и — л, местах — С'„" л и т. д., то л! !л — л,)! л,! !п — л,)! лг! !п — ла — лг)! л! гаа! Поэтому У Р( )= У,, р,' " Р„'=( +" +Р.) — 1 юмо (л ' О,....л О~ л —,...-!-л =-л г и, следовательно, рассматриваемый способ задания вероятностей являстся корректным. Пусть А„„,, „=(ьс ч,(ег) =л„..., ч,(ОО) =л,).
Тогда Р (А... ) = С, (л„..., л,) р",' . „р"; (2) Набор вероятностей (Р(Ал, ...,л)) носит название муль>пиномиального (полиномиального) распреде- ления. 2. Мультиномиальное распределение. В обобщение предшествующей модели предположим, что пространство исходов имеет следующую структуру: л) =(Он аа=(а„..., ал), а! =Ь„..., Ь,), где Ь„..., ܄— заданные числа, Пусть та(ал) — число элементов в последовательности !о=-(ап ..., ил), Равных Ьо !=1, ..., г, и вероятность исхода Ог определяется формулой р, сн р',м гп 1 плгнгнтхпнхя тгоепя веооятностеи Подчеркнем, что возникновение этого распределения и его частного случая — биномиального распределения — связано с выбором с возвращением. 3.
Многомерное гипергеометрическое распределение появляется в задачах, где имеет место выбор без возврапшния. Для примера рассмотрим урну, содержащую М различных шаров, занумерованных, скгжем, числами 1, 2, ..., М, из которых М, шар имеет кинет» 6„..., М, шаров имеют «цвет» Ь„ М, +...+ М„= М. Предположим, что осуществляется выбор без возвращения объема и ( М. Пространство элементарных событий Й = — (оп ы = (а„..., а,), а, ~ аз ~...
Ф- а„а; =-1, ..., М) и )к'((г) = — (М)„. Будем считать элементарные события равновозмсжными и найдем вероятность события В„„, и, состоягцсго в том, что и, шар имеет цвет Ь,, ..., п, шаров имеют цвет б„ и,+...+п„=п. Нетрудно показать, что Л (К1. °...и ) — Сп(пк . ° . %)(Мк)л ''' (31 )к и, значит, к и„ н(в, .) с„~ ...с„ (В, - ',)= ~д~' " = (3) Р(Вп, „,)= ' '„', и,+па=а, М,+ Чк=М, (4) содержит девять факториалов.
Однако легко показать, что если М вЂ” оо, М, — оо, но так, что — — -к- р (и, следовательно, Л'! к Мк -к-1 — р~), то Р (В ) -+ С" р" (1 — р)" ° Иначе говоря, при сделанных предположениях гипергеометрическое распределение аппроксимируется биномиальным, что интуи. тивио понятно, поскольку при больших М и М, (конечный) Набор вероятностей (Р(Вкг„, „)) носит название многомерного гипергеолип~рикесного распределения. В случае г=-2 это распределение называют просто гипергсометрпческим в связи с тем, что так называемая производящая функция этого распределения есть гипергеомстрическая функция.
Структура многомерного гнпергеометрического распределения довольно сложна. Так, вероятность зз » 2 НЕКОТОРЫЕ КЛЛССНЧЕСКПЕ МОДЕЛ11 выбор без возвращения должен давать почти тот же результат, что и выбор с возвращением. Пример. Используем формулу (4) для нахождения вероятности угадывания шести «счастливых» номеров в известной лотерее «спортлото», суть которой состоит в следующем. Имеется 49 шаров, занумерованных числами 1, 2, ..., 49, из которых шесть шаров «счастливых» (скажем, красного цвета; остальные — белого). Производится выбор без возвращения шести шаров. Спрашивается, какова вероятность того, что все шесть вытащенных шаров являюгся «счастливыми».
Полагая М = 49, М,=б, п,=б, гг»=0, видим, что интересующее нас со5ытие В, „= (6 шаров — «счастливые») имеет, согласно (4), вероятность Р(В, «)=5,—, 7,2 10 !9 4. Числа и! с ростом п растут чрезвычайно быстро. Так, 10! =3628800, 15! = 1 307 674 368 000, а 100! содержит 158 знаков. Поэтому как с теоретической, так и вычислительной точки зрения важна следуюгцая формула Спгрлпнга: п! = ф' 2пл("-) ехр (;-а-), 0~0„(1, (6) доказательство которой имеется в большинстве руководств по математическому анализу (см.
также 1691). 5. Задачи. 1. Доказать формулу (5). 2. Показать, что для мультиномнальпого раопределения (Р (Л,„ ..., „ )) максимальное значение вероятности достигается в точке (л„..., й,), удовлетворяющей неравенствам; ггр; — 1 ~ <./«1== (и+« — 1) р;, г'=-1, ..., г. 3. Одно,черная модель Озинга. Пусть имеется и частиц, расположенных в точках 1, 2, ..., п. Предположим, что каждая из частиц относится к одному из двух типов, причем частиц первого типа и, и второго — п«(л,+п«='-л). Будем считать все л! расположений частиц равновозможными. Построить соответствующую вероятностную модель и найти вероятность события Л„(пггг, пгг»л пг»о пг«») = 11»„= и„, ..., »2»=пг»»), где»ц — число частиц типа г, следующих за частицами типа у ((, ! = 1, 2) гл !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
