1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Лемма 2. 11уств и,=1 и О~й =а, Тогда Реь, е. = на' и»„,м *) Мы говорим, что в интервале (л! — 1, гл) частица находится на положительной стороне, если по крайней мере одно иа вначеаий о ! нлн Б,„ положительно, 2 10 случАниое влуждАние. и, До к а з а тел ь ство. Выше было установлено, что = и„» Π— и,». Покажем, что и.» —— .'У, ')аг иаг»-гг (13) г=1 Поскольку (5,»=0) г= (оа,(2)г), то (52»=0) = (52»=0) П,о!»(2»г) = ~ (52»=0) й (оа»= 21). 1<!<» Следовательно, 1«!«» Но Р(5,„=0,'о,„= 21) =Р (5,»=0',5, ~эО, ..., Б„,~О, 5„=0) = Р (5„+ ($21, »+... + Еа») = 0 5, ~ О...,, 5,1, чь О, 5„= 0) = — Р (5„+ (22!2! —,-... + 42») = О, 5„= 0) =Р(22!»2+...+~2»=0) =Р(521» о=О).
Поэтому и.» = ~~ Р (52 г»-!> = 0) Р (оа» = 21) 1<!«» что и доказывает (13). Перейдем к доказательству формулы (12). При й = 0 и й= п ее справедливость очевидна. Пусть теперь 1(!г =и — 1. Если частица проводит 2й моментов времени на положительной стороне, то она проходит через нуль. Пусть 2г — момент первого возвращения в нуль. Возможны два случая: когда 5»)0, !г(2г и 5» =. О, )г ~ 2г. Число путей, относящихся к первому случаю, равно, как нетрудно видеть, Р а')-" 12»1' а!»-г1,2!»-г) — З '2 '!аг' Ра!»-г),2(а-г)' Во втором случае соответствующее число путей равно 1 ' !аг ' Ра», 2!»-г) ° 1 =)г(п — 1 1 'д 1„Р2(»,1,2(„!1+ — гг 12г Р,»,21„,1, 114) г 1 Следовательно, для Ра», 2»=— и,»=Р(5„=0) = ~Х,' Р(5„=0, о»„=21)= 1«!«» Р (5,» =0! о,» = 21) Р (о,„= 21).
112 гл. 1. алвмвнтхян»я тяояия ввяоятностви Предположим, что формула Р,„,, =и,»-и я» верна для т= =1, ..., а — 1. Тогда из (13) и (14) находим, что » » 1 '~ 1 Р»»,»»= 2 и» -»»..» )» и»»-я.+ 2 и»» ~„Й 'и» -».-»» = =1 г=1 1 1 2 и»" »» и»»+ 2 и»» и»" ~» и~» и Лемма доказана.
Пусть теперь у(2п) — число единиц времени, которое частица проводит на положительной оси в интервале 10, 2п), Тогда для х =! (», — < - — ~»1 Поскольку при й- со 1 и»» ~'м то 1 Р»», 2» и»» и» !»-»1 - в пу )1 (п — А) если й- со, и — й-» со.
Поэтому откуда 1Г и! 1 а»,»п ') — — ~О~ ° .,) 11(1-О (»: -'-<'-'<») Но из соображений симметрии 1 2»,2» 2 » 1~ » 1 Г П! 2 ..г — 1 = — агсз)п 1 х — - —. 1'1(1 — !) и 2 и2 Тем самым доказала следующая Теор ем а (закон арксии уса). Вероятнпсп1ь п1пго, что доля прел!ени, проводимого части!(ей но полохсительной стороне, меньи1е ))з %!О случйинов Блуйсчлннс !. или риеки х, стремится к 2п-'агсз(п гlк: Рек ей — «. 2п-' агсз(п 1 х. 1А - (х) (1о) Заметим, что подынтегральная функция р (() в интеграле к ! 1' и! ,) р'((! — () Р(0е.— ~Л()Р~ — < =- — —,'-Л, т(2и) ) (1 т(2а) ! т.
