1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 8
Текст из файла (страница 8)
5. Понятие независпз!Ос!'!! двух множеств и двух алгебр множеств распросграняется на случай любого конечного числа множеств и алгебр множеств. Именно, говорят, что множес~ва А„..., Л„независиьиы или статистически независимы в совоку!тости (относительно вероятности Р), если для любых !1= 1, ..., и и 1=-!', (!В <... <!'„~ и Р(Л; ...Л, )=Р(А, )...Р(Л, ). (12) Алгебры множеств е'„..., а-~„называются независимыми или статистически незав!!самыми в совокупности (относительно вероятности Р), если независимы любые множества А,, ..., Л„, принадлежащие соответственно О-8'„..., юК„. 4о гл. ь элемент»гноя теоеня всеоятиостшт Отметим, что из поиареой нсзаеисимесгли событий не следуегн нх независимость.
Действигельио, если, например Й =.—.. (в„в», во м») и все исходы равновозможны, то нетрудно проверить, что с<,бытия А=(оом со,), В=(вм во) С=(в„в„) попарно нсзавьвгмы, но Р(АВС) = -~- (2~ ) =-Р(А) Р(В) Р(С). Отметим также, что из того, что для некоторых событий А, ВиС Р (АВС) = Р (А) Р (В) Р (С), вовсе не следует попарная независимость этих событий, В самом деле, пусть пространство 0 состоит из 36 упорядоченных пар (1, 1), где ~', ) = 1, 2, ..., 6 и все эти пары равиовозможны. Тогда для А=(((, 1): 1'=1, 2 или 5), В=-((1, )): ) 4, 5 или 6), С = ((1, )): ~+ 1 = 9) имеем Р (АВ) =,' -,' = Г (А) Р (В), Р(АС)= 'зь~Гз -Р(А)Р(С), Р (ЕС) = —; че,„= Р (В) Р (С), но в то же в) емя Р(АВС) =-,. = Р(А) Р (В) Р (С).
6. С точки зрения понятия независимости рассмотрим подробнее классичсскУю модель (О, ос', Р), введеннУю в 9 2 и пРиведшую к возникнове1шю биномиального распределения. В этой модели О-=(ео: в=-(а„..., а„), ас — О, 1), о:е'=(А: А ~ с)) р (в) =- рг"'6 (13) Пусть событие А ~ 11. Будем говорить, что это событие зависит от испытания в /г-й момент времени, если оно определяется лишь значением а». Примером таких событий являются события А„=(в: и»=-1), А»=(в: а»=О).
Рассмотрим последовательность алгебр о ~м а:Р'в ..., от''„ где ос»=(А», Ав ф, »1), и покажем, что н сл)чае (13) эти алгебры независимы. 4! 4 3 услОВные ВВРОятиОсти. незлВисимость Ясно, что ( 1,) р (ы) ~ р ч) Ва а~=1! !и, аа=1! =р а + . +аа -';а, -'-...-5-а„ Р 5ас, ..., ас, г аа ..., а,) л — 1 Хй1" " ' ' -"'«-" 'л) =р~ Сл1р1С)'л 151=„, 1-. 0 п аналотичный подсчет показывает, по Р(АУ)=.с( и прп й~( Р (А,Л,) = р', Р (АВА,) == р5), Р (ЛВЛ,) =-5)а. Отсюда легко выводится, что алгебры зтс, и а-с'„54Ф(, независимы. Точно так же показывается, что независимы и алгес11Ы СЕВ„С 5У„..., В5ал.
ЭТО даЕт ОСНОВаННЕ НаэватЬ раССЗ!азрни: С:у!О модель (сз, Вл', Р) моделью, отвечаюьцей «и незавпсимьгл испытаниям с лвух!я исходами п вероятностью ауспеха» р», Я. Б1 (.- нулли Оыл пссрВьп!, кто систематически изачат эту модель и дока" зал для !1ее справедливость закона боль!них чисел 5ЬХ 5). Б связи с этих! эту модель называют также схемой Бернулли (с ди; .1я 1ХХОДаМ;1 — К) С1 СХОМЪ И аНЕ) С1 СХОЗМ вЂ” И ВС( ОЯТИССТЬЮ Ю СПСХаа,1) Детальное рассмотрение вероятпсстпсго пространства в сю:ме БС11н1тчли псказывеет, что Оно имеет стр)кт)'ру !!прямого проч!3- ведения вероясностиых просзранс!в», состоящую в слелующсх!.
