1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Есгесгеснио позтлпгу рб !Пть, чго (11) можно исы:л зоеазь для Голу»гения»»интсгра.!ьпой» формулы — с . 3.-=(»( о ° Рл(а, (2)= )~ Р„(22Р+х "««ПР7)» л с» =-- л г..е суммирование распространяется по тем х, для которых ли+. —;— х)' 22рд — целые числа, Из локальной теоремы следует (см, так«ке (11)), что для всех 221л орле»сленных из равенства 72 =пр+1,)««22Р27 и удовлетв1оряющпх )' л» ш!ю ! 2« Т (со, Рл(ар+7«1~ 2!рд) —.в 17! 11 ) Р (22„22)), 1' 2л (12) ГДЕ зир )е()л, л),,'— «.О, и — «-=э.
(13) 1 1„, .= г Пырей»д»з»1 к точным форм, ли ранкам. 2. П) сгь для — оо ( а =.= й ( со л » 72 ГЛ ! ЭЛЕЬ!Ы-!ТЛРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕГ! Следовательно, длн фиксированных а и Ь таких, чго — Та- ~ а ~ Ь а- Т, Р„(ир+(ь амир!))= асьь<ь !ь а "ь 2 'т' 2и ь1 =е ' + ~~~~ е((м и) ас! <ь 1' 2и а<ь!,<Ь ь = = 1 е-"'и ЬЬ+)т„н'(~, 1'2и,) Ь)+ьт"„а'(а, Ь), (14) где а<са<Ь а 'Й и) — е )' 2а Й„"'(а, Ь) = ~~Ь е((ь, а<! <Ь Из известных свойств интегральных сумм ьнр 1)та'(а, Ь) ! — «О, и- ОО.
— т<а<ь<т Ясно также, что знр !ЛГ(а, Ь) ~ = енр !Е((ь, и) !. ~~' — --е ът льь, :ьь, <т енр )е((м и)!ы !ьь!< т т «[ —,— ) -*"'к <- -Р,:ата. ~! ) а, !~Ы ! Ь 2й — т .а<ь<т' к' ак = 1 е ' ь(х - —, 1 е-"'ть(х=-!. Обозначим (17) где сходимость правой части к нулю следует из (15) и того известного нз математического анализа факта, что б б.
схемл БГРпу.тли. и. пгедельь!ые теогемы Тогда из (14) — (16) следует, что анр ~ Р„(а, Ь') — (Ф (Ь) — Ф (а)) (-э0, л-~ со. (18) — т~а~ь~т Покажем сейчас, что этот результат справедлив не только для конечных Т, но и для Т=со, В силу (17) для заданного е)0 можно найти такое конечное Т- Т (е), что т ! г е — лчэ б(х ~ 1 б (19) 1:2л Согласно (18) можно найти тактке такое У, что для всех и ~ Ь7 и Т=Т(е) (20) эвр (Р„(а, Ь1 — ('1'(Ь) — Ф(а)) ~ - 4 — тра=се т Отс!ода и из (19) следует, что Р„( — Т, Т11= 1 —,, и, с'!едоватсльно, Р„( — ~, Т1+Р„(Т, )=.:: б, где Р„( — со, Т) =- 1нп Р„(5, Т) и Р,(Т, оо) =- 1'нп Р.(Т, Я. Я!— э ! .л Таким образом, для любых — со=-.-а== — Т(Т-=Ь - со ь т Р„(а, Ь) — ' ( е — "'!)х ~ ~Р. ( — Т, Т) — — ' ~ е-""г(х~+ — т ь + Р„(а, — Т) — —,.
~ е — "" с(х + Р„(Т, Ь1 — —,— ~ е — "''-' с(х:— )'2л .! 1'2л ., а т = — — + Р ( — со — "')-'-= тр е — "об г(х+Р„(Т, со)+ йл,! 1 4 2 ! а ' а т Вместе с (!8) отсюда легко выводится, что равномерно по всем — со- =а(Ь . со Р„(а, Ь) стремится к Ф(Ь) — Ф(а), Итак, доказана Интегральная теорема Муавра — Лапласа. Пусть 0<-р~1, Р„()б) = С~р~с)" ", Р„(а, Ь) ~ Р!!(пр+х лр!)) а<.т ~ь 74 ГЛ !. ЭЛЕМСИТХРНЛЯ ТСОРНЯ ВСРОЯТНОСТЕЙ Тоеда эцр Р„(а, Ь1 — = ~ е — "'ь(х -».О, п-~.оо.
(21) 1 .а < а < Ь < и 1 2п а С точностью до тех же самых замечаний, которые были сделаны по поводу соотношения (5.8), результат (21) можно на вероятностном языке сформулировать следующим образом; зцр Р(а~ .. ="Ь~~ — —.
