1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 15
Текст из файла (страница 15)
3. В условиях первой задачи рассмотреть вопрос о построении доверительных интервалов для 0. 9 8. Условные вероятности и математические ожидания относительно разбиений 1. Пусть ((1, с:а, Р) — конечное вероятностное пространство и .З =',В„..., Рэ) — некоторое разбиение 12 (О!евве', Р(О!)>О, (=1...,, еп п Е>, -Р...+В!,=О). Пусть, далее, А — событие из а-Е и Р(А , '0;)— условная вероятность события А относительно события О!.
С набором условных вероятностей (Р (А / В,), ! = 1, ..., й) можно связать случайную величину и (е!)=- .5', Р(А 'О!) 7в,(ы) ! =-! (ср. (4.5)), принимающую на атомах разбиения О! значения Р (А (Р;). Чтобы подчеркнуть, что эта слцчайнал величина связана % 8. условные аеяоятпостп и Ожпд !ш!я именно с разбиением лт, ее обозначают Р (А!,Ы) или Р (А ~ ьь) (го) и называют условной вероятностью собыптч А отноп!тельно разбиения '.чо. Это понятие, а также вводимые далее более общие понятия условных вероятностей относительно о-алгебр, играют важную роль в теории вероятностей, что постепенно будет раскрываться последующим изложением.
Остановимся па простейших свойствах условных вероягпостей: если Р— тривиальное разбиение, состоящее пз одного множества г), то Р (А, зй) = Р (А). (3) Определение условной вероятности Р (А, 'Г) как случайной вел!анны дает Возможное.ь ТОБО)зять О ее х!атсмат!О!еском ! жндаиип, гспользуя которое можно следующим компактным Об)азсм заппсазь фор!!улу полной асроптносто (З.З): МР (А ! 'г ) -= Р (А).
(4) Де!',ствп! Рльно, поскольку Р(Л','")= ~' Р(А~В.)уг! (ы), то по опрсделеип!о магема!ического Ояа!дания (см, (4.б) и (4 6)) (й (А, о) — ~ Р(А О,)Р(О,)= ~' Р(АО,)=Р(А), (.:.."ь теперь !) = !)(в) — случайная величина, принимающая с и!.л.;кптельнымп вероятностями значения у„ ..., п!б !) (а) = ~~ у. Го, (ьг), ! =. ! где Г), =-!ь!! Т) (го) =у!!. Разбиение гстч =(О1, ..., Р„!! называется разб:синем, порождаемым случайной величиной !). Условн) ю вероятность Р (А !Юч) будем в дальнейшем обозначать Р (А , 'и) или Р (А, !)) (Бг), и йазьгвать условной вероятностью событпз А относительно случайной велпчины !) Условимся за! же !гпд Р (А ~ т) = у.) понимать условную вероятность Р (А, (л1), где Гл.
г. злементАРИАя теОРия веРОятностеп Аналотнчпым образом, если т1„, Ч,, ..., Ч вЂ” случайные величины н гич ч ч — Разбиение, поРсжденное величинами т)„ т(.„..., т( с атомами г)г, г„. Р =(Ы: Чт(Ь>) =Уг ° ° ° г Ч,ч «О) =Ыуг~ч)~ Р (ьг + '1 = г ~ Ч = у) = Р Я + у = г) (б) В сямгм деле, Р (Е тй Ч ==- г ' Ч вЂ” — У) = Р (й .+ Ч вЂ” г, Ч = У) р пг=е) Р (-+ у -':- г Ч = у) Р (а — ' и =- г) Р (у =- и) р(')РР(г(г/ — г), Используя зту формулу для рассматриваемого случая, находим, гло Р (с+ Ч = /г,:г1) = Р (г+т) =/г' Ч = — О) /гч ц (ы)+ + Р а + 11 = /г ! Ч =- 1) /(„.—.
