1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Поэтому по свойству 6 ь ь ь (Е)(а(х) т (с(х) =(Е) [у(х) 2,(дх) =(Е) )у(х)),(с(х) что и завершает доказательство утверждения а), ЗЗ4 Гл н млтемАтнческие ОснОВАния теОРии ВВРОятностеи Ь) Если функция д=д(х) интегрнруема по Лебегу, то согласно а) она непрерывна ()„-п. н.). Выше было показано, что тогда д(х) ннтегрируема по Лебегу и ее интегралы Римана и Лебега совпадают. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Пусть р — некоторая мера Лебега — Стилтьеса на Л (!а, Ь)). Обозначим Е„([а„Ь1) систему подмножеств Л ы(а, Ь1, для которых найдутся множества А и В из дЗ(!а, Ь)) такие, что А = Л с= В и (А(В' А) =О.
Пусть (! — продолжение меры р на ,'.0„((а, Ь1) ((А (Л) = (А (А) для Л таких, что А а Л а В и р (В",А) = == О). Тогда утверждение теоремы останется в силе, если вместо лебеговской меры ) рассмотреть меру р, а вместо интегралов Римана и Лебега рассмотреть соответствующие интегралы Римана— Стилтьеса и Лебега — Стнлтьеса по мере р. 11. Задачи. 1. Доказать представление (6). 2. Показать, что справедливо следующее обобщение свойства Е. Пусть $ и т! — случайные величины, для которых определены М$ и МТ) и выражение Мс+Мт! имеет смысл (не имеет вида оо — ОО или — СО+СО). Тогда М($+т)) =М$+М!). 3, Обобщить свойство С, показав, что если 3 =т) (п.
н.) и МВ существует, то МЧ также существует и Мп= Мс. 4. Пусть з — расширенная случайная величина, р — о-конечная мера, ~ !$.!((А(оо. Показать, что тогда ($((ОО (!А-п. Н.) (ср. со свойством 3), 5. Пусть р — о-конечная мера, $ и т! — раси!иренные случайные величины, для которых М$ и Мт) определены. Тогда, если для всех А ев,У' ~ $!(Р ~ ~ т!!(Р, то ~» т!(!А-п. н.).(Ср. со свойством !.) л А 6.
Пусть $ и т! — независимые неотрицательные случайные вели- ш пы. показать, что тогда М$!) =М$ Мт). 7. р!Спользуя лемму Фату, показать, что Р (1ип А„) ( )ип Р (А„), Р ()ип А„) ~ (ип Р (А„). 8. Привести пример, показывающий, что в теореме о мажори- русмой сходимос!н условие «(с„(==.т), Мт)(оо» не может быть, вообще говоря, ослаблено. 9. Привести пример, показывающий, что в лемме Фату условие лх„-.-т), М!) ) — ОСА не может быль, вообще говоря, отброшено.
1О. Доказать справедливость следующих вариантов леммы Фату. Пусть семейство случайных величин ДЦ„~! равномерно интег- рпрусмо и М1'Них„существует, Тогда 1ип М",„==М!Нп с, 2зв 5 К ИНТЕГРАЛ ЛИБЕГА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ 1, » — иррациональное, Т((Х) = О, » — рациональное, определенная на 10, 1], иитегрируема по Лебегу, но ие интегрируема по Римаиу, Почему? 12, Привести пример последовательности интегрируемых по Римаву функций <(а],~„заданных на 10, 1) и таких, что !1„<=1, Ä— ) почти всюду по мере Лебега, но 1 не интегрпрусма по Риману. !3.
Пусть (а; Л 1', ))1) — последовательность действительных чисел таких, что '5',)а, т'(а. Вывести из теоремы Фубини, что 1. 1 ~ аи — — т,* ~~ аи1= ~ !~~", а1;). и. и 1' ! ТТ (62) 14. Привести пример последовательности (аи! 1', ! ~ 1), для которой '5, ')ац )=со и равенства в (62) несправедливы. 1, / 15. Отправляясь от простых функций и используя теоремы о предельных переходах под знаком интеграла Лебега, доказать справедливость следующего результата об интегрировании с иолсощлю подг1пановки.
Пус1ь й = Ь (у) — неубывающая непрерывно дпфферепцируемзя функция на интервале (а, Ь], а ((») — интегрируемая (по мере Лебега) функция на интервале 1Ь(а), !1(Ь)]. Тогда функция !" (Ь(ЬЛ Ь'(у) интегрируел1а на (а, Ь] и ГИМ ~ )". (») 11» = ~ Г'(Ь (У)) Ь'(д) 1(У. А~а) 16. Пусть с — неотрицательная случайная величина с функцией распределения Ье(»). Показать, что МК= $(! — Р~(~)]ГХ» о и для любой константы с~О с М пп'п Я, в) = ~ 11 — г, (»)] 1(». о ПуСтЬ 1„~Т)„, а ~1, ГдЕ СЕМЕйСтВО <Т)„)а~1 раВНОМЕрНО ИитЕГ- рпр)емо и т)„сходятся п.
н. (или только по вероятности — см. детсе ) 10) к некоторой случайной ве.тичине Ч. Тогда 1ппМЕ„~ ~ М ! 'Ип $„. 11. Функция Дирихле 226 Гл. и, мАтемАтические ОснОВАния теОРии ВеРОятнОстен 17. Пусть $, $„, $„...— неотрицательные интегрируемые случайные величины такие, что Мч„- М«н для всякого е)0 Р(с — $„)е)-«О. Показать, что тогда М)$„— $) — «О, л- со. 18. Пусть $, т), ~ и $„, т)„, ~„, л'= 1, — случайные величины такие, что «ь, т) т» 1„1, Ч (с (1„, п)1 М~.-К, Мч„-М» и математические ожидания М$, Мч, Мь конечны. Показать, что тогда справедлива следующая лемма Пратта: М$„-«М5.