! е — ' -ь(х — »-О, п- со. — а' а — а«<а<» "аа 1« 115« ) !' 2п а Из этой формулы сразу следует, что прп .любых — со а А <". <. В .. о при и — !-оо Р(л 5„В) ~с0 пЛ,— Ф ~ пР 1 0 (22) ! пи!1,, 1'п,ае ! ! П р и и е р. Правильная кость подбрасывается 12000 раз. Спрашивается, какова вероятн сть Р того, что число шестерок будет лежазь в шлервале (!800, 2100(. Искомая вероятность равна Пса < ! «Х !ма Понятно, что точное вычисление этой суммы предсгавляет весьма трудослЬкую работу.
Если же воспользоваться интегральной теорсмоо, то найдем, что шЬгересующая нас вероятность Р рнмерно равна (и =12000, р= —, п =-1800, Ь = 2100) с)) / 2100 — 2000 7 18~~0 — 2000 — Ф! 6'6 ~ 6'6 (),7 !2с!00 — - ( ~,' 12ос»1. 1 5 ! 6 =-Ф(1' 6) — Ф( — 2 17 6): !11 (2,449) — Ф ( — 4,898) --0,992, где значения Ф(2,449) и 414( — 4,898) взяты из таблиц для функции Ф (х) (так называемой нормальной функции распределения, см.
далее п. 6). 3. Нанесем бпномиальные вероятности Р„(пр+х Ъ пру) (х предполагается таким, что пр+ х1' пр!) — целое число) на графике (рис. 9). Тогда локальная теорема говорит о тол!, что для х=о(прт))! ' вероятное~и Р„(пр+х 11 прд) хорошо «ложатся» на кривую % е схсых вернтллгг.
и. првдвльггыв теоремы 75 е — "'гг. Интегральная же теорема говорит о том, что 1 )' заре вероятность Р,(а, Ь) =Р(а ) ирг)(5„— ир~ 67 пр~) =Р )гпр -г ,-~~(х Рис. 9. , и): прг)(5„.==ггр+(г''р ггрг;) хорошо аппрокспмируется интегралом 1')/2.г ~ а- «са ггт а Обозначим ,( ) .( , ) ( Р , х, .
Тогда из (21) следует, что (20) зцр ~'Г„(х) — Ф (х) г — ~0, гг — асс. Естественно возникает вопрос, насколько быстро с ростом и происходит стремление к нулю в (21) и (23). Приведем (без доказагельсгва) результат, относящийся сгода и являгощийся частным случаем так называемой шеореьяы Берри — Эсссена; и'-" Чг зцр (Е„(х) — Ф(х)1-- — . — сс ( к < ю У ггрр (24) Важно подчсркггугь, что порядок сценки (1г)' при) не может быль улучшен, а это означает, что аппроксимация Е„(х) с помощью функции г!г(х) може~ быть плохой при значениях р, близких к нулю пли единице даже при больших п.
Возникает поэтому вопрос о том, а нельзя ли прн лгалых значениях р или г) ггагпгг для интересующих нас вероятностей лучшую аппроксимацию, нежели так называемая нормальная, даваемая локальной и иггтегральной теоремами. С этой целью заметим, что, скажем, при р=-1(2 биномнальное распределение (Р„(й)) имеет симметричную форму (рис. 10). Однако при малых значениях р биномиальпсе распределение приобретает асимметричную форму (см. рис. 10), и поэтому не приходится ожидать, что нормальная аппроксимация будет хорошей. Гл !.
влементхянхя тсоР! гя веяоятггостсгг 4. Оказывается, что при малых значениях Р хорошую аппроксилгаьппо для (Ре(/г)) дает так называемое п) ассоновское распределение вероятностей. Пусть тсисрь „(гг =- 10, /г=ит1, и+2, ..., и предполо>ьим, что Р является фуикп«ей от гг, Р= р(гг). Р //г) /ге д,е О/ Ряс. !о. Теорема Пуассона. //Рсига р(п)- О, и — оо, иричсн пгак, чгво ггр(гг)-~-)., где ).)О. Тогда для любого /г=б, 1, ...
(25) Ре(/О- и», и — г-гс, )де-г пе=- ', /г== О, 1, И (26) и (и — 1) ... (и — /г + 1)) - + о г и ги/~ "(" ))" (" /г+г) Р (1))е )г и" [1 — — + о ~~ — э- е-х, и -э- сгг, что и доказывает (25). ~Чоказательство весьма просто. Поскольку по предполох >ггеггшо Р(гг) =- --+ о, '— П то для любого фиксировапного/г = О, 1,... и '~ и,)' и достаточно больших и 78 ГЛ. 1.
ЭЛЕИЕНТКРН кп ТЕОРПЯ ВЕРОЯТНОСТЕП неравенство Чебышева дает следуюш)ю оценку для пеобходик!ого числа наблюдений: 1 /г~ —,, 42-я Гак, при е=0,02, а=0,05 необходимо 12500 наблюдений. Воспользуемся теперь для решения той же за,течи аппроксимацией (29). Определю число //(а) из соотношения Š— к'/2 ДХ ! Ск 1 1 25 1 си Поско'ьк, е ~/ — '=-- 2е 1//!, то, определяя (наименьшее целое) н -г— из неравенства 2е Р' /! )/4(я), (33) ПОЛ) Ч!Ц!, ЧТО Р ~ ~ —" — // ! ( е! ' 1 — Ох а ! !' (3!) 1",з (33) находим, что наименьшее целое и, удовлетворя!ошес неравенству /~-' (О! 4 е.' 6.
