1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Именно пм была высказана плодотворная идея, что ошибка наблюдений должна рассматриваться как суммарный эффект сложения большого числа независимых элементарных ошибок. Отсюда следо. вало, что прн достаточно общих условиях распределение ошибок цаблюдешш по крайней мере приближенно должно быть нормальным. К это.зу же периоду в развитии теории вероятностей, когда центральное место в исследованиях занпмалп предельные теоремы, относятся работы Пуассона (1781 — 1840) п Гаусса (!77? †18).
С именем Пуассона в современной теории вероятностей связано понятие распределения н процесса, носящих его имя. Гауссу принадлежит заслуга создания теории ошибок и, в частности, обоснование одного пз ее основных принципов — метода наименьших квадратов. С.тедующпй важный период в развитии теории вероятностей связан с имснамн П. Л. Чебышева (1821 — 1894), А. А. Маркова (1856 — 1922), А. М. Ляпунова (1857 — 1918), создавших эффективные методы доказательства предельных теорем для сумм независимых произволыю распределенных случайных величии. Число публикаций Чебышева по теории вероятностей невелико — их всего четыре, но их роль в теории вероятностей и в создзппн классической русской школы теория вероятностей трудно переоценить.
«С методологической стороны основной переворот, совершенный Чебышевым, заключается не только в том, что он впервые с полной насзойчпвостью выдвинул требование абсолютной строгости доказательства предельных теорем,. но главным образом в том, что "!ебышев всюду стремился получить точные оценки отклонений от предельных закономерностей, возможных прп хотя бы н большом, но конечном числе испытаний, в виде безусловно правильных при любом числе испытаний неравенств» (Колмогоров А. Н, [30)), До Чебышева основной интерес в теории вероятностей был связан с подсчетом вероятностей случайных событий, Им же впервые было ясно осознана и использована вся сила понятия случайной величины и математического ожидания случайной величпньь Лучпшм выразителем идей Чебышева был его ближайший ученик Марков, которому принадлежит несомненная заслуга доведения до полной ясности результатов своего учителя.
Значительным вкладом Маркова в теорию вероятностей явилось начатое им исследование предельных теорем для сумм зависи- Введеиив мых случайных величии и создапие одного пз ногых разделов теории вероятностей — теории зависимых случайных величии, связанных, как теперь прииято говорить, н цепь Маркова. «...классический курс исчисления вероятностей Л.
А.Маркова и его оригинальные мемуары, являющиеся образцом точности и ясиосги изложения, в наибольшей степени содействовали превращению теории вероятностей в одну из самых совершенных ооласгей мазематпки и широкому распростраиепию направлении в методов с1сбышева» (Бернштейн С. Н. [31). Лля докззательства цеитральиой предельной теоремы теории вероятностей (о сходпмости к нормальному закону) Чебышев и Марков применили так называемый метод моментов.
При более общих условиях и более простым методом — методом характеристических функций эта теорема была получепа Ляпуновым. Последующее развитие теории показало,что методхарактеристичсских фупкций является мощным аналитическим средством доказательства самых разиообразиых предельных теорем. Совремеииьш период в развитии теории вероятностей начинается с установления аксиоматики.
Первые работы в этом направлении прииадлежаг С. Н. Бершитейиу (1880 †19), Р. Мизесу (1883 в 1953), Э. Борелю (1871 в 195б), В 1933 г. вышла кипга д. 1.1. Колмогорова «Основные понятия теории всроятностсйж в которой была предложена аксиоматика, получившая всеобщее признание и позволившая охватить ие только все классические разделы теории вероятностей, по и дать строгую основу для развития ее новых разделов, вызванных запросами естествознания и связанных с бескоиечномериыми распределениями.
Изложение в настоящей кпиге основано иа акспоматическом подходе Колмогорова. При этом, чтобы формально-логическая сторона дела ие заслоняла интуитивных представлений, паше пало«ксиве начинается с элементарной теории вероятностей, «элементарность» которой состоит в том, что в соответствующих вероятностных моделях рассматриваются экспсрииеиты лишь с конечным числом исходов. После этого мы даем изложение основ теории вероятностей н се наиболее общем виде.
Начиная с 20 — 30 годов в теории вероятностей бурно развипается один из ее новых разделов — теория случайных процессов, занимающаяся изучением семейств случайиых величии, эволюционирующих во времени. Была создана теория марковских процессов, теория стационарных процессов, теория мартиигалов, теория предельных теорем для случайных процессов. К исдавиему времени относится возникновение теории ипформации. Основное внимание в настоящей клите уделяется случайным процессам с дискретным временем — случайным последовательностям. Однако тот материал, который излагается во второй Введение главе, дает основатсльну>о базу (прежде всего логического характера), необходимую при изучении общей теории случайных процессов.
