1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Р(сп ° ) есть вероятностная мера на.7; Ь) для каждого В гн,У Р(!г; В) как функция от г! есть один из вариантов условной вероятности Р(В ~,е) (!г), т, е. Р(!о; В) = = Р(В(.У)(!ь) (и. н.). Т е о р е м а 3. Пусть Р (еп В) — регулярная условная вероятность относительно .У и $ — интегРируемая случайная величина.
Тогда $7 услОВные ВеРОятности и Ожндхния Лок а з ательство. Если ~=!В, В Е=,У, то требуемая формула (24) превращается в равенство Р (В; Р) (в1 = Р (в; В) (п. н.), выполнимое в силу определения 4 Ь), Следовательно, (24) выполнено для простых функций, Пусть теперь 1 га О и си ( хл, где ", — простые функции. Тогда по свойству Ь) теоремы 2 М(Ц ~,~) (в).=1)гп М(Ел,,.л) (в) (п. Н.). л Но поскольку для каждого в ~ г) Р (в; ) есть мера, то по теореме о монотонной сходимости 11п1 М($„'.'и) (в) =-1(гп) йл(вт) Р(вдв) =1)гп ~ ~(в) Р(в; дв). п л л Общий случай сводится к рассмотренному с помощью представления Е=$' — $-. Теорема доказана. С л едс т в и е.
Пусть .-У = Юч, где т) — случайная величина, причем пара (си т)) имеет плотность распределения вероятностей (еч (х, у). П) сть М . 'д Я),' ( ж, ~огда М(уД),'т)=--у)= ~ д(х)):,„(х,'у)дх, где )т В(х~ у) — плотность условного распределения (см. (18)). Чтобы сформулировать основной результат о существовании регулярных условных вероятностей, нам понадобятся следующие определения. О п р е де л е н и е 5. Пусть (Е, О) — измеримое прастранство и Х=Х(в) — случайный элемент со значениями в Е и р — о-подалгебра Г.
Функция Я(в; В), определенная для ве:— Я и В ~К, называется регулярныя услоенын раепределениен Х относительно ут, если: а) для каждого в~ 1) 1,>(в; В) сеть вероятностная мера на (Е, 6); Ь) для каждого В~К ()(в; В) как функция от в есть один нз вариантов условной вероятности Р(Х е= В1 е) (в), т. е. (е(в; В) =Р(Х е= В1У)(в) (п.
н.). Определение 6, Пусть $ — случайная величина. Функция Ги Е(в; х), вен Р, хан)г, называется регулярной функцией распределения для $ относительно Я, если: а) для каждого в~ ьг Е(в; х) есть функция распределения на )с'; Ь) для каждого х ен)с Е(в; х) = Р Д-.:— х'(,е) (в) (п, н.). 242 гл и. млтвмлтичвскив основхния твоими вегоятностап Теорема 4. Всегда существуют регулярная функция распределения и регулярное условное распределение случайной величины З относительно у. Доказательство. Для каждого рационального г ~А' обозначим Р,(а) =Р(5 =гф)(а), где Р($»г~,ь««)(а) =М(1д~,>1.-у)(а) — какой-нибудь вариант условной вероятности события (ь= г) относительно .У.
Пусть (г;) — множество всех рациональных чисел иа Р. Если г>(г>п то в силу свойства В" Р($=г>) и):я-Р(5=г;)3) (и. н.) и, значит, если Ау=(а: Р, (а)(Рп(а)), А= ()А,~, то Р (А) =-О. Иначе говоря, множество тех а, где у функций распределений Р, (а), г еи (г>), нарушается монотонность, имеет меру нуль. Пусть теперь В; = <а: 1ип Р > (а) ФР,,(а)1, В = О В;. л «с+л Ясно, что 1 ю 41(4~,,1, и- со. Поэтому, согласно утверс л ждению а) теоремы 2, Р > (а)- Р, (а) (п. н.) и, значит, мно«.+— ! > л жество В„где нарушается непрерывность справа (по рациональным числам), также имеет меру нуль, Р (В) =О. Далее, пусть С = ~а: 1цп Рл (а) Ф 1) () (а: 1нп Рл (а) ) О<. л со л — сл Тогда, поскольку (а»п) у Й, н — ~со, а Я»п) ) ф, и — >- — со, то Р (С)=О.
