1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В силу независимости случайных величин $м ..., $„и в силу задачи 9 к Э 4 отсюда вытекает, что для любого О~й<п случайные величины 5л — 5» н 1», ») независимы, а значит, М[(5.-5„))(, =,)]=М[5„-5,) М)(,„,) =О. 104 ГЛ. !. ЗЛЕМЕНТ»РНАЯ ТЕОРНЛ ВЕРОЯТНОСТЕР! Итак, формула (29) установлена. '4"ем же методом доказывается и формула (30): М5ти=,~о М5»1( „= 1= Х М((5 +(5» — 5 )) 1(ти=-')) = »=о »=о и = Х 1М5йу(. =-»1+2М5.
(5» — 5.) 1Р =»1+ »=о и +М (5„— 5»)'1Р„=»1) = М5;, — 2„М (5. — 5»)'1(,„=»! = »=о п и = и — Ч ',(п — У») Р (т„ = уг) = У, 'ЕР (т„ = й) = — Мти. где М$! =р — !у, 0з! =1 — (р — !у)о. С помошью полученных соотношений покажем, что 1нп ти(О) = <.О =- т (О) < со. Если р=5)=112, то в силу (30) Мт„«= шах(А', В'). Если же р~д, то из (33) В!ах( А й В) ги ) ! э (33) (36) откуда ясно, что т(0) (оо.
Заметим также, что в случае р = 5) = 112 МТ„=М5; = А' а„+В» р„+М(51!1(л~в„~в)] и, значит, А'а„+В'~„~ Мт„( А'а„+В'р„+гпах(А', В') у„. Вместе с неравенствами (20) отсюда следует, что Мт„сходятся при и-Роз к предельному значению т (О) = А а+ Вх() = А' — — В' — = ! АВ ) В А  — А  — А зкспоненпиально быстро. Аналогичный результат справедлив и в случае р ~ 5): зкспоненпиально быстро Мт„ -Рт (О) = аА+РВ Р-Я Итак, для р=!)=1)2 имеют место формулы (29).
(33). В случае же произвольных р и 5) (р+5)=1) аналогично устанавливается, что М5, =(р — 5у) Мт„, (331 М~5, — г, М»~,1»=[)», Мг„, (34) !оз о ж, слкчлпнов влэжплние. и. б. Задачи. 1. Показать, что в обобщение (33) и (34) справедливы следующие формулы: М5 ' = х + (р — д) Мт„', 22 М ~5 т2 Мо 12 — [)й, Мто л 2. Исследовать вопрос о том, к чему стремятся величины со(х), р (х) и т(х), когда уровень А,' — со. 3. Пусть в схеме Бернулли р =д=!(2.
Каков порядок М ~5„! при больших и? 4. Два игрока независимым образом подбрасывают (каждый свою) симметричные моменты. Показать, что вероятность того, что у них после и подбрасываний будет одно и то же число ге„- бов, равна 2-'" ~Л~ (С"„)'. Вывести отсюда равенство ~ (С"„)'= — С,",. л=о 2=о Пусть о„— тот первый момент, когда число гербов у одного игрока совпадает с числом гербов у другого (совершается и подбрасываний, а„=-и+1, если указа)шого момента не существует). Найти М п2!и (а„, и). й 1О. Случайное блуждание. П. Принцип отражения. Закон арксинуса 1. Как и в предыдущем параграфе, будем предполагать, что 22, 22, ..., $2„ — последовательность независимых одинаково распределенных бернуллиевских случайных величин с Р(Л=1)=р, Р(л= — !)=д, 52=5,+...+12, 1.- й~2и; 52=О.
Обозначим о.„=пни (1-=. й=2и: 52=0), полагая ао„= со, если 52 Ф О при всех 1 ( й - 2и, 'г!аглядный смысл о,„вполне понятен — это момент первого возвращения в нуль. Свойства этого момента и будут изучаться в настоящем параграфе, при этом будет предполагаться, ~то рассматриваемое случайное блуждание симметрично, т. е. р=д=1)2. Обозначим для О ~ й =. и нол = Р (522 = О), !22 = Р (оол = 2й). Ясно, что ио=! и Ф -22 пол =Сы 2 106 ГЛ !.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕП Наша ближайшая цель — показать, что для 1(н.=.а вероят« ность )з» определяется формулой 1 ув» = — и, 1»,1. (2) Понятно, что для ! =й(п (пап=2)г) =(5,ФО, 5, МО, ...з 5з»,ФО, 5г»=0), и в силу симметрии У =Р(5!~0...,, 5з» »~0, 5з»=О)= =2Р(5! 0 " 5зг,—,)0 5з»=0). Назовем аул!ем длины й последовательность чисел (5,, ..., 5„) и обозначим через Т.»(А) — число путей длины и, для которых выполнено свойство А.