О (йь) = = Р (Я =- /г) /(ч = г ( ) + Р 5 = й — 1) /г, = О «ь) Итак, уУИ! 0,(ы), й= О, Р~(ч=.-о( (ы)+У/(Я=О (ы), /г= 1, (6) Р/(ч.=- г( (ы) У=2, Р (е + т) =- й ' т)) = или, что то же самое /г = О, /г = 1, й = 2. г/ (1 — г1), РЮ+Ч=/г,Ч)== Р(1 — Ч)+УЧ, РЧ 2. Пусть г = — е (ы) — случайная величина, принимающая значения в множестве Х=-(х,, ..., х,): ь= Х х// . Л =/х с=ха то Р(Л',: ч ч ч ) обозначается Р(Л,т),, т).„..., т( ) н называегся /гчеговногг еерояотностыо события Л олгноеигпельно елУ чайных величин т)О г1г П р и и е р 1. 11) сть е и т( — две независимые одинаково расправе.киные случэйщяе величины, принимающие каждая значенйя 1 и О с верщггиостями р н г/. Найдем для /г=-О, 1, 2 )славную вгроппцость Р(с+т(=-/г',г)) события Л=-(Ри ь+Ч=--/г) относгыелю;о еь С втой целью отме~игг сначала следующий общий полезный факт: гели г и Ч вЂ” две независимые сл)чайные велигнны со значениями х и у соответственно, то % 3.
ЪСЛОВНЫВ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ зо и »=(О„..., 0») — некоторое разбиение, Подобно тому как для в по вероятностям Р(А>), 1=1, „,, 1 было определено математическое ожидание Мй= ч: х>Р(А,), (8) у= ! так н с помощью условных вероятностей Р (Л, ~ Я'), у'=1, ..., 1, естественно определить условное луатематичвсков ьягидание случайной величины $ оглнасительна раэбиеу8 ) ния вуг, обозначаемое М(»(Ы), или Р ( ) — ч )44 М (Р! »т) (ау) формулой (х. !) М Я ~~Ы)= ~ х>Р(А>; Ы). (9) р (.! и) "" М(суй) у =- ! (11 ~ и) Согласно этому определению условное математическое ожидание М (Я, у-а )у (ууу) р г, 1>) уй) .~ (4.,» т) Р, ' ( У вЂ” -' (4('уулт является случайной величиной, пршиумающей для всех элсментарных суубырас.
!4 тпй ы, принадлежащих одному и тОму >ке атому 0„одно и то же значение ~ч; х,Р(Л;',О,). Это ззу'-.= ! мечание показывает, что к опредслеиво условного ма>ем!!гну!еского ожидания М(»,'.З) можно было бы подойти иначе. А иысипуу, сначала определить М(»(0у) — условное математическое ожидание ч относпуельно события О! формулой (1О) М ( 09 = »Р (~у, 0у),= у — -! а затем положить по определению МД Ы)(.)=: ~ М(-.,0,))„,(ы) у -! (см. диаграмму на рис. 14). Полезно отмегить также, что значения М(Р»!О) н М(в , !»д) не зависят от способа представления случайной величины». Проводимые далее свойства условных математических ожиланий непосредственно вытскают из их определения: М(ай+Ьу( ~ Ю) =аМ(»~ ~ы)+ЬМ (»1(.Я), а, б — константы; (!?1 М (» ' ъ) ) = М»д !13) М(С,!~~) =С, С вЂ” к»не!апта; (14) ГЛ !.
ЭЛЕА!ЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ если В=/А(аг), то М (Е ) Ы) = Р (Л ! /Р'). (15) Последнее равенство показывает, в частности, что свойства условных вероны!остей можно получать непосредственно из свойств условных математических ожиданий, Следуюи;ее важное свойство обобигает фор!5!/гу полной оероя/!!- ности (5): 15/1М (К ( Ы) = МЬ. (15) Для доказательства достаточно заметить, что, согласно (5), )гййг) (ь ! Г/) )гг) хт «чо (А ) сит) ч5 х Гяр(л гт) ч! х р Л ) )5/( Пусть Аг =-50„..., Г/Р) — разбиение и г! = — ц !ы> — игкот5з! Вя случайная величина.
