1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 45
Текст из файла (страница 45)
2 в 2 3). Заметим, что зто распределение не зависит от О. б. Задачи. 1. Проверить справедливость формул (9), (10), (24), (27), (28), (34) — (38). 259 $ 3 случлнныв величины и. 2. Пусть $о ..., 5„, п)2,-независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения Р(х) (и плотностью )"-(х), если таковая существует) и К гпах (см ..., $„), к = ппп ($„..., ~„), р = $ — Е Показать, что (Е (у))" — (Е (у) — Г(х))", у) х, (Р (у))" й у~х, (х, у) = п(п — 1)(г (у) — Р(х)1"-')'(х)((у), у>х, О, у ~ хз и $ (Е(у) — Р(у — х))" '1(у) е(у, х)0, Ро(х) = О, х(0, п(о — 1) ~ [Р(у) — Р(у — х)1" 'У(у-х) Г'(у) г(у, — ж О, х)0, х~ О. (М)' Р(т,+...+т )1) = ~ "' —;, ° 8 =0 3.
Пусть м и $а — независимые пуассоновские случайные ве- личины с параметрами )о и )„, соответственно. Показать, что м+";, также имеет пуассоновское распределение с параметром й',+Х',, 4. Пусть в (4) т,=т,=0 Показать, что о,о,1 ( — р' и (о-е — Воо,о,~ —' ,о-') б. Величина р* (с, 11) =зирр(и(с), о(п)), где супремум берется й, 0 по всем борелевским функциям и =и(х) и о=о(х), для которых коэффициент корреляции р (и (с), о(г()) определен, иазываегся максимальным коэффициентом корреляции й и и. Показать, что счучайные величины $ и 11 независимы тогда в только тогда, когда р"' Я, 11) =О.
б. Пусть т„т,„..., т„— независимые неотрицательные одина- ково распределенные случайные величины с зкспопенциальной плоз постыл распределения ((О=Хе-ы, 1- О. Показать, что распределение случайной величины т,+...+тл имеет плотность тА(л-1 е-и (а-!)( (- О, 1 .й-=п, 261 Гл и к1лтенТт!и!еские Основания теОРии веРОятностеп 7.
Пусть Е -~ (О, с'). Показать, что для всякого р- ! М$ =Со !де и Г(з) = ~ е- х'-Тс(х — гамма-функция Эйлера. В частности, для о любого целого и =. 1 МСзл = (2п — 1) !! о'". 9 9. Построение процесса с заданными конечномерными распределениями 1. Пусть $ = 1(со) — случайная величина, заданная на вер,ятностном пространстве (П, Х„ Р) и Ре(х) = Р ',ен «(ы) ~х)— ее функция распределения, Понятно, что Ре(х) является и'.)Икппей распределения на числовой прямой в смысле о:ределс- 1шЯ 19 3. Поставим сейчас след)ющнй вопрос.
Пусть Р=Р(х) — некоторая функция распределения на (?. Спрашивается, существ)ет л:! случайная величина, имеюшая функцшо р(х) своеи ф) ш1цпей распределения? Одна из причин, оправдывающая эту постановку вопроса, состоит в следующем. Многие утверждения теории вероятностей начинаются словами: чП)сть  — случвин1*я величина с фуикц1ьзй распределения Р(х), тог !а...». Поэток!у, чтобы;тверждсиия подоено!о типа были содержательными, надо иметь уверенность, чго рассматриваемый объект дсьств!Иельно суикствуег. Поскольку для задания случайной вел гчпиы н) жио прежде всего задать область ее определения (П, х], а для того, чтобы говорить о ее распределении надо иметь вероятностную меру Р на ((1, У), то правильная постановка вопроса о существовашш случайной величины с заданной функцией распределения г" (х) такова: Суи!Ествуют ли вероятностное орос!Иранство (ь2, У, Р) и случайная величина $=-е(чт) на нем такие, что Р (си $ (11) ==..
