1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Предположим, что случайная величина такова, что для нее существует М$, Тогда МД~Ф) можно было бы определить как такую У-измеримую функцио, для которой справедливо (1). Обычно именно так и поступают. Приводимое нами определение М ($ ~.У) = М ($" ~,'к) — М $-(.%) облад)ет тем преимуществом, что в случае тривиальной о-алгебры Р=(ф, 11) оно превращается в определение М$ и при этом оно не предполагает существования М$. (Например, если с — случайная величина с Мзда=со, М$-=со, а Р=,У, то М$ не определено, но в смысле определения 1 МЯ) Р) существует и есть, просто в=5' — $ ). Определение 2. Пусть В~,У.
Условное математическое ожидание М (1в ~,р) обозначается Р (В ~;т), или Р (В ~ .Р) (а), и называется условной вероятностью события В относительно а-алгебры,р, .У ы У. Из определений 1 и 2 следует, что для каждого фиксированного В ~.У' условная вероятность Р(В~,У) есть такая случайная величина, что: а) Р(В ~.р) является Рьизмеримой, в) для любого А енР Р (А П В) = ~ Р (В ) У) дР. (5) А » 7 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ Определение 3. Пусть $ — случайная величина и о-алгебра, порожденная некоторым случайным элементом т). Тогда М(В .'Уч), если оно опРеделено, обозначаетсЯ М($)Ч) или М (" ) Ч) (ь») и йазывается услооным л«ателсатическим ожиданием $ относительно и. Условная вероятность Р (В ~ е«„) обозначается Р (В ' Ч) нли Р (В: ;т)) (сь), и называется услоеноип Вероятностью собьтнся В Относительно т), 3. Покажем, что данное здесь определение М ($,':У) согласуется с определением условного математического ожидания 3 8 гл.
1. Пусть Р = (О„О„... ) — некоторое конечное или счетное разбиение с атомами О, относительно Вероятности Р (т. е. Р(О;))О, и если А = О„то илн Р(А)=0, илн Р(О;: А) =-О). Теорема 1. Если .у=о(Ю) и  — случа!)ная ееличина, для котоРОй М~ь опРеделено, то "Г'~'О '! М(Ц',у) = ( "!) (Р-п. н. на О!) (б) р (о!) или, я!по то же М(',)У)=, 1 «дР (Р-п. н. На О,). р (г)г) е (Запись 4=«) (Р-п. н. на А)», или «5 =Ч (А; Р-п.
Н.)» означает, что Р (А П Я Ф Ч)) = 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно лемме 3 из 3 4 на О, М Д !!.-~) = =Кь где ʄ— постоянная. Но ~ $ дР = ~ М Д ) д)«(Р = К,Р (О;), О. О откуда К!= ~ $аР. Теорема доказана. Таким образом, введенное в гл. 1 понятие условного математического ожидания М (в).ет) относительно конечного разбиения От = (О„ ..., О„) является частным случаем понятия условного математического ожидания относительно о-алгебры У = о(елт), 4. Свойства условных математических ожиданий. (Будем предполагать, что для всех рассматриваемых случайных величин математические ожидания определены и о-алгебра .У ~ Х), А*. Если С вЂ” постоянная и $ = С (и.
н.), то М ($) Ел) =С (п. н.). В*. Если $ == Ч (п. н), то М ($).'Р) ~ М (т) ),Ф) (п. Н.). С*. / М(5!.Р) ) =" М() 5)) У) (п. н.). О*. Если а, Ь вЂ” постояйные и аМ$+ЬМЧ определено, то М(аа-(-ЬЧ)'У)=аМ($1Ф)-(-ЬМ(Ч) "У) (п. н.). ззо гл. и. млтемлтпчвскив основлния теоьии веьоятностеи Е*. Пусть У =( ~7), ьг) — тривиальная о-алгебра. Тогда М(Е~' У )=М~ (п.
н,). Е*. М($( У') =$ (и. н.). тт*. М(М(ф(,У)) =М$. Нь. Если,р, с: — 3.„то М[М($(.ьт) ( Рт)=М($( Р,) (и. н.), )Ф, Если Рт = Ут, то М[М Я ) Ут) ~ ЮД = М Д ( У,) (п. н.). 3*. Пусть случайная величина ь, для которой М$ определено, не зависит от и-алгебры У (т. е. не зависит от 1з, В ен.У). Тогда М Я~ 3) =М$ (и. н.).
