1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 48
Текст из файла (страница 48)
ь $. Если же исходная последовательность сходится по вероятности, то она и фундаментальна по вероятности (см, далее (19)) и, следовательно, этот случай сводится к уже разобранному. Теорема доказана, Теорема 6 (критерий Коши сходимости по вероятности). Для того чтобы последовательность случайных велиЧин (я„),~! была сходяи1ейся по вероятности, необходил!о и достаточно, чтобы она была фундаментальна по вероятности.
Доказательство. Если с, — ~-$, то Р ( ~ ь„— 1 ! == в,':а: Р ,';$„— х ~ = е)2)+Р ( ~ $ — $~~зве/2) (19) и, следовательно, последовательность (а„) фундаментальна по всроягнсстп. Обратно, сслп Я„,) фундаментальна по вероятности, то тогда, согласно теореме б, найду0ся подпослсдовательность (ь„я) и случайная величина с такие, что ~„~ " ." З.
Но тогда Р ( ( $„ — $, =- е) ( Р ! ( ~„ — ~„„ ~.. В/2) + Р ( , '$л„ вЂ” $ ( == е/2), зте Гл и млтгмлт1Н!ескне Основяния теОРин ВГРОятностей и в силу Неравенства Минковского (6.31) И+1)1р~) В)р+(т))р (22) Таким образом, в соответствии с известными определениями ф)нкционального анализа функция !.)р, определенная на Т.р и удовлетворяющая условиям (20) — (22), является (для р =- 1) полунормой, Чтобы она была и нормой, нужно еще выполнение свойства ! 5! ~„= О =:ь е = О. (23) Это свойство, конечно, не выполнено, поскольку, согласно свойству Н (з 6), можно лишь утверждать, что $= — О почти наверное. Однако если под Т,р понимать пространс:во, элементами которого являются не случайные ге:шчины $ с М1$,'Р(СО, а классы экВВВалентных случайных Величин Я экВивали!тно 11, сслн почти наверное), то ( ~р станощыся нормой, а (.р — норыирсванным линейным прострайствоы.
Если в каждом классе эквиьалентных случайных величин выбрать по одному элеменпу, бе1,я функцию, тождественно равную нулю, в качес1ве представителя в классе функций, ей эквнвален1ных, то полученн'.1е пространство (которое также обозначается Т.р) будет уже линейным нормированным пространством функций (а не классом эквивалентности). Однц пз вг>кпых результатов функционального анализа состоит в доказательстве того, что пространства Т.р, р ге 1, являются полныии, т. е.
всякая фундаментальная последовательность является сходящейся. Сформулируем и докажем этот результат на вероятностном языке. Теорема 7 (критерий Коши сходимссти в среднем порядка р'=1). Для гпого чтобы последовап1ельность слбчайных вели~1ин (е„)„~1 из йр сходилось в среднем порядка р.- 1 к сленги(ной величине, принодлежаи1сй 1р, необходимо и достап1очно, чп1обы эта последовательнос1пь была фбндаменп1альной в среднем порядка р. Дока ватель ство. Необходимость следует из неравенства Минковского. Пусть (е„) — фундаментальна (($„— е (р-~О, п, тсо).
Как и в доказательстве теоремы 6, выберем подпоследовательность Я„~) такую, что 1„,"- — '"'е, где $ — некоторая случа11- ная величина с ',~ с(р(со, Положим п,=! и по индукции выберем пы как то наименьшее и, п„„для которого при всех я==-п, (= и ,:'", — е,(р< 2-В'. Обозначим Ал=1ьн !е,,„,— й,„(==2 "). 277 З ю разные аиды сходимости Тогда в силу неравенства Чебышева Так же как в теореме 5, отсюда выводится, что существует такая случайная величина $, что $„ †' †' я. Выведем отсюда, что !$„ — ~!р-»-0, п -5- со.
С этой целью зафиксируем е ) О и выберем й5 = Л'(е) таким, что !$„ — я !, "< < е для всех и =- !т', П5 ~ й5. Тогда для любого фиксированного п) й7 в силу леммы Фату М ! $,„.— ~ (р=М )1пп ( ~„— $„5,,'р(=М(1!гп ', ~„— $„„(р)»=; 5л», о» ! !л~ со 15т М ! хл — х„!Р = 15ш ! х„— хлр !Р ( е. л со л со Следовательно, М(й„— с |р — ~0, и- со. Ясно также, что поскольку з =(з — з„)+5„то в силу неравенства Минковского М)~~р< со. Теорема доказана. Замечание 1. В соответствии с терминологией функционального анализа полные нормированные линейные пространства называюзся банаковскили пространствами.