Тогда ~з»=2,5', 1-за(5!)О, ", 5згг-!)О, 5»=0, (аыы " ° еа) 5з»»!=аз»+„..., 5»„=аз»„.г+...+аз„) 2-'"= =2Ез»(5!= 0 " 5ы-!)О 5з»=0) 2 '", (4) где суммирование распространяется по всем наборам (аз»„, ..., а,„) с а; = .+ 1. Следовательно, отыскание вероятности )з» сводится к подсчету числа путей Ц»(5г ) О, ..., 5,г,, ) О, 5»» = 0). Лемма 1.
Пусть а, Ь вЂ” целые неогггрицательные числа, а — Ь) О и й = а+ Ь. Тогда 1»(5г'- О, ..., 5„,)0, 5»=а — Ь) =:С». (5) Доказательство. Действительно Е»(5,)0, ..., 5»,) О, 5»=а — Ь) =— =г»(5!=1, 5,) О, ..., 5»,)0, 5„=а — Ь) = =й„(5,=1, 5„=а — Ь) — 1»(5!=1, 5,=а — Ь; =)г', 2( !~Ф вЂ” 1, такое, что 5г(0). (5) Иначе говоря, число положительных путей (5„5,, ..., 5„), выходящих из точки (1, 1) и заканчивающихся в точке ()г, а — Ь) совпадает с числом всех путей, идущих из точки (1,1) в точку (К а — Ь) за вычетом тех путей, которые касаются или пересекают временную ось '). г) Путь (5г, ..., 5») называется яоложгинельным (неотрицательным), если все 5;)0 (5;)0); путь называется касоюигимгя временнбй осн, если для всех 1() (», 5гт НО нли 5у(0 н найдется такое 1 (! (», что 5;=О, и называется пергсеяоюигим времени)гю ось, если найдутся такие два момента времени г н й что 5; ) О, а 5г (О.
% (О. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ. !1, Заметим теперь, что /.2(51= 1, 52=а — Ь;:-)1, 2(!'и-й — !, такое, что 5((0) = =1.2(5,= — 1, 52 — — а — Ь), (7) т. е. число путей, идуших из точки а=(1, 1) вточку О =(й, а — Ь) и касаюшнхся нли пересекаюших временную ось, совпадает с числом всех путей, идуших из точки а* = (1, — 1) в точку Р = (й, а — Ь). Доказательство этого утверждения, носящего название а принципа отражения, следует из легко устанавливаемого взаимно однозначного ~(е соответствия между путями А = (5„... сс" 5а, 5а,.1, ..., 52), СоеднНяюшимн Рнс. 11.
К прннннпу и!раточки (2 и р, и путями В=( — 5„... 1неннн. ... „— 5„5,1„..., 52), соединяющими точки а' и р (рис. 17); а — первая точка, где пути А и В обраша. ются в нуль. Из (6) и (7) находим /.2(51)0, ..., 52, О, 52=а — Ь)= = /.А (5, = 1, 52 — — а — Ь) — 1., (5, = — 1, 52 = а — Ь) а — 1 а — Ь а =с,:,— с;,= —,с~ что и доказывает утверждение (8). Возвращаясь к подсчету вероятности /22, находим, что, согласно (4) и (б) (с а=/(, Ь =/г — !), )22=2/.22(5!)О, ..., 522-1)0, 522 0) 2-"= = 2/.12 1(5, > О, ..., 5,2, — — 1) 2-'" 1 А ! =2 2-".~— „,С2 )=з — „и,(„,).
Итак, формула (2) доказана. Приведем еще одно доказательство этой формулы, основанное на следующем замечании. Непосредственная проверка показывает, что 1 й/! и2(2-Н и2 (2-1) иеян (8) В то же самое время ясно, что (о,„= 2я) = (а2„) 2 (й — ! )) ~ (о2„) 2Ц, !ор >21) !5 МО, „., 52(~01 !Оа ГЛ.
1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ЕЕРОЯТНОСТЕН и, значит, (з««=2)2) =(51ФО, ..., 51!«ОФО)'~,(51ФО, ..., 52«ФО). Поэтому (2« =. Р (51Ф 0 ° ° ° > 52 («-1! Ф 0) Р 151 Ф О, ° 52«Ф 0)„ и, следовательно, в силу (8) для доказательства равенства )2« =- ! = — и«>«! достаточно лишь показать, что зь У.2 (5, ~ О, ..., 5, ~= О) =)., (5, = О). С этой целью заметим, что очевидным образом (9) )2«(51ФО, ", 52«ФО)=28 «(51)0, " 52«)0). Поэтому для проверки (9) нужно лишь установить„что 212«(51)0, " > 52«=>0)> В««(51=-0, .
° > 52«-':-0) (10) ~2«(51~0, ...„52«~0)> 82«(52«=0). (11) Равенство (10) будет доказано, если показать, что между путями А=(5„..., 5,«), у которых по крайней мере одно 5,=0, и положительными путями В=(5„..., 5,„) можно установиль взаимно однозначное соответствие. а Рис. !З. Рис, 19. Пусть А = (5„..., 52«) — неотрицательный путь, у которого первое обращение в нуль происходит в точке а (т. е. 5,=0). Выпустим из точки (а, 2) траекторшо (на рис. 18 она обозначена штриховыми линиями) (5,+2, 5„, +2, ..., 5,„+2). Тогда путь В=(5„..., 5,, 5,+2, ..., 52«+2) является положительным.
