1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Ио согласно теореме 1 из 4 2 12(е.~)=-о("л')=ей(Я). Поэтому ила = с 3 (Е). Итак, (6) доказано. Фиксируя теперь В„, 72, ..., )„, тем же методом доказываем справедливость (6) с заменой 7. на борелсвское множество В,. Продолжая этот процесс, очевидным образом приходим к требуемому равенству Р(с, я В„..., 5и ен В,) = Р($! Ен В,)...Р Я, ~ В,), где В; ен арй(Я). Теорема доказана. 3. Задачи. '.
Пусть ен ..., ф— дискретные случайные величины. Показать, что онп независимы тогда и только тогда, когда для любых действительных х„..., х„ п Р (~, = х„..., $„= х.) = Ц Р (3! = 2;). 2=-! 2. Провести доказательство того, что всякая случайная функция (в смысле определения !) есть случайный процесс (в смысле определения 3), и наоборот. 3. Пусть Х„ ..., Х„ — случайные элементы со значениями в (Е,, Ь!),... (Е„, е„) соответственно. Пусть, далее, (Еь'и'!), ..., (Е„',К;,)— измеримые пространства и д„..., д„являются Е,/6(, ..., Е„!б;,-изме- $ б интсгглч лиаеГА млтемлтическос ОжидАние !97 рнмыми функциями соответственно. Показать, что если Х,,...,Хл независимы, то независимы также и случайные элементы д! ° Х„..., д„° Х,, и 6.
Интеграл Лебега. Математическое ожидание 1, В том случае, когда (11,,T, Р) — конечное вероятностное пространство и $=$(бб) — простая случайная величина, л $(бб) = ~', ХАТА (!б), (1) А=! понятие математического ожидания Мэ было определено в 4 4 гл. 1. Та же самая конструкция математического ожидания М~ от простых случайных величин $ используется и в случае произвольного вероятностного пространства (Р,,У, Р).
А именно, по определению полагается (2) Зто определение корректно (в том смысле, что значение М$ не за- висит от способа представления $ в виде (1)), что показывается точно так же, как и в случае конечных вероятнсстных про- странств. Аналогичным образом устанавливаются простейшие свой- ства математического ожидания (см. и. 5 й 4 гл. 1). Цель этого параграфа †да определение и изучить свойства математического ожидания Мс произвольной случайной величины. С точки зрения анализа математическое ожидание М,"; есть не что и!лое, как интеграл Лебега от Р -нзб!ернмой функции $ = с(!л) по мере Р, для которого (наряду с Мь) используются также след)ю- щне обозначения: ~ $(!б) Р(Ы!б) или ~ 5дР.
2. Пусть ~ =Э(!б) — неотрицательная случайная величина. По- строим последовательность простых неотрицательных случайных величин Д„)л~! таких, что $„(!б) 1'$(б1), и-~ос, для каждого гб ее 11 (см, теорему 1 в й 4), Поскольку М",л == М'л,, (ср. со свойством 3) нз и. 5 э 4 гл. 1), то существует 1!гп Мел, который может принимать н значение + Оо. л О и р е д е л е н и е 1. 11нтеграло и Лебгга от неотрицательной случайной величины $ = л (ы), нли ее жагпел!Опшчгскцм ож!!далиеи, называется величина М5 = 1!и! М;л. (3) л Чтобы это определение было корректным, надо показать, чго значение этого предела не зависит от вы5ора аппроксимирующей )Ва ГЛ П 5))ТЕЬ)ЛТИ~)ЕСКИЕ ОСНОВХНПЯ ТЕОРПИ ВЕРОЯТНОСТЕП последовательности Д„).
Иначе говоря, надо показать, что если й„) "; и ч ('й, где (т) ) — последовательность простых функций, то !пиМЕ„= Ищ М)),л. (4) Лемма 1. Пусть т! и с„— простые случайные величины, п«1, причем ъл '!) ле» Т). Тогда Игп М:„«Меп Доказательство. Пусть е )О и Ал=(вн ь„.= т) — е). Гено, что Ал ~ 1) и й„— Е„1л +й„1-; «й.1л =-(П ), ° л Поэтому, используя свойства математических ожиданий от простых случайных величин, находим, что )Мел=-М(И вЂ” е) 1л = МИ!л — ЕР(А„) = = Мт) — М)!1л — еР (А„) =- Мт) — СР (А.) — е, М$ = енр Мз, !5с5' $ !) (6) где 5 = (5) — множество простых неотрицательных случайных величин (задача 1).
Итак, для неотрицательных случайных величин математическое ожидание определено. Перейдем теперь к общему случаю. Пусть $ — случайная величина и ~+= и)ах ($, О), с = — гп!п(а, 0). О и р е д е л с и и е 2. Говорят, что математическое ожидание М~ случайной величины с суи(ествует, или определено, если по крайней мере одна из величин Млл или Мя- конечна; щ!п(Мй', М"з ) (оо, где С=!~ах)1(ы).
