1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 43
Текст из файла (страница 43)
н.) ВЛ Еи ' ВЛ (36) /РИ вЂ” — — (р-п. н.). йи = ЕЛ/ ВЛ (37) Доказательство. а) Поскольку р(А)= (-„лР-1с(Л, А ен.г, т (А) = ~ (-„— ) с()с = ~ ( — „) ° (-„-~~- ' ° с(Л. л'' л Тогда т((Л и, значит, т(А)= ~ — ', дЛ, л откуда в силу произвольности множества А и свойства 1 6 6) следует (36), Свойство (37) вытекает из (36) и того замечания, что р(в: „~ =0~= ~ Д аЛ=0 (на множестве ~ж -„ИЛ =О) ()р) -') =О) правую часть в (37) можно определить произвольно, например, положить равной пулю). Лемма доказана. Для доказательства (34) заметим, что в силу теоремы Фубини и предположения (ЗЗ) О)Р)= $( $ д) )рч; )Р)Р))Х)Р), Р)Р) ~~ (Р)Р )Р )Р)~Р)Р*). (38) (39) то (35) очевидным образом выполнено для всякой простой функции г'= ~'7))л, Общий случай следует из представления 7=) — 7- и теоремы о монотонной сходимости.
Ь) Из утверждения а) с 7= — находим $7. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДЛННЯ 247 Тогда в силу леммы ла на)нл аР аР)аХ что с учетом (38), (39) и (29) дает формулу (34). 3 а м е ч а н и е. Формула (34) остается справедливои, если вместо случайной величины О рассмотреть случайный элемент со значениями в некотором измеримом пространстве (Е, бт) (с заменой интеграла по )с интегралом по Е). Остановимся на некоторых частных случаях формулы (34). Пусть о-алгебра Р порождается случайной величиной О, .'т =:Н;. Предположим, что Р($ен А;О=а)= ~д(х; а)) 0(х), А ~Я()с), (40) А где д=-О(х; а) — некоторая неотрицательная измеримая по паре переменных функция, а ).
— некоторая о-конечная мера на ()с, „:УО()4)). Тогда из формулы замены переменных под знаком интеграла Лебега и (34) находим, что д (а) 4 (гя а) РВ (аа) М [д'(О) < $ = х) = (41) д(х; а) РВ(аа) Пусть, в частности, (О, Е) — пара дискретных случайных величин, О = ~а;Ел, $= ~" х)Ув. Тогда, выбирая в качестве ) счилннои(ую меру (Х((х;))=1, (=1, 2, ...) из (40), получим ~д(ай Р (О=хт' В=а) Р (О=а) М [9 (О)' ,$ = хД вЂ” ' . (42) ~ Р (О=а~ / а=ай Р (О=а) (Ср. с (26).) Пусть теперь (О, 5) — пара абсолютно непрерывных величин с плотностью )В Е(а, х).
Тогда в силу (19) представление (40) выполнено с д(х; а) =)О>В(х!О) и мерой Лебега ). Поэтому 1 д(а) )Е В(х а)) (а) аа М [9 (О),' Ц = х) = ). < В (х ! а) )В (а) аа 9. Задачи. 1. Пусть $ н т) — независимые одинаково распределенные слу« чайные величины и М$ определено, Показать, что М(~~~+ )) =М(П~".+О)=- (п. н.).
240 гл и МАтел!Атические ОснОЕАния теОРии ееРОятностеи 2. Пусть $„$„...— независимые одинаково распределенные случайные величины с М ($1(~со. Показать, что М а1( 5., 5. 1, „.)= д (п. н.), где 5»=51+...+э„. 3. Предположим, что случайные элементы (Х, У) таковы, что существует регулярное распределение Р, (В) = Р (У ее В ( Х = х). Показать, что если М(д(Х, У) ( с, оо, то Р;и.
н. М (д(Х, У) (Х=х)= ~д(х, у) Р„(ь(у). 4. Пусть $ — случайная величина с функцией распределения Ре(х). Показать, чго ь ~ » ЕГ» (») Еьа(ь) — ЕЕ (а) (предполагается, что Г»(Ь) — РЕ(а) 0). 5. Пусть д=д(х) — выпуклая книзу борелееская функция н Ы',д(ч),(со. Показать, что для условных математических ожиданий справедливо нерааенетео Оенсена у(МЯ р))==-М(уй)) ). 6. Показать, что случайная величина $ и о-алгебра е независимы (т.
е. для любого Ве—: .Ю случайные величины Ч и !е(ы) независимы) тогда и только тогда, когда для каждой борелевской функции д(х) с М (дД) ( ~Со М(дД) ( е) =Му(е). $ 8. Случайные величины. П Е В первой главе были введены такие характеристики простых случайных величин, как дисперсия, ковариация и коэффициент корреляции. Соответствующим Образом эти понятия вводятся н в сбщем случае. А именно, пусть (Я,,У, Р) †вероятностн пространство и $ = $(ы) — случайная величина, для которой определено математическое ожидание М$.
Д и с п е р с и е й случайной величины $ называется величина 0$ = М ($ — Мз)1. Величина о = + )Г0е называется сльандартным отклонением. Если $ — случайная величина с гауссовской (нормальной) плотностью (» — и н т (х)=,( е "'*, о)Р, — со~т(со, ()) Р 2ва 249 % 8 случлиныа Величины н.
