1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 5
Текст из файла (страница 5)
задачу 2.) Если рассматрпвазь всевозмсжные объединения множеств из,З, то вместе с пусзым мнонгсством;3 полученная спсгема множсств будет алгеброй, которая называезся алгеброй пороэгденной разбиение,и Ы' и обозначается я(.2 ). Таким образом, элементы алгебры а (Ы) составляются из пустого множества и сумм множеств, являющихся атомами разбиения эг. Итак, если .'.Р— некоторое разбиение, то ему однозначным образом ставится в соответствие алгебра,й=-сг(Ы). Справедливо и обратное утверждение. Пусть;Я вЂ” некоторая алгсбра подмножеств конечного пространства 11. Тогда найдется п притом единственное разбиение Ю, атомы которого являются элементам п алгебры З, и такое, что .й = сс (Ю ).
В самом деле, пусть множество 0 ~ Я и обладает тем свойством, что для всякого Ве=.Р множество 0()В плп совпадает с О, илп является пустым множестьом. Тогда совокупность таких множеств О образует разбиение Ы с требуемым свойством а(Ы) =;Э. В сл;чае примера а) в качестве Ы берется зрнвпальное разбиение, состояпще лишь из одного множества О, = г); в случае Ь) Ы=(А, А).
Самое мелкое разбиение Ы, составленное нз одноточечных множеств (гэ;), еч е= 11, порождает алгебру в примере с), т. е. алгебру всех подмножеств Й, Покажем, что если пространство 11 состоит, как было предположено выше, из конечного числа точек в„..., о», то общее число У (в б) множеств, составляющих систему а..г', равно 2'. Действительно, каждое непустое множество А е— : в:г' может быть представлено в виде А = ~ой, ..., ьь,~, где ы;, ~ О, 1 =й~М. Поставим в соответствие этому множеству последовательность, состоящую из нулей и единиц: (О, ..., б, 1, О, ..., О, 1, ...), где на (о ..., (э местах стоят единицы, а на остальных — нули. Тсгда при фиксированном л число различных множеств А вида ;,1 ы,, ..., ы;,1 совпадает с числом способов, которыми можно й единиц (й неразличимых дробинок) разместить по Ф местам (по йг 23 з! Веооятностн«я модель ячейкам). Согласно табл.
4 (см. правую нижшого клетку) число таких способов равно Сй. Отсюда (с учетом пустого множества) находим, что йг( К) =1+С +...+С =(1+1) =2 . 4. Пока мы сделали два первых шага к определению вероятностной модели эксперимента с конечным числом исходов: выделили пространство элементарных событий и некоторую систему с' его подмножеств, образующих алгебру и называемых событиями. Сделаем теперь последний шаг, а именно припишем каждому элементарному событию (исходу) огг ен О, г'= 1, ..., йг, некоторый «вес«ч обозначаемый р (со;), и называемый вероятностью исхода гог, который будем считать удовлетворяющим следующим условиям: а) О=- р(ы,) =- 1 (неотргщательность), Ь) р (го ) +...+ р (гон) = 1 (норзгароваг«ность).
Отправляясь от заданных вероятностей р (го,) исходов ыг, определим вероятносгпь Р (А) любого события А в= ос' по формуле (4) Наконец, скажем, что тройка (1?, а-г, Р), где 1? = — (гог, ..., ыь ), о:Š— некоторая алгебра подмножеств О, Р = (Р (Л); Л «: — . с ), определяег (задает) всреятноспгнрю модель, пли вероятностное првстранспно, эксперимента с (конечным) про. страпством исходов П и алгеброй событий а-с". Из определения (4) вытекают следующие свойства вероятностей Р(гтэ) = — О (б) Р(1?) =1, (8) Р(А() В) =Р(А)+Р(В) — Р(А()В). (7) В частности, если Л (? В=,, то Р (А+ В) =- Р(А) + Р (В) (8) (9) Р (А) = 1 — Р (А). 5.
При построении вероятностных моделей в конкретных ситуациях выделение пространства элементарных событий 5? и алгебры событий е;ь", как правило, не является сложной задачей. При этом в элементарной теории вероятностей в качестве алгебры о Г обычно берется алгебра всех подъшожеств Ск Труднее обстоит дело с вопросом о том, как задавать вероятности элементарных собьгтий. ГЛ. !. ЗЛЕМГНТОРНЛЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТР!ОСТЕН В су!Нности, ответ на этот вопрос лежит вне рамок теории верояп!позей„и мы его подробно не рассматриваем, считая, что основной нашей задачсй является не вопрос о том, как приписывать исходам те или иные вероятности, а вычисление вероятностей сложных событий (событий нз в~) по вероятностям элементарных событий. С математической точки зрения ясно, что в случае конечного пространства элементарных событий с немощно приписывания исхоДам о»„ ..., гом незтРппательпых чисел Р, , Рм, УДовлстворяющих условию р,+...+рх =1, мы получаем все мыслимые (конечные) вероятностные пространства, Правильность жс назна!Ченных для конкрстнОй ситуапии зна ченпй р„..., рм может бь!ть до изпестной степени проверена с помощью рассматриваемого далее закона больших чисел, согласно которому в длинных сериях «независимых» экспериментов, происходящих при одинаковых условиях, частоты появления элсментарных событий «близкю! к их вероятностям.
В связи с трудностью, связанной с вопросом о приписывании исходам значений их вероятностей, отметим, что существует много практических ситуапнй, в которых пз соображений симметрии представляется разумным рассматривать есе мыслимые исходы как равиовозможные. Поэтому, если пространство элементарных исходов о состоит пз точек о»,, ..., ы,, где )т'(ОО, то полагают р(го)=...=р(!ок)=1 йГ, и, следовательно, для любого события Л ~ а» (10) Р (А) =Л'(Л)(Л', где )»! (Л) — число элементарных событий, составляющих Л.