х) = Г (х)? Покажем, что Ответ на этот вопрос положительный и, в сущности, он содержится в теореме 1 9 1. Ле1!Ствительно, положим !? = !к, У = =чу ()?). З я постгоенив пяоцессл Тогда из теоремы 1 3 1 следует, что на (К, ч%()?)) существует (и притом единственная) вероятностная мера Р, для которой Р(а, Ь) =Р(Ь) — Р(а), а(Ь. Положим $ (ез) = оз. Тогда Р(ы: $(ео)~х) =Р(вп ыч-х) =Р( — со, х|=Р(х). Таким образом, требуемое вероятностное пространство и искомая случайная величина построены. 2. Поставим теперь аналогичный вопрос для случайных процессов.
Пусть Х = (3Д~~г — случайный процесс (в смысле определения 3 5 5), заданный на вероятностном пространстве (!з,,У', Р) для (~Т =Я. С физической точки зрения наиболее важной вероятностной характеристикой случайного процесса является набор )Р~с ..., ~ (х„..., х„)) его конечномерных функиий распределения заданных для всех наборов !н ..., („с У,((е к ...(1„. Из (1) видно, что для каждо~о набора („..., )„с (, = 1, ~...
... ()„функции Р,, ~ (х„..., х„) являются п-мерными функцпямн распределения (в смысле определения 2 2 3) и что набор (Рй ~ (х,, ..., х„)) удовлетворяст след)тощим условиям согласованности: Р~, ...,1 (»„..., »я)=Р~, м (х,, ..., »„, + Оо, ..., -,'— оо), (2) где й( и. Естественно теперь поставить такой вопрос: прп каких условиях заданное семейство )Р... (х„..., »„)) функций распределения Р,, (х,, ..., х„,) (в смысле определения 2 2 3) может быть семейством конечпомерных функций распределения некоторого случайного процесса? Весьма примечательно, что все такие дополнительные условия нсчерпываготся условиями согласованности (2). Теорема 1 (зеорсма 1(олмогорова о существовании процесса).
Пусть (Р~ ~ (х,...»„)), где 1;в=Тс=)?, 1,<1,<...~)„, п=1, заданное семейспгво конечномернмх функций распределения, удовлетворяющих условиям согласованности (2). Тогда существуют вероятносгпное пространство (П, У, Р) и случайный процесс Х=(с,)„.= г, пьякие что Р (оэ: $, . х„..., $~ ~х„) =-Рс он (х,...х,). (3) 262 гл и млтемхтпчгскнв основания таоиш вгяоятностви Ло к аз ательство, Положим гт Ег у. п3(рг) т. е, нозьмем в качестве пространства 11 пространство действительных функций ы=(оь),~г с а-алгеброй, порожденной цилиндрическими множествами. Пусть т=((м ..., („1, (,<1т<...~1„. Тогда, согласно теореме 2 из 2 3, в пространстве (Я", Ю(Р")) можно построить и и притом единственную вероятностную меру Р, такую, что Р, ~(е1ч, ..., о,„): ыч =- х„ ..., ы,„ — х„) = Р~ , ~ (х„ „ ., х„).
(4) Из условий согласованности (2) вытекает, что семейство (Р,) также является согласованным (см. (3.20)). Согласно теореме 4 из 4 3 на пространстве (йг, ьй(йг)) существует вероятностная мера Р такая, что Р(го: (ы,,, гег„) ~ В~=Р,(В) для всякого набора т=1гм ..., 1„1, 1, =...~1„. Отсюда следует также, что выполнено условие (4). Таким образом, в качестве искомого случайного процесса Х = Я, (ез))~е г можно взять процесс, определенный следующим образом: Ь(и)=гон геБТ (5) Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1.
Построенное вероятностное пространство яг, .З(яг), Р) часто называют кпноническим, а задание случайного процесса равенством (5) — координатным способом построения процесса. 3 а меч ан не 2. Пусть (Е, Е ) — полные сепарабельные метрические пространства, сг принадлежит произвольному множеству индексов 21. Пусть (Рг) — набор согласованных конечномерных функций распределения Р„ т = 1с.„ ..., сг„) иа (Е„,м...х Е„„, Ж„ Я ...(.:..:Е,„). Тогда существуют вероятностное пространство (о,,Т, Р) и семейство,У ~Е„-измеримых функций (Х„(ге))„ен такис, что Р ((Х ы Х ) ~ В~ Р (В) для любых т=(сс„..., а,) и В яЕ„, Я...ЗЕ, .