Положим теперь 1>ш Р, (а), а ей А () В () С, Р(а; )= б(х), гвен А()В()С, где б (х) — произвольная функция распределения на )с, и покажем, что функция Р(а; х) удовлетворяет определению 6. Пусть аф А() В ОС. Тогда ясно, что Р(а; х) является неубывающей функцией от х. Если х(х)»г, то Р(а; х)»Р(а; х')» == Р(а; г) =Р,(а) 4 Р(а, х), когда г 4 х. Поэтому Р(а; х) непрерывна справа. Аналогично Дгп Р(а; х)=1, 1(гп Р(а; х)=О, х сл л — сл Поскольку для аенА()В()С Р(а; х)=б(х), то для каждого а ен (1 Р(а; х) является функцией распределения на й>, т. е. выполнено условие а) в определении 6. Согласно конструкции Р (5» г) ~ Р) (а) = Р, (а) = Р (а; г). Если г 4 х, то для всех а ~ Й Р(а; г) 4 Р(а; х) в силу установленной непрерывности справа. Но из утвер>кдения а) теоремы 2 Р($» =,г~З)(а)- Р($ =.х1З)(а) (п.
н.). Поэтому Р(а; х)=РЯ~; и=.х~,Ф) (а) (п. н.), что и доказывает свойство Ь) определения 6. Обратимся теперь к доказательству существования регулярного условного распределения $ относительно Ф. $7. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ 243 Пусть Р(ы; х) — построенная выше функция. Положим г',г(а; В)= ~Р(ы; г)х), в где интеграл понимается как интеграл Лебега — Стилтьеса, из свойств которого (см. п.
7 Э 6) вытекает, что 9(ы; В) является мерой по В для каждого фиксированного ы ~ (!. Для установления того, что гг(еи В) есть вариант условной вероятности Р(с ен енВ ~,Р)(тв), воспользуемся принципом подходящих множеств, Пусть гв — совокупность множеств В из,й()7), для которых 9(еи В)=Р(сенВ~,Ф)(ы) (п. н.). Поскольку Р(еч х)=Р(;- .='х~.й)(ы) (и. н.), то в систему о входят множества В вида В=( — Оо, х), хек)7. Значит, в О входят также все интервалы вида (а, Ь'! и алгебра оК, состоящая из конечных сумм непересекающихся множеств вида (а, Ь1. Тогда из свойства непрерывности меры гг(ы; В) (ы — фиксировано) и утверждения )7) теоремы 2 следует, что 8' является монотонным классом, и поскольку о,е:— с= Ы'~ лЗ()7), то из теоремы 1 Э 2 З()т) =о(а ~): — о(Ф') =р(3') = о ы РЗ(В), откуда И'=.З()7).
Теорема доказана С помощью несложных топологических рассмотрений утверждение теоремы 4 о существовании регулярного условного распределения можно распространить на случайные элементы со значениями н так называемых борелевских пространствах. Дадим соог ветс т в ующее Определение 7. Измеримое пространство (Е, Е) называется борелевским пространством, если оно борелевски эквивалентно некоторому борелевскому подмножеству числовой прямой, т.
е. существует взаимно однозначное отображение ггг=гр(е): (Е, Е)- -7-()7, .З()7)) такое, что: !) гр(Е)— = гггр(е): егнЕ) есть некоторое множество из,З(р); 2) Чг — е-измеримо (гр-г(А) ~ Е, А ен гр(Е) П,,З()7)), 3) гр ' — З ()т)/о-ггзыеримо (гр (В) ен гр (Е) (),З ()7), В с= К). Теорема 6. Пусть Х=.Х(ы) — случайный элемент со значениями в борелевском ггространстве (Е, Е).
Тогда суи,ествует регулярное условное распределение Х относительно ~. Доказательство. Пусть гр=гр(е) — функция из определения 7, В силу 2) из этого определения гр(Х(ы)) является случайной величиной. Поэтому по теореме 4 определено условное распределение гг (ы; А) случайной величины гр (Х (ы)) относительноо гР, А ~ гр (Е) Д сЗ (Л).