Г(редполо1киз1, что задан набор (1'1„"",1, Р,), ..., (()л, ",с'л, Рл) конечных верон!Постных пространс1В. Образ1ем пространсзвз О =- 141 Х ССа Х .. ЛХ Стл ТОЧЕК Са = (а„..., Пл), Гдс П1 СВ й1. ОбОЗИВ- чим асс=.®,Д...лласл — алгебРУ подмножес1в ь), состоЯшУ!о из сумм множеств вида А — --В,ХВ, лВ„с В;ив=-'аа!. Наконец, зля ьл =-(сс„..., а„) положим р(В1) =р, (а!)...р„(11„) и определим Р (Л) для множеств Л =В,хВ,х...хВ„формулой: Р (А) =- ~ р, (а1)...
р, (и,). (а!С В, ..., алсаа„) Нетрудно проверить, что Р(О)=1 и, следовательно, тройка ((1, а с, Р) Определяет некоторое верояткостнсс пространство. Это простракство называют прял1ыл5 ироизаедснисл аероятностпных 15ростра11ссна (й1, аЗТ„Р1), ..., (О„, .".И„, Рл). Отметим олпо легко проверяемое свойство прямого произведения вероятностных пространств: относительно вероятности Р события Л, =(си и, ~ В,), ..., Л,= (ьн а„— Ва), ГЛ.! ЭЛЕАГЕНТАРНАЯ ТЕОРПЯ ВЕРОЯТНОСТЕП где В; ~ Яь являются независимыми.
Точно так же алгебры множеств пространства П а.-Р, = ( А,: А, = (га: а, ~ Вг), В, е= Ю,), а..хааа !Ла: А„=(ы: а ен В„), В„ее;.'В„) являются независимыми. Из приведенных конструкций видно, что схема Бернулли (Р, а,б, Р) с й=(ы; ге=(ао ..., аа), а;=О, 1,', А !1) ( ) \ а, а — га,. может быть получена как прямое произведение вероятностных пространств (г)ь аэаь Р,), ! = 1, 2, ..., л, где и,=(0, 1), е~,—.((0), (1), 00, О,~ь Р; ((1,') =- р, Р, (,'О) ) = о.
7. Задачи. 1. Привести примеры, показывающие, что, вообще говоря, равенства Р (В ' А) -,'. Р !'В А) =-! Р (В ! А)+ Р (В, Л) =! неверны. 2. Урна содержит М шаров, пз которых М, шаров белого цеста. Рассматривается Рыбор объема и. Пусть В; — событие, состоящее в том, что извлеченный на /-и шаге шар имел белый цест, а А„— событие, состоящее в том, что в выборке объема л имеется в точности л белых шаров. Показать, что как для выбора с возвращением так п для выбора без возвращения Р (Вг ' АА) = )ьдн 3. Пусть А„..., Л, — независимые события. Тогда а 4.
Пусть А„..., Аа — независимые события с Р (А;) = рп Тогда вероятность Р, того, что ни одно из этих событий не произойдет, определяется формулой ' Р = П (1 р~') 5, Пусть А и  — независимые события. В терминах Р (А) и Р(В) выразить вероятности событий, состоящих в том, что про- 4з 4 4.
слу'1лпные Велнч11ны и их хАРАктеРпстнкп изойдет в точности л, по меньшей мере й и самое большее й нз событий А и В (/г=О, (, 2). 6. Пусть событие А таково, что оно не зависит от самого себя, т. е. А н А независимы, Показать, что тогда Р (А) равно О или !. 7, Пусть событие А таково, что Р(А) равно О илн !. Показать, что А и любое событие В независимы. 8. Рассматривается электрическая схема, изображенная на рис. 4! Рас.
4, Каждое из реле А, В, С, Р и Е, работающих независимо, открывается и закрывается с вероятностями р и с! соответственно. Спрашивается, какова вероятность того, что сигнал, поданный на <вход», будет получен на «выходе»? Какова условная вероят. ность того, что реле Е было открыто, если на «выходе» был получен сигнал? 5 4. Случайные величины и их характеристики !. Пусть (о, «4«, Р) — вероятностная модель некоторого эксперимента с конечным числом исходов, й!(»!) ( сю, и алгеброй а«! всех подмножеств (4, Можно заметить, что в рассмотренных вьппе примерах, связанных с подсчетом тех нлп иных вероятностей событий А ~ а ~, собственно прнрода пространства элементарных событий г! не представляла интереса.