Б'дс:1 говоопть, что ц из5В р;:ма отнес!пел„ио итого раз!:пения или ':-пзмепима, если '~„: — '., т. е. ц==цив) может быль представлена и Виде где р, могут быль и равными. Иначе говоря, ся!! чайная вслгчииа о/-изз!ерит!а тогда и только тогда, к!гг/га оиа г,рииимасг пес!оянные з!Рачсиия па а!омах разбиения,о . Г! (! и м е р 2. Дсли "' — '11!иВиалыгое разби.г'.Ие, -'' ==-55!), го ц 'У-изз!Срих!а и тох! и только гом случае, ели ц=---Г, где С— посто51!и!Вя. Всякая с 1) чайная Величина ц измерима Относи.
тельно разбиения Предположим, что случайная Величина ц являе:ся ' -из5!Српмой. Тогда М(ЯЦ Ы) =ЦМ(В ") ,:7) и, в частности, М(ц ' .К) =-ц (1 Ц) (М !ц, '5тч) =-ц). ДВЯ Доказательства (17) заметим, что если Е.= ~ А,/я, ео / —. Ь~ = я,' ~„'х,и!/я о /=1!=! 9! 8 8 условные вегоятиостл! 1! Ож11даупи1 и, значит, » М(ь11' ,б')= ~ ~ х,! р(Л,и,(.буг)= у = 1 ! =- 1 ! л » = Х 2; ху!Уу Х Р(Ау771, В ) 7о„(о)=- ! = 11=- ! юл=-! » =- У ~~ ху!(1Р (Л(01 ',В!) (о. (ы) у=11=1 1 =- К Кх,р,Р(Лу,'В,)7о (ы).
(19) С дррго!й! оторопь, учитывая, что 7о = )о. и 7о. 7о =О, 1~=я!у у ! Лу пол)чаем » =- ~ . )" у;х, Р (А, ' О!) . 1оу (ьу), — 1У= М ($1 с' ) — ~' хуР (Ау ' бт») у' — — ! и достаточно лшиь рстаиогитьь что М 1Р (Лу' ,'278) ( ~х у) = Р (Лу ( Ю!). Поскольку л Р (А,; Л'») = ~,' Р (Ау ! О.„) 1о уу =1 (2!) что гмссте с (19) доказывает (17). Устапов!181 сиде од!1о важное свойство условнык математических ожиданий.
Пусть .'811 и .'уу» — два разбиения, причем Й~уЫ '.=-.'-",, (разбиение ..',',, »мельче» разбиения Ы1). Тогда М(М(, уу,. ~-,у) М (л( гуу- ) Для доказательства предположим, что =',=(О!1, ", шоу,у, Еу =(О»„, 1 0,л). Тогда, если с=- У ху)я, то у у.=! 9? ТЛ Г РЧ И!ГНТХРНЯЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ то М!Р (А,(;~Я)1Ы,)= У Р (А,! ОЯ ) Р(О, )М,)= д =- ! п Иг Р ( Аг 1 Оад) ~ ~л~ ~Р (Одд ~ Огр) То д= р=! и !о„.
~Х, Р (А, ) От) Р (Ояд 1'Отр)= Р (Аг ~ Олд) Р (Оад ) Огр) Р (Л О! ) Р (оад) .! 77 и! ( 77) ( гр) (а: и„-= о„,) = "' Уо,р Р(А; Ог„) =-Р(А,,'.З,), р =- ! чй' '! и '!' .вырвет' 721) Р7 тгал сл) чае, когда разб!гение ат порождаетси случайнымн ВЕЛИЧИиаМИ ц,... Пр(м' = ''д„„), УСЛОВНОЕ МатсьзгатггЧЕСКОЕ ! ж!..(Нине РЛ(':, '".ч и ) бу, ет обьзн!ачаться М(-1ц,, ..., цр), ити !Л!с и„..., 7)гн гч!, и иазые*!ься (с,алагарги иогг.днпгггирссклл! оед идои !!с ч 3 щпнгч инге 7ьно 71,, ..., ! 7~ 11еиосрсдгт! енио из определения М (';) ц) след) е7, иго если 4 и ц незггаищг.иьг, то (22) 11з (78) следует также, что М(ц г,)=. ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