е. более вероятно, что доля времени, проводимой частицей на положительной стороне, будет близка к нулю или единице, нежели к естественно ожидаемому значению 1(2. Пользуясь таблицами арксину-са и тем обстоятельством, что на самом деле скоросгь сходимости в (15) очень быстрая, находим, что Р(~ ~:0,024~ О,1, 2а Р (~ -' — "~0,2) =0,3, Р ( т " == 0,65) 0,6. Таким образом, если, скажем, и =1000, то примерно в одном случае из десяти частица проводит всего лишь 24 единипы времени на положительной оси и, значит, ббльшую часть времени— 976 единиц в на отрицательной оси.
3. Задачи. 1. С какой скоростью М ппп (о,„, 2п)- со при и — оо? 2. Пусть т„=т!п(1(к==и: Зй=1), считая, т„=сю, если Яь ( ! при всех 1 = й = и. К чему стремится М ш)п (т„, и) прп п — со для симметричного (р = 7= 1,2) и весим;щт; шщого!' .,= 4) блужданий? представляет ()-образную кривую, уходящую в бесконечность в точках (=0 и 1=1. О!сюда следует, что при больших и !14 ГЛ. Е ЭЛЕМЕИТЛРИЛЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕП $11. Мартингалы. Некоторые применения к случайному блужданию 1. Рассмотренные выше бернуллиевскяе случайные величины $„ ..., я, образовывали последовательность независимык случайных величин.
В этом и следующем параграфе будут введены два важных класса зависимых случайных величин, образующих мартингал и марковскую цепь. Теория мартингалов будет детально излагаться в гл. 11'П. Сейчас же будут даны лишь необходимые определения, доказана одна теорема о сохранении мартипгального свойства для моментов остановки и дано ее применение к выводу так называемой теоремы о баллотировке. В свою очередь эта последняя теорема будет использована для иного доказательства утверждения (10.5), полученного выше с применением принципа отражения. 2. Пусть (О, О г, Р) — конечное вероятностное пространство, ,й'1 ='Ы, с:-'...а У„ — некоторая последовательность разбиений.
О и р е д е л е н н е 1. Последовательность случайных величин $„называется мартиигалом (относительно разбиений Ы с= У с: — с: — У„), если: 1) 1ь ЯвллютсЯ ЫгпизмеРимымн, 2) М(я „,~ Ф,)=$» 1==и п — 1. Чтобы подчеркнуть, относительно какой системы разбиений случайнь1е величины с„ ..., $„ образуют мартингал, будем для его обозначения использовать запись: Ь = (СЬ ЫИ)1 ~4~ и часто опуская для простоты указание на то, что 1 (й~=п.
В том случае, когда разбиения Ыь порождаются величинами $„..., тм т. е. вместо того, чтобы говорить, что 5=Ям Ы,) — мартннгал, будем просто говорить, что последовательность $=Яь) образует мартингал. Остановимся на некоторых примерах мартингалов. П ример 1, Пусть Ч„..., Ч,— независимые бернуллневские случайные величины с Р (ЧЯ = 1) = Р (Ча = — 1) = 1/2 О11 = ЧТ+" +Чь н ~~Та= Ычм ...,Яь. Заметим, что структура разбиений .Уь проста1 ЛВ' =(В~, 0-), % н, мАРтпнГАлы Где В'= (ен Ч,=+1)„0-=(»2: Ч, = — 1), ы,=(в-, (:) —, и-, о — ), где Ч!-+, Ч2=+1), ".2 =) Ч1= — 1, Ч,= — 1) нт. л.
Нетрудно понять также, что Ы„,, ч, =дРз,...„з». Покажем, что последовательность (5ы Ю») образует мартингал. Действительно, 5» '22»-измеримы и в силу (8.12), (8.18) и (8.24) М (5, ~ У») = М (5»+ Ч +, ~ (Р») = =М(5 ~~'»)+М(Ч ~ й'»)=5 +МЧ». =5. Если положить 5„=0 и взять 0,=(11) — тривиальное разбив. ние, то последовательность (5„, мт»)2~»~„также будет мартин- галом. Пример 2. Пусть Ч„..., ׄ— независимые бернуллиевские случайные величины с Р(Ч;= 1) = р, Р(211= — 1) =д. Если р Ф27, то каждая из последовательностей $=(с») с Ь=~~ — 1, И.=5» — й(р — )) где 5»= 1+" +Ч. образует мартингал.