Основной интерес представляли лишь некоторые числовые характеристики, значения которых зависели от элементарных событий, Так, мы интересовались вопросами о том, какова вероятность определенного числа успехов в серии из а испытаний, каково распределение вероятностеи числа дробинок по ячейкам и т. п. Вводимое сейчас (и далее — в более общем виде) понятие случайной величины призвано определить величины, подлежащие «измерению» в случайных экспериментах. Определение !. Всякая числовая функция 5=с(а), определенная на (конечном) пространстве элементарных событий 1), будет называться (простой) случайной величиной. (Происхождение термина «простая» случайная величина станет понятным после введения общего понятия случайной величины в $ 4 гл.
(!.) гл з злвчсзгглгнля теория всгоятностап Пр имер 1. В модели двукратного подб)расгзиаиия монеты с пространством исходов 1? =(ГГ, ГР, РГ, (зР) определим случайную величину й="„(оз) с помошью таблицы ез ГГ ГР РГ РР й(ез) ! 2 1 1 Здесь 1 (аз) по своему смыслу есть не что иное, как число сгербовз, отвечающих исход)' оз.
)1ругим простейшим примером случайной величины '- является мпдиз:ашер (иначе — харакнзс)зистическая ф))нк))ззя) некоторого жножсснзва А,—,лес; с =-!л (оз), где ч) ) 1, оз.=- А, 10, озфА. Ре (В) = Р (ек $ (ы) я В), В я .Т. Ясно, что значения этих вероятностей полностью определяются вероятностями Ре(х)=Р(оз: 5(вз)=х), х,~Х. ') для нндянзторв используется также обозначение ) (Л). По поводу часто используемых далее свойств ннднкззоров см. зздзчу 1. Когда зкспериментатор имеет дело со случайными величинами, огшсывающими те или иные показания, то основной вопрос, который его интересует, — зто вопрос о том, с какими вероятностями эта случайная величина принимает те или нные значения.
С втой точш) зрения интерес представляет не распределение вероятностей Р на (2, оч'), а распределение вероятностей па множестве значений случайной величины. Поскольку в рассматриваемом сейчас случае й состоит из конечного числа точек, то множество значений Л случайной величшзы ' так)ке конечно. Пусть Л =(х„..., л 1, где (различьыми) числами х,, ..., л' исчерпываются все значения й. Обозначим о — совокупность всех подмножеств ьзнозкества Х, и пусть В е= =2'. Множество В можно такзке интерпретировать как некоторое событие, когда пространство исходов есть Х вЂ” множество значений й.
Расслютрим гза (Х, ь') вероятность )зе( ), индуцнруемую случайной величиной й по формуле » «. слу'!Хпные величины и их хАРактвристики Набор чисел ',Рь(т,), ..., Р (хп,)) называется ргюиределениеьч вераягинасгией е.!!«!айной величины с. Пр имер 2. Случайная величина с, прннпх!а!Питая два значе- ния 1 и О с вероятностями (Оспеха») р н («неуспеха») а, назы- вается берндглиевскай *).
Ясно, что для иее Рь(т)=р'!)т-", х=О, 1. (1) Бг!нап!та.!ьнай (или биномналы1о распределенной) елрчиинг,ь ве.тта!!гной а называется случайная ве.ти«и!на, припизгаюец я и —,. 1 зпггчсиие О, 1, ..., и с еерояпюстетиг Р. (х)=..С,'етг)т ', х=-О, 1, ..., и. (2) Оатютнм, '!то в зтих н во мноГпх но ледткп1ц!х ириьи(тах мч! пе. ю'нкистизнрт е!! ст' ' ктуру Осньв1юГО вероятностно! О и!!Ост(юн. ства (П, птт, Р), а и. тересусмся люил значениями! случай:,!х величии и и.'с ри«и!рсделегиеами верояпюстси, ! С!И"!Ти "С!пан СТРт) КТЬ';та СЛУЧайНЫХ ИСЛИЧИН С ПОЛИСЕ~ к!О аписы';ае сп распределением вероятнтсзей (Ре(х), 1==1, ..., гп1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