Обратно, В = (5„..., 52«) — некоторый положительный путь и (> — тот последний момент времени, для которого 5, =! (рис. 19). Тогда путь А =(5„..., 5„, 5„„— 2, ..., 5,— 2) является неотрипательным. Из приведенных конструкпий следует, что между положнтельныл1и путями и неотринательныл«и путямн, у которых по крайней мере одно 5, =-О, сущесгвует взаимно однозначное соответствие. Тем самь>м формула (10) доказана.
» !» СЛУЧАПНОЕ БЛУЖДАНИЕ, Н. Установим !еперь справедливость равенства (11). В силу симметрии и (10) достаточно показать, что 1.!» (5, ) О,, 5»» ) 0) -1- ).» (5, ) О, ..., 5,» ) 0 и Л1, 1== ! -2й, такое, что 5;=О) =Т.»»(5»»=0). Мнсжество путей (5,„'=0) можно представить в виде суммы двух множеств и'! и ь„где Ю» — те пути (5„..., 5,„), у которых только один минимум, а Ы'» — пути, у которых минимум дсстигается по меньшей мере в двух точках. Пусть С, ~ и! (рис.
20) и у — точка минимума. Поставим пути С, =- (5,, 5„..., 5„) в соответствие положительный путь С!", полученный следующим образом (рис. 21). Отразим траекторию (5,, 5, ..., 5,) около вертикальной линии, проходящей через точку 1, и по,тученную траекторию сместим вправо н вверх, выпустив ее из точки (2й, 0). Затем сместим начало координат в точку (1, — т). Полученная траектория С! будет положительным путем. ф!1, Л!») с," гй Гнс. 2!.
рис, 20. Точно так >ке, гели гуть С, ~'о„то тем же приемом ему можно поставить в ссо;ве1стш!е некого(ый неьтрнцательиып путь С:;". Обратно, пусть С',"' = (5, ) О, ..., 5,» ) 0) — неко~орый положительныи путь с 5»„=2п! (см. рис. 21). Поставим ему в соответствие путь С„полученный следующим образом. Пусть р — та последняя точка, где 5„=т. Отразим (5р, ..., 5,„,) около вертикальной прямой х=0 и сместим отраже!1ную траекторию вниз и влево, так чтобы ее правый конец совпал с точкой (О,' 0).
Поместим затем начало координат в левый конец полученной траектории (зто будет в точности траектория, изображенная на рнс. 20), Полученный путь С,=(5„, ..., 5»») имеет минимум и 5,» = О. Аналогичная конструкция, примененная к пути (5, ) О, ... ..., 5,»~0 и 3!', 1~!'(2/г, с 5;=О), приводит к пути, у которого по меньшей мере два минимума и 5,» — — О. Тем сама!и установлено взаимно однозначное соответствие, которое и доказывает требуемый рез) льгат (11).
ЫО ГЛ.!. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Итак, равенство (9), а следовательно, и формула )ва = иа!ь-т!— 1 — пм = — ив,а г! установлены. ай Из формулы Стирлинга -аа 1 и,„ = С,а 2 =, й -м со. 1~Я ' Поэтому 1 й-ь ОО. о у'и нам ' Отсюда следует, что математическое ожидание времени первого возврашення в нуль М пнп (Ов„, 2л) ~ч ', 2ФР (и,„= 2й)+ 2пив„ ь=! л и, !ь,! + 2пиаа ь-! является довольно-таки большим. БОЛЕЕ ТОГО, У иаы м = СО, И, СЛЕДОВатЕЛЬНО, ПРЕДЕЛЬНОЕ Зиаа=! чение среднего времени возвра!цения блуждания в нуль (при неограниченном числе шагов) равно со, Это обстоятельство поясняет многие неожиданные свойства рассматриваемого симметричного случайного блуждания.
Например, естественно было бы ожидать, что за время 2п число ничьих при игре двух равносильных противников (р =(1=1!21, т. е. число тех моментов времени !', для которых О! = О, должно быть пропорционально 2п. Однако на самом дсле число ничьих имеет порядок )Г2а (см.
[691]. Отсюда вытекает, в частности, что, вопРеки ожидаемомУ, «типичные» Реализации блУжданиЯ (Оо, 5„... ..., 5„) должны иметь не синусоидальный характер (для которых примерно половину времени частица проводит иа положительной стороне и другую половину — на отрицательной), а характер длинных затяжных волн. Точная формулировка утверждения дается так называемым законом арксинуса, к изложению которого мы сейчас и приступим. 2. Обозначим Р,„,„вероятность того, что на отрезке (О, 2л) частица проводит 2й единиц времени на положительной стороне *).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