Если к тому же т)„-=.0 ==~„, то М)$„— Ц)- О. Вывести отсюда, что если «„—" с, М)й„(-«М~$(н М)$((сз, то М(5,— $,'— О. ф 7. Условные вероятности и условные математические ожидания относительно а-алгебр 1, Пусть (11, г, Р) — вероятностное пространство, и событие А ЕЕ,У' таково, что Р(А) >О. Как и в случае конечных вероятностных пространств, условной вероятностью собылшл В относи< тельно А (обозначение: Р (В ~ А)) будем называть величину Р»ВА) а условной вероятностью события В относительно конечного или счетного разбиения Ы=(РИ О„...) с Р(0;) )О, 1=-1 (обозна чение: Р(В) «Р)) назовем случайную величину, равную Р(В ~О;) для ь» ЕЕЦ, 1'=-1.
Аналогичным образом, если $ — случайная величина, для которой определено М$, то условным математическим ожиданием й относительно события А с Р(А))0 (обозначение: М($(А)) будем ~(» А) называть величину Р „" (ср. с (1.8.10)). Случайная величина Р(В~Ы) является, очевидно, измеримой относительно о-алгебры .у=о(.У), в связи с чем ее обозначают также Р(В ~Э) (см. 2 8 гл.
1). В теории вероятностей приходится, однако, сталкиваться с необходимостью рассмотрения условных вероятностей относи. тельно событий, имеющих нулевуьт вероятность. Рассмотрим, например, следующий эксперимент. Пусть $ — слу. чайная величина, равномерно распределенная на 10, 11. Если «-х, то подбрасывается монета, у которой вероятность появления «герба» равна х, а «решетки» вЂ” (1 — х). Пусть Р— число появлений «герба» при л независимых подбрасываниях такой монеты. Спрашивается, чему равна «условная вероятность Р (Р = л ~ $ = х)»? Поскольку Р($=х) =О, то интересующая нас «условная вероятность Р(Р =у ~ 4= х)» пока не определена, хотя интуитивно понятно, что зта вероятность должна быть равна С„'х'(1-х)" ", $7 услОВные ВВРОятности и ОжидАння Дадим теперь общее определение условного математического ожидания (и, в частности, условной вероятности) относительно и-алгебр у, .'у =,У и сравним его с определением, данным вй 8 гл.
1 для случая конечных вероятностных пространств. 2. Пусть (11, У, Р) — вероятностное пространство, е — некоторая о-алгебра, у ~ К (д — о-лодалгебра .У) и ~=$(ь>) — случайная величина. Напомним, что, согласно 26, математическое ожидание Мг определялось в два этапа: сначала для неотрицательных случайных величин $, а затем в общем случае с помощью равенства М$ = Ма' — М$- и только в предположении, что пн(п(М$, М$>) ОО. Подобная двухэтапная конструкция применяется и при определении условных математических ожиданий М (В ~ Р). Определение 1. 1) Условным математическим ожиданием неотрицательной случайной величины $ относительно о-алгебрь> Р называется неотрипательная расширенная случайная величина, обозначаемая М Я>,У) или М (с~,р) (ь>), такая, что а) М (3 ~ У) является .Р-измеримой; Ь) для любого А ~ ч ~йй =~ МД~~)йР.
(1) л л 2) Условное математическое ожидание М (ч ~,Ф), или М ($ ~ У) (ь>), произвольной случайной величины $ относительно о-алгебры .Р считается определенным, если Р-п. н. ППП(М($> ~ е), М($-!Р))(ОО, и задается формулой М ($ ~ ч) = — М (К", .У) — М ($- ! Р), причем на множестве (нулевой вероятности) тех элементарных событий, для которых М Я+ ('у) = М ($- ~,Р) = ОО, разность М ($> ~.у)— — М Я-,'г7) определяется произвольно, например полагается рав- ной нулю.
Прежде всего покажем, что для неотрицательных случайных величин М ($).У) действительно существует. Согласно (6.36) функ- ция множеств 0 (А) = ~ $ с(Р> А ен Р, (2) л является мерой на (11, Р), которая абсолютно непрерывна отно- сительно меры Р (рассматриваемой на ((г, Ф),,У: —,У). Поэтому (по теореме Радона — Никодима) существует такая неотрицательная 22В гл.
и. мьтсьытичаскиа основания таогии ввгоятноствп Р-измеримая расширенная случайная величина М Д!.%), что С)(А) =~ М($~;%)йР. А (3) Из (2) и (3) следует соотношение (1). Замечание 1. В соответствии с теоремой Радона — Никодима условное математическое ожидание М Я ~ .Р) определяется однозначно лишь с точностью до множеств Р-меры нуль. Иначе говоря, в качестве М ( $~,Р) можно взять любую Ф-измеримую функцио 1(ы), называемую вариантом условного математического ожидания, для которой С((А) = ~1(ы)йР, А е- =~>, л Отметим также, что в соответствии с замечанием к теореме Радона-Никодима М (э ~ ь) — вр (м), т.
е. условное математическое ожидание есть не что иное, как производная Радона-Никодима меры С) относительно меры Р (рассматриваемых на (й,.р)). Замечание 2. В связи с соотношением (1) заметим, что мы не можем, вообще говоря, положить М($ ~,Р) =з, поскольку случайная величина $ не обязана быть У-измеримой. 3 а м е ч а н и е 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