К 20 — ЗО годам относится и зарождение математической статистики как отдельной математической дисциплины. В определенном смысле математическая статистика занимается задачамп, обратиымн к задачам гсории вероятностей, Если основная цель теории вероятностей — подсчет вероятностей сложных собь>тий для данной вероятностной модели, то математическая статистика ставит перед собой обратную задачу в выявление структуры вероятностно-статнстнческих моделей по результатам наблюдеш>й за теми или иными сложиыьш событиями. Отдельные задачи и методы математической статистики так>не излагаются в настоящей кинге.
Однако достаточно полно здесь предстэвлепа лишь теория вероятностей и теория случайных процессов с дискретным временем. ГЛАВА 1 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕИ 5 1. Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов 1. Рассмотрим некоторый эксперимент, все мыслимые исходы которого описываются конечным числом различных исходов ыг, ..., ын. Лля нас несущесзвеггна реальная природа этих исходов, важно лишь то, что их число Аг конечно. Исходы вг„..., вг,л будем называть влеьчентарныжи события»чи, а их совокупность (конечным) пространством эле»чегииарных собыпгиб или пространством исходов. Выделение пространства элелгеггтарггых событий представляет собой первый шаг в формулировании понятия вероятностной модели того или иного эксперимента.
Рассмотрим несколько примеров описания структуры пространства элементарных событг:й. П р и м е р 1. При однократном подбрасывании монеты пространство исходов И состоит из двух точек: И=(Г, Р), где à — «герб», Р— «решетка». (Мы исключаем возлгоигностгг типа «монета стала на ребро», «монета исчезла» и т. п.) П р и ме р 2. При п-кратном подбрасывании монеты пространство элементарных событий (2 = гг си иг = (а„..., а„), а, = Г или Р) и общее число Аг(л)) исходов равно 2". П р и и е р 3. Пусть сначала подбрасывается монета. Если выпадет «герб», то бросается шестигранная кость (с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, б), если же выпадает «решетка», то снова подбрасывается монета. Пространство элементарных событий данного $ Ь ВЕРОЯТНОСТНАЯ А!ОДЕЛЬ !5 эксперимента будет таким: Й =(Г1, Г2, ГЗ, Г4, Гб, Гб, РГ, РР].
Рассмотрим теперь более сложные примеры, связанные с разными способами выбора л шаров из урны, содержащей М различных шаров. 2. П р п м е р 4. Выбор с ооззращенггкгс Так называют эксперимент, в котором на каждом шаге извлеченный шар возвращается обратно. В этом случае каждая выборка из п шаров может быть записана в виде (ао ..., а„), где аг — номер шара, извлеченного на г'-м шаге. Понятно, что в случае выбора с возвращением каждое аг может принимать любое из М значений 1, 2, ..., Л. Описание пространства элементарных собьпнй существенно зависит от того, считаем лп мы выборки тождественного состава такие, как, скажем, (4, 1, 2, 1) и (1, 4, 2, 1), различными ~ли одинаковыми. В связи с этим принято различать два случая: ггнорядоченные выборки и неунорлдогенньге выборки.
В первом случае выборки, состоявшие пз одних и тех же элементов, но отличающиеся порядком следования этих элементов, объявляются различнымп. Во втором случае порядок следования элементов не принимается во внимание н такие выборки объявляются тождественнымн. Чтобы подчеркнуть, какие конкретно выборки мы рассматриваем, будем для упорядоченных выборок использовать обозначение (а„..., а„), а для неупорядоченных — [ао ..., а„]. Итак, в случае упорядоченных выборок пространство элементарных событий 11 имеет следующую структуру: Й = 1ы: вг = (а„..., а„), нг =- 1, ..., Л1] и число (различных) исходов Аг (Г)) Цгг (1) Если же рассматриваются неупорядоченные выборки, то Р.=(гэ: ы=(аг, ..., а„], аг=1, ..., М).
Понятно, что Л' (11) (различных) неупорядоченных выборок меньше, чем число упорядоченных. Покажем, что для этого случая Ж (()) = С,"гг (2) /г! где СА —= , „' , — число сочетаний из й элементов по 1. Будем вести доказательство по индукции. Обозначим У (М, л) число интересующих нас исходов. Ясно, что для всех и = М йг (й, 1) =/г =САП Предположим теперь, что йг(й, п) =Сыч „„й -М, и покажем, что эта формула остается справедливой при замене п на и+1. гв ГЛ. 1 ЭЛЕМЕНТЛРН«Я ТЕОРИЯ ВСРОЯТНОСТГЙ При рассмотрении неупорядоченных выборок [а,, ..., а„,г) можно считать, что их элементы расположены в порядке неубывания: с, =- с«:--.... = слеп Очевидно, что число неупорядоченных выборок с а, =! равно йг(М, и), с а,=й равно йг (М вЂ” 1, и) и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