то смысл параметров и! и о, входящих в (1), оказывается очень простым: т=М$, о!=03. Таким образом, распределение вероятностей этой случайной величины В, называемой гауссовской, или нормально распределенной, полностью определяется ее средним значением т и дисперсией о'. (В этой связи понятна часто используемая для этого запись: 5 а~ (т, о8).) Пусть теперь ($, ц) — пара случайных величин. Их кон ар иац и е й называется величина ооч($, т))=МД вЂ” Ма) (т) — Мт)) (предполагается, что математическое ожидание определено).
Если сот($, 81)=0, то говорят, что случайные величины и ц не коррелировонь!. Если 08)0, 0ц)0, то величина соу Я, ч) (3) Р'08 0ч называется коэффициентом корреляции случайных величин 8 и 81. Свойства дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции для простых случайных величин были изложены в з 4 гл, 1. В общем случае этн свойства формулируются совершенно аналогичным образом. Пусть $ = (9„..., $,) — случайньш вектор, компоненты которого име!от конечныи второй ьюмент. Назовем матрицей ковариации (коварпационной матрнцей) век!ори $ матрицу (порядка пХп) где Кг=-соч(с!, $!). Ясно, что матрица )ч является сии.ие8!!рической.
Кроме того, она неотрицательно определена, т. е. л У, 'Ду)„)„О для любых )ч е-:й, !'=1, ..., и, поскольку Следующая лемма показывает, что справедлив и обратный результат. Л ем м а. Для того чтобы матрица 14 порядка пхп была ковариационной матрицей некоторого вектора $ = ($„..., с„), необходимо и достаточно, чтобы эта матрица была симметрической и неотрицательно определенной, или, чпю эквивалентно, 2ЗО гл н млтамлтичаскив основлния твоеип ваяоятностан суи(сствовала би матрица А (порядка п хи, ! =-'й ( и) такая, что 1)( = АА", еде * — символ транспонирования. Доказательство. Как показано вьппе, всякая коварнацнонная матрица является симметрической н неотрицателыю определенной.
Обратно, пусть к — такая матрица. Из теории матриц известно, что для всякой симметрической неотрицательно определенной матрицы 1~ можно найти такую ортогональную матрицу еб (т. е. со1б* = Š— единичная матрица), что Ю*ЯВ = О, где — диагональная матрица с неотрицательными элементами с(„1= =1,...,п.
Отсюда следует, что ж = ЕОЕ'=(ВВ) (В "В"), где  — диагональная матрица с элементами Ь,=+ )/е(и (= 1, ... ..., и. Поэтому; если положить А =ОВ, то для матрицы к полу- чим требуемое представление 11 = АА*. Ясно, что всякая матрица АА' является симметрической н неотрицательно определенной. Поэтому осталось лишь показать, что й является ковариационной матрицей некоторого случайного вектора.
Пусть т)и т)„ ..., т), — последовательность независимых нор- мально распределенных случайных величин, иг (О, 1). (Существо- ванне такой последовательности вытекает, например, нз след- ствия 1 к теореме ! 2 9 и, в сущности, мсжет быть легко выве- дено нз теоремы 2 й 3). Тогда случайный вектор 5 = Ап (векторы рассматриваются как векторы-столбцы) обладает требуемым свой- ством.
Действительно, МД* =М(Ат))(Ац)" = А.Мтр)* А* =АЕА* = АА". (Если ь = ') ьу ! — матрица, элементами которой являются случай- ные величины, то под М~ понимается матрица 1Мьи !). Лемма доказана. Обратимся теперь к двумерной гауссовской (нормальной) плотности 1 Г 1 Г(Х вЂ” м,)е 1ьч(х У)= .—, ехР(— 2ла,а, Р 1 — Р' ( 2(1-ре) ~ а) (х — ач) (в — т.) (и — т~)'- 251 » «СЛУЧ))ННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Н. Р=о Я, 1!). В 2 4 гл. ! было объяснено, что если величины $ и Ч не коррелированы (р(«, ))) =О), то отсюда еще не вытекает, что они независимы.
Однако если пара ($, ))) — гауссовская, то из некоррелированности $ и !! следует, что они независимы. В самом деле, если в (4) р=0, то !!х х — хнп !у — т,'* ! 11»«1 (ь„ (х, у) = е ' е Но в силу (6.55) и )«(х) =- (4) ~ ~ь„(х, ~ 1;ч(х, !х — пь)' « у) йу= —,.— е 'У~25 о! !х — е,)* у) г(х= ! е !' 2лох Поэтому рьч(х, у) =!Е(х) рч(у), откуда следует, что величины $ и Ч независимы (см: конец п. 8 2 6). 2.
Убедительной иллюстрацией полезности введенного выше в 2 7 понятия условного математического ожидания является его применение к решению следующей задачи, относящейся к теории оценивания (ср. с п. 8 $4 гл. 1). Пус)ь ($, Ч) — пара случайных величин, из которых $ наблюдаема, а т) наблюдению не подлежит. Спрашивается, как по значениям наблюдений над $ «оценить» ненаблюдаемую компоненту т)? Чтобы сделать эту задачу более определенной, введем понятие оценки.
Пусть )р= р(х) — борелевская функция. Случайную величину !р (5) будем называть оценкой т) по 5, а величину М [1! — !р ($)1» (среднеквадратической) ошибкой этой оценки. Оценку )р* Я) назовем оптимальной (в среднеквадратическом смысле), если Л вЂ” = М [)) — !р* ($)]» =! п1 М [)) — !р ($))«, (5) где 1п! берется по классу всех борелевских функций «р=)р(х). характеризуемой пятью параметрами т„т.„о„о«и р (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
