1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 2
Текст из файла (страница 2)
— полной вероятности 36, 87, 90 Формула связи моментов и семиинвариантов 309 — Сете — Колмогорова 456 — Стпрлинга 33 — умножения вероятностей 37 Фундаментальное тождество Вальда 481 Фундаментальность в среднем 269, 276 — по вероятности 269, 275 — с вероятностью единица 269, 274 Функции верхние 384 — нижние 384 — Радемахера 287 — распределения 45, 46, 166, 187, 261 — Хаара 288, 289 Характеристика взаимная 476 — квадратическая 475 Характеристическая функция 292 — — множеств 44 Центральная предельная теорема 343, 347, 350 Цепь Маркова 529 — — апериодическая 538 — — возвратная 546, 547 — — дискретная 530 — — конечная 530 — — неразложимая 535, 547 — — однородная 530 — — положительная 546 П РЕДИСЛО В И Е В основу настоящего учебного пособия положен трехсемест.
ровый курс лекций, который читался автором в течение ряда лет на механико. математическом факультете Московского государственного университета н был частично издан ротаприптным способом под названием «Вероятность, статистика, случайные процессы, 1, 11», пзд-во МГУ. В соответствии с традицией первая часть курса (примерно один семестр) отводится на элементарную теоршо вероятностей (глава 1).
Изложение начинается с построения вероятностных моделей с конечным чнслом исходов и введения основных вероятностных понятий таких, как элементарные события, события, вероятность, независимость, случайные величины, математические ожидания, корреляция, условные вероятности и др. Многие вероятностно-статистические закономерности хорошо прослеживаются уже на примере простейшего случайного блуждания, порожденного схемой Бернулли. В связи с этим для этого случая излагаются как классические результаты (закон больших чисел, локальная и интегральная теоремы Муавра и Лапласа), так и более современные результаты (например, закон арксннуса).
Завершается первая глава рассмотрением зависимых случайных величин, образующих мартипгал и марковскую цепь. Главы 11 — 1Ч являются расширенным изложением второй части курса (второй семестр). Здесь излагается (глава Н) ставшая общепринятой аксиоматика теории вероятностей А. Н. Колмогорова и дается математический аппарат, составляющий арсенал средств современной теории вероятностей (а-алгебры, меры и способы нх задания, интеграл Лебега, случайные величины и случайные элементы, характеристические функции, условные математические ожидания относительно о-алгебр, гауссовские системы и др.). Следует отметить, что два результата теории меры — теорема Каратеодори о продолжении меры и теорема Радона-Никодима — принимаются без доказательства. Третья глава посвящается вопросам слабой сходимости вероятностных распределений и методу характеристических функций в доказательстве предельных теорем, Вводятся понятия от- пяедисловпв носительной компактности и плотности семейства вероятностных распределений и доказывается (для случая числовой прямой) теорема Ю.
В. Прохорова об эквивалентности этих понятий. К этой же части курса отнесено рассмотрение свойств «с вероятностью единица» для последовательностей и сумм независимых случайных величин (глава 1Ч). Приводятся доказательства законов «нуля или единицы» (Колмогоров, Хьюитт и Сэвидж), критерии сходимости рядов и даются условия справедливости усиленного закона больших чисел. Закон повторного логарифма формулируется для произвольных последовательностей независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным вторым моментом н доказывается в предположении, что эти величины имеют гауссовское распределение.
Наконец, третья часть курса (главы У вЂ” '»1П) отводится случайным процессам с дискретным временем (случайным последо вательностям). Главы У и ч'1 посвящены теории стационарных случайных последовательностей, где стационарность понимается как в узком, так и широком смыслах. Изложение теории стационарных в узком смысле случайных последовательностей ведется с привлечением понятий эргодической теории: сохраняющее меру преобразование, эргодичность, перемешпванпе....
Приводится простое доказательство (данное А. Гарсиа) максимальной эргодической теоремы, что позволяст дать и простое доказательство эргодической теоремы Биричофа — Хпнчина. Рассмотрение стационарных в широком смысле случайных последовательностей пашшается с доказательства спектрального представления для коварпационной функции.
Затем вводятся ортогональные стохастические меры, интегралы по иим и доказывается спектральное представление для самих последовательностей. Рассмотрен также ряд статистических задач: оценпвание ковариациоиной функции и спектральной плотности, экстраполяция, интерполяция и фильтрация. В зту же главу включен также материал, относящийся к фильтру Калмана— Бьюсн н сго обобщениям. В седьмой гчаве рассматриваются основные результаты теории мартингалов и родственных понятий.
Излагаемый здесь материал стал включаться в традиционные курсы теории вероятностей лишь сравнительно недавно. В последней главе, посвященной марковским цепям, основное внимание уделяется вопросам асимптотического повеления цепей Маркова со счетным множеством состояний. В конце каждого параграфа приводятся задачи, значимость которых может быть различной: в одних из пнх предлагается доказать утверждения, сформулированные, но не доказанные в основном тексте, другие содержат утверждения, используемые пгедпсловпе Лгчскка, лсккбрк г!г79 Л. Ширяев в последугощсм изложении, третьи преследугот цель дать дополнительные сведения к рассматриваемому круту вопросов н, наконец, некоторые носят характер простых упражнений. При составлении курса и настоящего пособия автор использовал разнообразную литературу по теории вероятностей.