К*. Пусть и — 3чтзмериная случайная величина, М ~ т) ~ ~(со и М' ,:ст1 ~(со. Тогда М(ф т) ~,У) =т)М(т ( У) (и. н.). Приведем доказательства этих свойств. А*. Функция, равная постоянной, измерима относительно у. Поэтому остается лишь проверить равенство ~ $ йР = ~ С аР, А ен .У. Но в силу предположения 5=С (п. н.) и свойства тл пз й б зто равенство выполнено очевидным образом. В*. Если $==т) (п. н.), то по свойству В из ~ 6 ~ $ йР ч- ~ т~ йР, А ен,р, л л а значит, $ М ($ ! Р)йР ( ~ М (Ч ! У)йР, А М. Тогда требуемое неравенство следует из свойства $ 5 6).
б*. Это свойство вытекает из предыдущего, если учесть, что — ! $ ) ( $~ ! $ ). ):эь. Если множество А вне, то, согласно задаче 2 из й 6> ') (а$+ Ьт)) а Р = ) а3 йР + ) Ьт) йР = ~ аМ Я ~,У) йР -(- л л л л + )ЬМ(т)! У)йР= )[аМЯ! У)-(-ЬМ(т~(.УД йР, л л что и доказывает свойство 0', 231 ф 7 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ Е". Это свойство следует из замечания, что М$ является г' — измеримой функцией и того факта, что если А =Н или А = ф, то очевидным образом ~ с 1(Р = ~ М$1(Р.
Г*. Поскольку й — Х-измерима и ) $1(Р= ~ $1(Р, А ен я', А А то М(~ ~,У') =$ (и. н.). С1*.. Это свойство вытекает из Е* и Н", если взять Р1 = (го, ()) и з,=х Н*. Пусть А е=;у1; тогда )МД( Р )АР= ~$ыР. А А Так как .у ~.у„то А ~,у, и, значит, ) М [М Я ~ Рз) ~ ЗД1(Р = ~ М($~З ) дР = ~~1(Р, А А А Следовательно, для А ен ЛТ ~МД~~) (Р= (М[МД~Ю,)~Э,1 (Р А А и по свойству 1 (й 6) и задаче 6 Я 6) М (~,' ч1) = М [М ($ ( .р,) (;в11 (и. н.). Г, Если А ~ У„то по определению М[МЯ ~ У,),~=9~1] ~ М [М Я(,У,)(Р111(Р = ~ М($( ь,)'1(Р. А А Функция М(С~,'У',) является УВ-измеримой и, поскольку У,~,Ф~„ то и Р1-измеримой.
Отсюда следует, что М($(Р,) есть один из вариантов условного математического Ожидания М [М (С ~,УВ) ~,>11, что и доказывает свойство !"'-. .)*. Поскольку Ме является у-измеримой функцией, то остает- ся проверить, что для любого В ен .'у (й (Р = ( Мй (Р, т. е. что М[$7В~=М$ М!в. Если М ~ 3 ~(СО, то это сразу следует из теоремы 6 ~ 6. Общий случай сводится к этому с применением результата задачи 6 из $ 6. ЕЗЕ Гл 11 млтГмьтичесене Осноьхння теОРии веРОятностеи Доказательство свойства К*, опирающееся на утверждение а) следующей далее теоремы 2, будет дано несколько позднее. Т е о р е м а 2 (о сходимости под знаком условных математических ожиданий). Лусть Д„)„ж1 — ггоследовагпельносгггь расширенньгх случайных величин.
а) Если /5„,' -11, Мт! ОО и ь„— «$ (п. н.), то М(Б„!Р) — М Я ! Р) (и. п.) М(!ń— с)!.Р)-«О (п. н.) Ь) Если Е„~11, Мт!) — со и Е„(Е (и, и.) то М (Е„! У) (М($ ! Ю) (и. и.). с) Если $,~11, МО(ОО и ь„у$ (п. н.), то м(~„! ч) ) м(е1 Г) (и. н.) г) ) Если 1, ~ т), М 11 ) — ОО, то М(Игом„!Р) ~111п М Я„, 'Р) (п, н.). е) Если $„~т), М11(со, то 11)1п1 М Д„! З) ~ М (!ни $„' ,,Р) (п.
н.). 1) Если $„~0, то М г ~ ', Б„! Р) = ~к~ ~М Д„! Р) (и. и.). Доказательство. а) Пусть ь„= зпр !1„— $1. Поскольку а)4 $„-«$ (п. н.), то ~,~0 (и. н.). Математические ожидания М$„И М$ конечны, поэтому в силу свойств 0ь-н С" (п. н.) Поскольку М(г",„+1)Р) =М(ь„!Р) (п. И,), то (и. н.) существует предел )1=1)щ М (е„!.'У). Тогда и 0 ( ~ Ь г(Р =- ~ М К„! Р) с(Р = ~ ь„с(Р— «О, и -«со, где последнее утверждение следует из теоремы о мажорируемой сходимости, поскольку 0( Ь„==. 211, Мт) ( со.