Введенная выше функция к Ф (х) = —. ! е- '*' г(1, 125 д (32) участвующая в интегральной теореме Муавра — Лапласа, играет исключительно важную роль в теории вероятностей. Эта функция гарантирует выполнение (31), где точность аппроксимашш легко лижет быть установлена из (24). Беря е=0,02, а=0,05, находим, что на самом деле д'статочно лишь 2500 наблюдении, а не 12500, как это следо!зало из неравенства е1ебыц!ева, Значения //(о) находятся по табгт!Едал!, Приведем ряд значеенш /т(сг) для некоторых значений Ои а лгк! 0,50 0,675 0,8!78 1,000 О,!О 1,645 0,05 1,960 0,0454 2,000 0,0! 2,576 0,0027 8,000 а 8.
схема веРпулли. и пРедсльпыс тсОРеиы 79 называется норлаланыш илп гауссонс!си,н распределгннен вероятностей на числовой прямой с (нормальной плп гауссовской) плотностью 1 сГ (х) = —, е — "', х ен )та. 1 2л й(ы уже встречались с (дискретнымп) распределения. п, сосредоточенныт!и В конечнсм п счетном мнсунестее точек. 11срчальное распределение принадлежит др) гому важи му типу рас- йббб! пределеппй, возш1ка1ощгх в У~ ~ бр!б'- -1 роль сбъсияется прежде вгсго тем, что при достаточно ссших поедполсжешшх рас- а,и —, 4--, пределенпе с,ммы большего а ьх!4 ~-'-д/ — '- числа независимых случай- "ю -б -1 д ббпр 1,убгбб х' ных величин (не обязательно Рнс.
!1. Графи!с плоткасти и (х) аормальбтернуллиевских!) хорошо аппрокспмируегся нормальяым распределением (ч 4 гл. !11). Остановимся сейчас на некоторых простейших свойствах Функций 9 (х) и ор(х), графики которых приведены на рпс. 11 и 12. а — (~-ауг,(, Тсгсс -б-2 -( Лт,о,), г б 4 х б,б'г! ! йб4! т,аб Рис. 12. График функции нормального распределения Ф (х). Функция ср(х) является симметричной колоколообразной кривой, убывающей с ростом х ~ Очень быстро: так !р(1) =0,24197, р (2) = 0,053991, ср (3) = 0,00*432, !р (4) = 0,000134, !р (5) = 0,000016.
Гл. 1. эламентхгихя твоР!1я вегоятностеи Л1аксимум этой кривой достигается в точке х= 0 и равен (2п) — и'- 0,399. 1 Кривая гЛ (х) = —. ~ е — "' Ю быстро приближается с ростом х Рха к единице; гй (1] =- 0,841345, еЛ (2) = 0,977250, гЛ (3) = 0,998650, гЛ (4) = 0,999968, гЛ (4,5) = 0,999997. По поводу таблиц функций ег(г) и ср(х).
а также других основных функций, использ)смык в теории вероятносгсй и математической статистике см. (6). ?. Задачи. 1. Пусть и =100, р=!710, 2 1О, 3!10, 4710, 5,'10. используя таблицы, (например. из 161) бипомиальиого н пуассоиовсього распределений, сравните значения вероятное'еи Р ',,10 . 5,„, -.= 12), Р (20(5„е:-= 22'„ Р (50 < Ь',ее е= 52) с соответствуя>щими значениями, даваемьцп1 иормалыюй п пуассоповской аппроксимациями. 2.
Пусть р =- 1!2 и 7„ = 25„ — п (число превьипепий единиц 1гад иУляып В и испытаииих). Показатго что зир / )Гпп Р (Уее =/) — е — Пеь' — О, а- оо. I 3. Доказать, что в теореме Пуассона имеет место следующая скорость сходимости: Хеее~ ая зир Р„(/г) — —,-,— 1-.== -' —. 9 7, Оценка вероятности «успеха» в схеме Бернулли 1. В рассмотренной ьыше схеме Бернулли (П, А, Р) с (е =— = — (ск м=(хм ..., х„), хе — — 0,1), аГ =(А: А =1?), р(еэ) =а 'и)" предполагалось, что число р (вероятиость «успеха») известно.
Представим теперь, что р заранее неизвестно и мы хотим его определить по наблюдениям за исходами эксперимента, или, что тО жЕ, ПО НабЛ1ОдЕНИяМ За СпуЧайиЫМИ ВЕЛНЧИиаМИ йп ..., ьь„, где 8е(ео)=хь Эта задача, являющаяся типичной для математической статистики, допускает различные постановки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