П р и м е р 3. Пусть Ч вЂ” некоторая случачная величина, »2 1 ~... ... =Ы„,и Ь=-М(21~~») (2) Тогда последовательность $=-(с», Ю'») образует мартингал. В самом деле, .М»-измеримость М(Ч!Ы») очевидна и, согласно (8.20), М(й„1)Ю»)=М(М(Ч~Ы».1~я»)=М(Ч!" ) =ч . В связи с этим заметим, что если 5=Я»,,У») — произвольный мартингал, то в силу формулы (8.20) Ь=М6».1Ф'»)=М[М($ ~Ы )~~»1= = М Д„я ~У ) =...=М Д„~.0т ). (3) Такил! образом, множество всех мартингалов з = (»„Ы») исчерпывается мартингалами вида (2). (Замети»1, что в случае бесконечных последовательностей $ = (З», Ю»)»>! это, вообще говоря, уже не так; см.
задачу 7 в $ 1 гл, 22Н), Пр имер 4. Пусть 21, ..., 21„— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, 5»=Ч,+... 1..+21» и й2т» = 'аз„-222 = 22 з, з„..., Ы„= Фз, „,, з . Покажем, что последовательность й = я», ю») с $2 = — „", $2 = „— "'... й» 1!6 ГЛ ! ЭЛГМН!Т»РНАЯ ТЕОРИЯ ГГРОЯТИОСТЬЛ вЂ” —, ..., с„== 5„образует мартингал. Во-первых, ясно, л по Ы„~= ел»,! и 6» Ы»-измеримы. /(алее, в силу симметрии для / ~п -/с+1 М(т)/( Я»)=М(»1 ~Ю») (ср, с (8.26)). Поэтому » вЂ” »-!- ! ( — й-1-1) М(.„,="1») =-,'~," М(,/~.У„)=М(Ц„„,(~,) = с,. „ а значит, »»и М(, су) а — А+! и мартинггльпость последовательности $= (э», тейт») следует гз пг!!- мс('.а 3, Пример 5, Пусть с)„..., т)„— независимые берпуллпсс,с;сие случайные величины с Р ( «1 — - + 1) = Р (т)с == — 1) =- 1/2 5»=;!1, .!-...+ Ос..
Пусть А и  — два целых числа, А ( г -. В. тсосд;! для ьшппесо 0 ( Х ( и/2 последовательность "", =- (":, 'У») С Р » '= ' .- э , ..., э '!' "'' » э))» хр )сй - /!+л !~ А Образ!Тт комплс кснып ма(пннгал (т, е. деистаптельная и к!Лспсссссспая части ."„— с,артиигалы). 3. Из опрсдсления мар!ингала стедует, что хсатсмати !«с к,е ожпдасше М~» одно и то же для всех /и Оказывается, что это свойство останется справедлпвьщ, если вгксто момента А взять случайнын момент. Для формулировки этого свойства введем такое Определение 2. Случайная вел»шина т =-т(со), припппшощая значения 1, 2, ..., и, будет называться моментом асшаноаки (отпосительноразбиений(ее»)!<»<„,.'Ы! с: —.У«с: — '... с== Ы„), если для любого /«=1, ..., и случайные величины /с, »1(о>) ееляются Ы „-измеримыми, Еспи трактовать разбиение й'» как разбиение, порожденное наблюдениями за /с шагов (например, ед»=Ыч,, „— разбиение, ч,. -,ч» порожденное величинами «1„..., с)»), то .У»-измеримость величины /с,.=»! (е!) означает, что осуществление или нсосущсствленис собьпия (т=/г) определяется лишь наблюдениями за /с шагов (и не зависит от «будущего»), 117 5 и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