Следовательно, )Ьс(Р =0 и по свойству Н )1 =0 (п. н,), и 233 $ Т. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ Ь) Пусть сначала т! = О. Поскольку М (е„! Р) ( М ($„+, ! Р) (и. н.), то существует (п. н.) предел ь(а)=(ипМ($„!.Р). Тогда л нз равенства ) ел йР = ') М ($„!.Р) г(Р, А ен .Р, и теоремы о монотонной сходимости ) $ аР = ~ ~ йР, А еи .р. А А Следовательно, по свойству ! и задаче 5 ~ 6 $=~ (и. и.) Для доказательства в общем случае заметим, что 0-=.$„') ~+, и по доказанному М(Ц! Р))М(с"!Р) (и. н.).
(7) Но 0($,=-$-, М$- -со, поэтому в силу а) М Д„!Ю) — лМ(~ ),Р), что вместе с (7) доказывает Ь). Утверждение с) вытекает из Ь). б) Пусть ~„= (п! $, тогда ь„)ь, где ь=)пп$„. Согласно Ь) а>л М (~„!,р) ( М (~ ! 3) (п. и.). Поэтому (п. н.) М (! Нп $„! Ф) = М (~ ! л) = = — )ниМ (~„/Р) =!ИпМ(~„!.Р) =-!НпМ($„~ Р). л Утверждение е) вытекает из д). !) Если 1„) О, то по свойству 0* что вместе с Ь) и доказывает требуемый результат.
Теорема доказана. Приведем теперь доказательство свойства Кл. Пусть т) = 1В, В еи .Р. Тогда для всякого А ен З ~$Ч~(Рлл ~ $йР= ~ М(~( Р)Г(Р= ~1ВМ($(З)дР А Апв Айв А = ~чМд~.э),(Р. А В силу аддитивности интеграла Лебега равенство ~ $Ч йР = ~ т(М (5 !.'У) с(Р, А ен,р А А 234 гл и математические основтния твотш вегоятностгн останется справедливым и для простых случайных величин т1 = а = ~' у„)в„, В, ~.У. Поэтому по свойству ! (9 6) для таких л.=! случайных величин М(~Ч ~.У) = т)М Я ~ Р) (п.н.). (9) Пусть теперь э) — произвольная Ю-измеримая случайная величина с М , 'Ч ~( со и (Ч„)„~1 — последовательность простых мизмернмых случайных нетичин таких, что,' Ч„! = Ч н и„- т).
Тогда в силу (9) МЯЧ„!,е) =11„М(т ~ З) (и. н.). Ясно, что ~$Ч„~(($0,', где М~$Ч~(со. Поэтому по свойству а) М(зЧ„~У)- М(5Ч ~па) (п. н.). Далее, так как М'~~ -со, то М(сает) конечно (и. н.) (см. свойство С" и свойство 1 (9 6)), Поэтому Ч„М (т , 'З) -~ т1М ($1,Р) (и. н.) (Предположение о конечности почти наверное М(с1,Р) существенно, поскольку, согласно сноске на стр, 190, 0 со=О, но если Ч„=1)п, т)=0, то — со 0 оэ=О,) 1 5. Рассмотрим подробнее структуру условных математических ожиданий М(с ~.Р„), обозначаемых, как было условлено выше, также через М Я ~ Ч). Поскольку М (В ~ э)) является .У -измеримой функцией, то, согласно теореме 3 из 9 4 (точнее — очевидной ее модификации для расширенных случайных величин), найдется такая борелсвская функция т=т(у), определенная на )и и со значениями в тс, что для всех свен эл т(Ч(со)) = М($ ~ Ч) (со). (10) Эту функцию т(у) будем обозначать через М Я ~ Ч=у) и назглвать условным математическим ожиданием $ относительно события (Ч=у), или условным математическим ожиданием $ при условии, что Ч=у.
В соответствии с определением ~5с(Р= ~М(3~Ч)с(Р= ~т(Ч)дР, А~ Рч (11) л л л Поэтому по теореме 7 $ 6 (о замене переменных под знаком интеграла Лебега) т(т() с(Р = ~т(у) Рч(с(у), В ~ %(й), (12) 1а: чав1 в где Є— распределение вероятностей Ч. Следовательно, т=т(у) есть борелевская функция такая, что для всякого В ен,З()7) $ дР = ~ т (у) с(Рч. (1З) 1см ямв1 в » 7 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ 235 Это замечание подсказывает, что к определению условного математического ожидания М($) Ч=у) можно прийти и иначе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