Такой способ задании вероятностей носит название класси«оси!'го. Ясно, что в этом случае подечет верон!ностей Р(А) сводится к подсчету числа исходов, приводящих к событию Л. Делают это обычно комбинаторными методами, в связи с чем колбиэапюрпка, имеющая дело с конечными мисжесгвамн, занимает значительное место в вероятностном исчислении, Пр имер 6. Задача О с!1о»!Одеаиях. Пусть урна содержит М шарсв, занумерованных числами 1, 2, ..., М.
Производится выбор объема п с возвращением, при этом рассматриваемые выборки считаются упорядоченными. Ясно, что в этом случае Й = (ес о»=(а„..., а„), а; =1, ..., М) н )у (11) =М". В соответствии с классическим способом задания вероятностей будем считать все М" исходов равновероитными и поставим вопрос о том, какова вероятность события Л = ', !о: а, чь а» ~... ~ а„11, 25 4 ! гвгоятностнля молГль т. е. события, заключающегося в отсутствии повторений. Понятно, что Л' (А) = — М (М вЂ” 1)...
(М вЂ” а+ 1) и, значит, Эта задача допускает следую1пую интересную интерпретацию, Пусть в классе находится и учеников. Будем считать, что день рождения к;ждого ученика приходится на один пз 355 дней и любой день (авновозможен, Спрашивается, какова вероятность Р„ того, что н классе найдутся по крайней мере два ученика, дни рождения которых совпадают? Если рассматривать выбор дня рождения как выбор шара из урны с М= 355 шарами, то согласно (11) з~ Слсх)ющая таблица дает значения вероятпосзей Р„для нското) ых и: и 1 4 10 22 ~ 2З 40 0,284 ! 0,470 ОД07 О ЗЩ ~ 0,007 Интересно отметить, что (вопреки ожидаемому!) размер класса, где с вероятностью 1,!2 найдутся по крайней мере два ученика с соппадающихпл днями реждения, не столь уж велик: он равен всего лишь 23. Пример 7.
Выиврыа~ в лотерею. Рассмотрим лотерею, устроенную по следующему принципу. Имеется Л1 билетов, занумерованных числамн 1, 2, ..., М, из которых и биле тов с номерами 1, 2, ..., и являются выигрышными (М =-= 2п). Бы искупаете и билетов, и спрашивается, какова вероятность (обозначим ее Р) того, что по кра»ней мере один билет будет выигрышным? Поскольку»орядск, в кгторсм извлекгюзся билеты, не играет роли с точки зрения наличия пли ото)тствия в купленном наборе выигрышных билетов, то след)сг считать, что пространство элементарных событий имеет след)тощую структуру: й =(ок м=(ан ..., а„), а, Фа, Ф...чьа„, а, = 1, ..., М).
Согласно табл. 1 )Ч (11) = Си. Пусть теперь Ав.— —. (еи1 ы .—— (а„..., а„), а, 0~пачь...~а„, а; =-и+1...,, М) — ссбыг»е, состоящее в том, что среди купленных билетов пот Гл 1 элемег!тАРнхя твоаия Вегоятностеп выигрышных. Опять-таки, согласно табл. 1, Л! (А,) = Сд! „. Поэтому и, значит, Р = 1 — Р (А,) = 1 — ~ 1 — — "„) (! — ", )...
(! Если Л4 =и' и !!-~-оо, то Р(Аа)-~е-! и Р -+ ! — е-' = 0,632, где сходимость довольно быстрая: уже при л=!О вероятность Р = 0,670. 6. Задачи. !. Установите справедливость следующих свойств операций () и П: А () В = В () А, АВ =- ВА (ксммутативность), А () (В() С) =(А () В) () С, А (ВС) =(АВ) С (ассоциативность), А(В() С) =- АВ() АС, А () (ВС) =(А () В) (.4()С) (дистрибутив- ность), А О Л = Л, АА = А (идемпотентность). Показать также, что А()В=-ЛПВ, Я=А()11.
2. Пусть множество !1 состоит из Л! элементов, Показать, что сбщее число е((Л') различных разбиений множества И определяется формулой е( (Л!) = е-' т' ~, . (12) е =-а (У к а з а н и е. Доказать, что и — ! !((Л')= '~, С"„! Н(й), где е((0) =1, и затем проверить, что ряды в (12) удовлетворяют этим рекуррентным соотношениям.) 3. Для любой конечной системы множеств А,, ..., Л„ Р (А!()...() А„) =Р (А,)+...+Р (А,,). 4. Пусть Л и  — два события. Показать, что ЛВ()ВА есть событие, состоящее в том, что произойдет в точности одно из 27 З 2.
НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛП событий А или В. При этом Р(АВ() ВЛ) =Р (А)+Р (В) — 2Р(АВ). б. Пусть Л„..., ˄— ссбытия и величины 5„5„..., 5„ определены следующим образом: 5„=1, 5,= УР(А»,П...()Л»), 1=г«п, где суммирование распространяется по неупорядоченным подмножествам У,=-(йы ..., /2,1 множества (1... и). Пусть В,„— событие, состоящее в том, что одновременно произойдет в точности т событий из Л„..., Л„. Показать, что Р (В»,) = ~ ( — 1)™С,5„.
»=и» В частности, для л»=О Р (В,) =1 — 5,+52 —... + 5„. Показать также, что вероятность того, что одновременно произойдет по крайней мере ш событий из А„ „ ., А», равна и Р(В )+ +Р(В ) =,5', ( — 1)' С'„",5,. В частности, вероятность того, что произойдет по крайней мере одно из событий А„..., Л„равна Р(В,)+...+Р(В„),=5,— 5,+... 5». з 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