Введем функцию !г(ы; В) =(г(ы; г!7(В)), В ен Ж. В силу 3) определения 7 гр (В) ~ гр (Е) П ЯЗ ()с) н, следовательно, Я (ы; В) 244 Гл и мАтемлтические ОснОВАния теОРии ВВРОятностеп Р(А, В) Р(Л;)Р(В ' А;) (\ л ~,' Р(Л,)Р(В А,) л Поэтому, если а= ~ч', а!7л.— дискретная случайная величина, то, ! =1 согласно (!.8.10), ~' а(а!) Р (А;) Р (В ! Ай М1д(в)(В,= '='„ ~ Р (Ар) Р (В ! А!) (26) у=! или а(а) Р(В',В=а) Рв(аа) М(д(а) ~ В] — -"„ Р (В ~ 6 =а) Ра [Ва) ('27) Основываясь на данном в начале этого параграфа определении М(8(а) ~В), нетрудно установить, что формула (27) остается справедливой для любого события В с Р(В))0, случайных величин а и функций д = ст (а) с М ) д (а) ! ( Оо.
определено. Понятно, что при каждом са ()(ек В) является мерой по В ~Ж. Зафиксируем теперь В вне. В силу взаимной однозначности отображения !р = !р (е) О(еи В) =(с(ек ср(В)) = Р (ср (Х) е= !р(В) ! р)= Р(Х е= В , 'Рл) (п. н ). Таким образом, (е(са; В) является регулярным условным распределением Х относительно .У. Теорема доказана. Следствие. Пусть Х=Х(са) — случайный элемент со значениями в полном сепарабельном л!етрическои пространстве (Е, Е !, Тогда существует регулярное условное распределение К относительно р. В частности, такое распределение существует в случае пространств ()7", аЗ()т')), (Й, Ж()т )).
Доказательство следует из теоремы 5 и известного результата из топологии о том, что такие пространства являются борелевскимн. 8. Развитая выше теория условных математических ожиданий позволяет дать обобщение теоремы Байеса, находящей применения в статистике. Напомним, что если Ы=(А„..., А„) — некоторое разбиен! е пространства () с Р (А;) ) О, то теорема Байеса (!.3.9) утверждает, что для всякого В с Р (В) ) 0 045 4 1 услОВныс ВВРОятности 11 ОжпдАния Рассмотрим теперь аналог формулы (27) для условных математических ожиданий М ггпу(0) (,У1 относительно некоторой и-алгеб) ы Р, е с=,у, П) сть О(В)= ~д(0)Р(йы), В~Э.
Тогда в силу (4) М[у(0) -')= — аР (го). вО (28) (29) 11аряду с о.алгеброй Р рассмотрим о-алгебру РВ. Тогда, согласно (5), Р(В)= ) Р(В -УВ)йР (3,)) о нл1 по фор11уле земены переменных под знаком интеграла Лебега Р(В)= ~ Р(В~0=и)РВ(с(а). (3! ) Поскольку С)(В) =М[Ы(0) ТВЪ=М[к (О) М(1в~ Уе)11 то 0(В)=- ~ д(и)Р(В~0=а)РВ(йа), (32) где р =-о(х; о) — неотрицательная измеримая по паре переменных ф)икция, а ).— некоторая о-конечная мера на (4),:Р).
Пусгь М ~у(0) ( ОО. Покажем, что (Р-п. н.) д (а) р (о1, а) РВ1аа) М[у(0))Ф)= р (о1, а) Рв (оа) (обобщенная л1еореми Байеси), Для доказательства (34) нам понадобится следующая Лемма. Пусть (ВА,,У) — некоторое изз4еримое пространство. а) Пусть )А и Х вЂ” о-конечные меры, )А((А и [=~(о1) —,Р-измеримая функция. Тогда (35) Предположим теперь, что условные вероятности Р (В)0 = а) являю1ся рег)лярш гни и допускают представление Р (В, 0 = а) =- ~ р (ВИ а) )о (дь1), 246 гл. и. математические основания твогии вгвоятиостеи (в п|ом смысле, что если существует один из интегралов, то существует и второй, и они совпадают), Ь) Если ч — мера со знаком и р, Л вЂ” д-конечные меры, чч и, )с((Л, то вч еч ри — — — - (Л-п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