Отсюда в силу произвольности е)0 вытекает Ю требуемое неравенство (5). Из этой леммы следует, что Игп М$„» -" )пп Мг) и по симметрии 1пп М))л =-)нп М:-л, что и доказывает (4). л Часто оказывается полезным следу)ощее Замечание 1. Для математического ожидания Ме от нсотрнцательной случайной величины ь имеет мссто следующее предо)авление: ««пнтеГР«л лпвггл мттсмлтпчссков ож>!д»нпв !99 В этом случае по определено>о полагают М:- = Мь- — М.; —. )>1ая>ематическое ожидание М«называют иначе »»нтегралол! Дсбсга (от функции $ по вероятностной мере Р). Определение 3.
Говорят, ~>то лпт>>миан>о>ее~ос ож>>дание случайной величины «ь кояссно, если М=-(оо и М=- Поскольк) ~ «! = 9 +:с-, то конечность М«, илп ) М:- . ,'С оо, эквивалентна точу, что М вЂ” (оо. (В э>ом смысле интегрирование по Лебегу носит «абсолю>ный» харак>ср.) Замечание 2. 11арчду с матечат очески ! о>кпданием М" важнымн числовыми характеристика;ш сл) чаиной величины ', являются величины М"=' (если они определены! и М ", ', г) О, назыеас, ые соответственно з«о>»еня>ои г-го порядка (г-м момс>пом) и абсолюпм ньсл»,иоз>еятох! г-го поря ка (г-х! моментом) случайной величины .»,.
Замечав не 3. В данном ььппе определении интеграла Л»бега '! $(ы) Р (»(о>) предполагалось, что мора Р явтяется вероятносгной (Р((т) =1)„а У-измеримые функции (сл)чайные велнчипьц $ принимают значения в )» =-( — -оо, со). Предпо.>ож>ги теперь, что рв произвольная мера, заданная на измериь|ом пространс>ве (о, х) и принимаюшая, быть может, значение +о", а й= «(о>) — У->>з >еримая ф) нкцня со значениями в )»' = ( — о", 1 (расширенная случайная величина). В этом с.!)чае иго«грал Лебсгг ) $(о>) р(»)«о) определяется том же самым способом: сначала для нсотрнцат!'ль ных простых с (по ф«р«>уле (2) с заменой Р на р>, а«м д!я произвольных нсотрицателыихх ~ и в об,цем сл)чае по форм»ле »1 й (о>) р (о>о>) = ~ ««р (Й«>) — ~ Й-)>(»)«>), осли только не возникает неопределенности вида оо — =о.
Для математического акаси>за особо важен ст) чай, когда (11, ')=-()»>, еуу(Е»)), а р — мера Лоб«га. В эт«м случае инт«>р,.т '! «ь(х)(»(»тх) обозначают (я(х)»(х, или ~К(х)»)», ити (') ')Б(»>'"» я я чтобы подчеркнуть отличие этого интеграла от ш>тсграла Римана ()») ~ 9(х)»(х.
Если же мера р (Лебега — Сти:пьеса) соотвегств)ет некоторой обобшенной функции распределения 6=-6(х), то интеграл ~ 9(х) р (»(х) называк>т также оно>егралочЛеоега — Стялтьея са и обозначают (1.-5) ~ 9(х) б («(х), чтобы отличать его от соответ- Д 200 гл и мАтеьглти~геские ОснОВАния теОРии ВеРОятностги с! в, ющего интеграла Римана — Стилтьеса (й-5) ~ 5 (х) 6 (дх) (см. далее п. 10). Из дальнейшего (свойство О) станет ясно, что если М«определено, то определены также математические ожидания М(ЕЛА) для любого А~,У. Для М(2~А), илн, что то же, („«)лдР, часто используются обозначения М Я; А) и ~«дР.
Интеграл ~ 5дР л л принято называть интегралолг Лебега от $ по лгере Р на множестве А. Лналогггчно и в случае произвольной меры )г вместо ~$1лд)г июнем ~ьдр. В частноспг, если р — и-мерная мера Лебега— л Стнлтьеса, А =(а„Ьг|к..ле(а„, Ь„1, то вместо )" д)г используем л ь, ь„ запись ~ ... ~ $(х„..., х„) р(дх„..., дх,). Если Р— мера Лебсга, а а„ то вместо (л(с(хг, ..., 1(х„) пишем просто дхг ... 1(х„. 2. Свойства математического ожидания М' случайных величин «. гк.
Пусть с — пот оянная и МЕ сущеспилгепг. Тог 'и М (с«) пгакже суцстгюует и М(с$) =сМЯ. В. Пугпгь 5 =г), тогда М«ь ==. Мг) в толя смысле, чпго если — сс(М«, пго — со < Мч и М«< Мц и,иг если М11(сс, то М«<сс и М',(Мг). С. Если М«ьсущеслгвует, то , 'М« , '-.= М , 'Е ~. (У. Если М«существует, то для кавгсдого А е= У М($1А) также сущссгпвуепг; если М;- конечно, то М(«1л) пгакже конечно. Е. Если Ц и т1 — неопгриг(а, !еланью случабньге величичьг, или такие, тпо М($ г(оо, М(т)(<сс, то М(Е+и)=М +М). (По поводу обобщения этого свойсгва см. задачу 2). Прньедем доказательство свойсгв А — Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