В исторнко-библиографической справке указываются как источники приводимых резуггьзатов, так н дополнительная литература, относящаяся к рассматриваемому магериалу. В книге применяется следующая нумерация и система ссы. лок. 1кагкдый параграср содержит свою пумсрацщо тсорсм, лез!к! и формул (без указания но!гера главы и параграфа). Прн ссылке на соответствующий результат пз др)того параграфа той же главы грнмепяется двойная и) мерацпя, где первая цифра указывает номер параграфа (так, ссылка на агормулу (2.10) означает формулу (10) нз з 2). Прп ссылке па результаты из лр)той главы используется тройная нумерация (так, формула гс(14.3) означает формулу (3) из (1 4 главы 1!).
Лвтор пользуется здесь случаем поблагодарить А. Н. 1(олмогорова, Б. В. Гпеденко, 1О. В. Прохорова, которые его )чили и у которых он учился теории вероятностей и советамп которых он имел возмогкпость пользоваться. Лвтор приносит также спо!о признательность сотрудникам кафедр теории вероятностей и математической статистики механико-математического факультета 71ГУ и сотрудникам отдела теории вероятностей Математического института им, В. А.
Стеклова ЛН СССЕ' за обсуждения и советы. ВВЕДЕНИЕ Предметом теории вероя-постой является математический анализ случайных явлений, т, е, таких эмпирических феноменов, которые — при заданном комплексе условий — могут быть охарактеризованы тем, что Для пих отсутствует оегей инннсгическия регулярность (наблюдения пад ними не всегда приводят к одним и тем же исходам) и в то же самое время Они обладиот некоторой статистической регулярностью (проявляющейся в статистической усзойчивости частот), Поясним сказанное па класшшеском примере «честного» подбрасывания «правильной» монеты.
Ясно, что заранее невозможно с определенностью предсказать исход каждо~о подбрасывания. Результаты отдельных экспериментов носят крайне нерегулярный характер (то «герб», то «решетка») и кажется, что это лишает нас возможности познать какие-либо закономерности, связанные с этими экспериментами. Однако, если провести большое число «пезависимых» подбрасываний, то можно заметить, что для «правильной» монеты будет наблюдаться вполне определенная статистическая регулярность, проявляющаяся в том, что частота выпадания «герба» будет «близка» к 1гм Статистическая устойчивость частот делает весьма правдоподобной гипотезу о возможности количественной онспкп «случайности» того пли иного события А, осушествляемого в результате экспериментов. Исходя из эзого, теория вероятностей постулирует сушествование у события А определенной числовой характеристики Р (А), называемой вероятностью этого события, естественное свойство которой должно состоять в том, что с ростом числа «независимых» испытаний (экспериментов) частота появления события А должна приближаться к Р (А).
Применительно к рассмотренному примеру это означает, что вероятность события А, состоящего в выпадании «герба» прп бросании «правильной» монеты, естественно считать равной '),. 10 Вввдение Число подобных примеров, в которых интуитивное представление о численном значении вероятности того илп иного события складывается весьма легко, можно без труда приумножить. Однако все они будут носить сходный характер и сопровождаться неопределенными (пока) понятиями типа «честное» подбрасывание, «правильная» монета, «независимость» и т, п. Призванная изучать количественные характеристики «случайности», теория вероятностей, как и всякая точная наука, стала таковой лишь тогда, когда было четко сформулировано понятие вероятностной модели, когда была создана ее аксиома- тика.
В этой связи естественно хотя бы кратко остановиться ца основных этапах становления теории вероятностей, Возникновение теории вероятностей как науки относится к середине ХЪ'П века и связано с именами Паскаля (1623 †16), Ферма (1601 — 1665), Гюйгепса (1629 — 1695). Хотя отдельные задачи, касаюгциеся подсчета шансов в азартнгях играх, рассматривались ранее — в ХЪ' — ХЪ'1 вв, итальянскими математиками (Кардано, Пачоли, Тарталья и др.), первые общие методы решения таких задач были, по-видимому, даны в знаменитой псрсписке между Паскалем и Ферма, начавшейся в 1654 г., и в пе!звой книге по теории вероятностей «Г!е Ка1!ос!и!)з !и Л!сае 1 пг)о» («О расчетах в азартной игре>), опубликованной Гюйгенсом в 1657 г.
Именно в этот период вырабатывается важное понятие «математическое ожидание», устанавливаются теоремы сложения и умножения вероятностей. Истинная история теории вероятностей начинается с работы Я. Бернулли (1654 — 1705) «Агз Соп)есгапг)!» («Искусство предположения»), опубликованной в 1713 г., в которой была доказана (и вполне строго) псрьая предельная теорема теории вероятностей — закон больших шсел, и работы Муавра (1667— 1754) «М!зсе1)апеа Лпа!уВса Бпрр!егпеп1пш» (примерный перевод может быть таков: «Аналитические методы» нли «Лналитическая смесь»), 1730 г„в которой впервые была сформулирована и доказана (в симметричной схеме Бернулли) так называемая центральная предельная теорема. Я, Бернулли был, вероятно, псрвым, кто осознал важность рассмотрения бесконечных последовательностей повторных испытаний и кто делал четкое различие между понятием вероятности события и частоты его появления.
Муавру принадлежит заслуга в определешш таких понятий, как независимость, математическое ожидание, условная вероятность. В 18!2 г. выходит большой трактат Лапласа (1749 †18) «Т1~еог!е Лпа)у!!9це без РгоЬай!1!1сз» («Аналитическая теория вероятностей»), в которой о~ излагает свои собственные результаты в области теории вероятностей, а также результаты своих предшественников. В частности, оп обобщил теорему Муавра на введение общий (неспммстрпчпый) случай схемы Бернулли, раскрыв тем самым более полным образом значение результата Муавра. Весьма значителен вклад Лапласа, состоящий в применении вероятностных методов к теории ошибок наблюдений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