Этот результат, обобщающий утверждение теоремы 1, следует из теоремы 4 2 3, если положить й = Ц Е„, У = ~ е1К и Х .(га) = и а = Оа для каждого ез = (год), я е= Я. Следствие 1. Пусть Р,(х), Р,(х), ...— последовательность одномерных функций распределения. Тогда существуют вероят- Ей> 5 9 ПОСТРОЕНИЕ ПРОЦЕССА постное пространство (л1, .г, Р) и последовательность независимых случайных величин $„$„... такие, что Р (ы: Ь(ы) (х) =Р;(х). (6) В частности, существует вероятностное пространство (лг,,г, Р), на котором определена бесконечная последовательность бернуллиевских случайных величин (в этой связи см.
п. 2 й 5 гл. 1). Отметим, что в качестве лг можно здесь взять пространство л) =(ок ы=(а„а„...), а;=0,1) (ср, также с теоремой 2). Для доказательства следствия достаточно положитьР~ . „(хь .., ..., х») =Р,(х„)...Р„(х„) и применить теорему 1, Следствие 2. Пусть Т=-[0, со) и (р(в, х; г, В)) — семейство неотрицательных функций, определенных для в, ( ен Т, ()в, хан)т, В ен %(Я) и удовлетворяющих следующим условиям: а) р(в, х; (, В) является при фиксированных в, х н ( веро. я(пностной мерой по В; Ь) при фиксированных в, ( и В р(в, х; (, В) является боре»веской функцией по х; с) для всех 0-= в <(<т и В ен Я(Я) выполняется уравнение Коилюгорова — Чзпмена р(в, х; с, В)= ~р(з, х; (, г(у)р((, у; т, В).
(7) И пусть п=п(В) — вероятностная мера на Я, Я(В)). Тогда существуют вероятностное пространство (лг, У, Р) и случайиь1й процесс Х = Я,),>» на нем такие, что для 0=)»<(, «...)„, Р($,,(х„»О <хм ..., Вы - х„~ =- к к 1 к к' » п(йу,) ~ р(0, у;, („бу,)...
$ р()„„у„б Г„, бд„). (8) Так построенный процесс Х называется л~арковскам процессом с начальным распределением и и системой переходных вероятностей (р(в, х; т, В)). Следствие 3. Пусть Т=(0, 1, 2, ...) и (Р,(х; В)) — семейство неотрицательных функций, определенных для ЙОЕ1, х ен Й, В ~ ду (Р) и таких, что функция р» (х; В) есть вероятностная мера по В (при фиксированных й и х) и измерима по х (при фиксированных й и В), Пусть, кроме того, и = п(В) — вероятностная мера на (В, %(Р)).
Тогда можно построить вероятностное пространство (л),,У, Р) с семейством случайных величин Х= Я„$О ...) на нем таких, 264 ГЛ и МАТЕАТАТР!ЧЕСК!!Е ОСНОВАНИЯ ТЕОР!и! ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЧТО (еьо~ ха 3!~хм ° ° ) = к кк $ п(дрв) $ р,(у;, г(!!!)... $ р„(у„„, 'с(у„). 3. В соответствии со следствием 1 существует последовательность независимых случайных величин $„$„..., одномерные функции распределения которых есть соответственно ЄЄ... Пусть теперь (Е„Е!), (Е„Же), ...— полные сепарабельиые метрические пространства и Р„Р.„...
— вероятностные меры на них. Тогда из замечания 2 следует, что существует вероятиостиое пространство (11, ', Р) и последовательность независимых элементов Х„Х.... таких, что Մ—,Уф,сиза!еримы, и Р(Х„~ В) =-Р,(В), В а= 8„. Оказьшае!ся, что зтот результат остается справедлнвъ|м и в тем случае, когда пространства (Е„, Фк) являются произсо,мнсми излмримыми пространстсими.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