Таким образом, пространс5ва ЬР, р- 1, являются банаховс5сими. Замечание 2. Если 0<р<1, то )$)р — — (М!~!р)55р не удовлетворяет неравенству треугольника (22) й, следовательно, не является нормой. Тем не менее пространства (классов эквивалентности) Ер, 0 р<1, являются 55олными относительно ме7 рики 5! (С, 5)) =— М! С вЂ” 5! !р. Замечание 3. Обозпачпх5 7 =Е (й,,У', Р) пространство (классов эквивалентнсс5и) случайных величин с = З(е»), для которых !$! <со, где величина ~$15, называемая существенным супремумом ~, определяется формулой ! ~ ) = сзз зир ' Е ) = гп! (О - с =" ОО: Р ( ! $ ~ ~ с) = 0).
Функция ,'! 1, является нормой, н относительно этой нормы пространство ь явл55е1с5! полным. 6. Задачи. 1. Используя теорему 5, показать, что в теоремах 3 и 4 пз Ь 6 сходимость почти наверное ь5охсет быть заменена сходимостью по вероятнос5и. 2, Доказать, что пространство Е полно, 3. Показать, что если ~„ -- $ и в то же время $„ ~ гь то $ и т! эквивалентны (Р(соФ 5)) =О). лтз ГЛ и. МАТЕМАТ!!ЧЕСКР!Е ОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЕТНОСТЕИ 4. Пусть л„— $, ׄ— т( и случайные величины $ и т( зквивалентны. Показать, что для любого е)0 Р (1$„— т(„! =- е) -э. О, а-+ ОС. 5.
Пусть $„~ $, т(„Р т1. Показать, что аа„+()т(„~ а$+Ь!1 (а, Ь вЂ” постоянные), $л,' — ! е1 ° $ Лл — $т). б, Пусть ($„— Е)' Р О, Показать, что с'„Р $'. 7. Показать, что если е„~ С, где С вЂ” постоянная, то имеет место и сходнмость по вероятности: с ~ С==3„~С. 8. Пусть последовательность Д„)„ж! такова, что для некоторого р)0 У, 'МД„~Р(со. Показать, что $л-+О (Р-п. н.). л=! 9. Пусть Я„)л ~ ! — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Доказать, что м!С,1с <=> УР(,'й,!> и)< с=> ~~~~ Р(, '-е —" !>е)» => л= ! л= — ! =~ -~ —,"- — л.О(Р-п.
н.). 1О. Пусть (е„)„» ! — некоторая последовательность случайных величин, Предположим, что существуют случайная величина л я подпоследовательность (и„) такие, что $„А — «$ (Р-п, н.) и п!ах ' $! —.".„,, !'-л.О (Р-п. н.) при й-э ОО. Показать, что л„,С!<л„' тогда $„-эе(Р-п. н.). 11. Определим !(-Метрику во множестве случайных величин, полагая д(Е, т() =М !+ ',з — ч1 н отождествляя случайные величины, совпадающие почти наверное. Показать, что сходимость по вероятности эквивалентна сходимости в !(-метрике. 12.
Показать, что не существует метрики во множестве случайных величин такой, что сходимость в ней эквивалентна сходимости почти наверное. $ П. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО СЛУЧАПНЫХ ВЕЛИЧИН «ТЗ й 11. Гильбертово пространство случайных величин с конечным вторым моментом 1. Среди банаховских пространств ЬР, р~1, рассмотренных выше, особо важную роль играет пространство 1.»=1.»(1), У', Р)— пространство (классов эквивалентных) случайных величин с конечным вторым моментом. Если $, т) Вне.», то положим а, т)) — = М~) Ясно, что для В, т), ~ ен1Р (ОТ+Ьгь Ь) Г и(, Ь)+Ь(т), Ь), а, Ь е=)т, (ь, и==О Д, Р=О=ОВ=О, Тем самым ($, т)) является скалярнь!м произведением. Относительно нормы ~!!й =($ й)!" (2) иид)цнруемой этим скалярным произведением, пространство Е» (как было показано в Ч 10) является лоллыл. Поэтому в соотвстс!вии с терминологией функционального анализа пространство с введенным скалярным произведением (1) является гильберпгож!л просп!ранстао»! случайных величин (с конечным вторым моментом).
Методы пильбертсва пространства широко используются в теории вероятностей при исследовании свойств, определяемых лишь псрвымн двумя моментамп рассматриваемых случайных величин («1.»-теория»). В этой связи остановимся на основных понятиях и фактах, необходимых для излсжения 1.»-теории (Гл, ~Ч1) 2. Две случайные величины с и») пз !'» будем называть сртогональными (Б ' »1), если их скалярное произведснпе («, т)) = = — М$»1= 0. Согласно ~ 8 величины $ и») назывались нскоррели(сванпымн, если Ооч($, т)) =О, т.
е. если Отсюда следует, что для случайных величин с нулевыми средними значениями понятия их ортогональности и некоррелированности .совпадают, Система М«: — !.» будет называться системой ортогональных случайных величин, если Б ) »1 для любых Е, т) ~ М (ВФт)) езо гл п гитемАтическин основлния теОРии ВЕРоятностеи Если к тому же для всех $ ен М их норма ($)=1, то М называется ортонормироваьной системой случайных величин. 3. Пусть М=(г)м ..., т)„) — ортонормированная система и $— какая-то случайная величина из ).г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
