1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Приведем примеры сепарабельных гнльбертовых пространств и их базисов. Пример 1. Пусть !1=Я,,"х =Ю()с) и Р— гауссовская мера а Р( — со, а)= ~ ср(х) с(х, ! ср (х) = —,. в — хня. р зп Об! Рз~п"! О = . — и введем функции с! Вх Н„(х) =— ( — !)хп.ср (х) ср (х) и =О.
(15!! Н тр)дно найзн, что 0ср (х) = — хср (х), АУ!ср (х) = (хх — 1) ср (х), ххеср (х) = (Зх — хх) ср (х) 16) Отс!еда следует, что Н„(х) являются полиномами (называемыми поливал!ими Эрлсиспа). Йз (15), (!6) находим, что НО(х) =-1~ Н,(х) =х, Нх(х) =хе — 1, Н,(х) =х' — Зх, таз гл и млтвмлтичвскив основания таовии веооятностеи Простой подсчет показывает, что (Н, Н„) = ~ Н (х) Н„(х) с(Р ~ Н (х) Н„(х) <р (х) Нх = и (5 „, где б „-символ Кронекера (О, если тФп, и 1, если т=п).
Поэтому, если положить то система этих нормированньлт полиномов Эрмита (Ь„(х))„~о будет ортовормированной системой. Из функционального анализа известно, что если 1(оп ) вм" Р (ах) < со, сло (17) $ (х) = 1. ! . гп, ~ (о, й;) й; (х). =о (1В) Пример 2. Пусть ло=(0, 1, 2, ... ) и Р=(Р,, Р,, ...)— пуассоновское распределение: Положим Лг" (х)=7(х) — 7(х — 1) (((х)=0, х(0) и по аналогии с (15) определим полиномы Пйассона — Шарлье (19) к то система функций (1, х, х', ...) является плотной в 7.о, т.
е. любая функция 5=в(х) из 1.о может быть представлена или в виде о ~ апй (х), где ти (х) =х', или в виде их пределов (в среднеквадл=ю ратическом смысле). Если применить процесс ортогонализации Грамма — Шмидта к последовательности функций о)1 (х), гм(х), ... с тв (х) = х', то полученная ортонормнрованная система будет в точности совпадать с системой нормированных полиномов Эрлппа. В рассматриваемом нами случае условие (17) выполнено. Следовательно, полиномы (й„(х))„~о образуют базис и, значит, любая случайная величина с =$(х) на рассматриваемом вероятнос1ном пространстве представима в виде З и.
гильввгтово пгостглнство слэчлнных величин 28? Поскольку (П, П„)= ~Х',П (х)П„(х)Р,=с„б~„, к=ь где с„— положительные константы, то система нормированных пол иномов Пуассона — Шарлье (п„(х))„~ь, п„(х) = — ", обра1ть ("! р зует ортонормированную систему, которая в силу выполнимости условия (17) является базисом. П р и м е р 3. Приводимые в этом примере ортонормированные системы функций Радемахера и Хаара интересны как для теории функций, так и для теории вероятностей.
Пусть Г)=(0, 1), х =Л((0, 1)) и Р— мера Лебега. Как упоминалось в 2 1, каждое число хан[0, !) может быть однозначно разложено в двоичную дробь хь хь х= — + —;+... 2 2ь где х; = 0 нли 1. (Для однозначности разложения мы уславливаемся рассматривать только те разложения, которые содержат бесконечное число нулей. Так, из двух разложений о о о --- — + — + — + ° "= — + — + — + ° 2 2 2' 2ь ''' 2 2ь 2ь мы берем первое.) Образуем случайные величины $,(х), $,(х), ..., положив $„(х) = х„.
Тогда для любых ап принимающих значения 0 или 1, Р(: 3 =" "" 5-= )=Р(- Ф+$+" +й-х ~ = Р )х: х еи — -)-... -1- — — -1- ... -1- — -1- — — )1( = —, Гьг а„а~ ьл 1 Ч 1 1 2 ''' 2~~ ' 2 '' 2л АД 2л Отсюда непосредственно следует, что 5„3„... образует последовательность независимых бернуллиееских случайных величин (рис. 30 показывает, как устроены $,=$т(х) и ьь=ьь(х)) Если теперь положить й„(х) =1 — 2$„(х), а~1, то нетрудно проверить, что система (й„) (фукнут(ий Радемахера, рис.
31) является ортонормированной: Мй„й = г)й,(х)й„(х)с(х=б„„, ь 2аа Гл и 11Атсмят!1НГские ОснОВАния теоеии Вееоятностеи Заме~им, что (1, Н„)=М)т„=О, Отскда следует, что эта система не является полной. Однако систему Радемахера можно использовать для построения так называемой систел/ы Хаааа, которая и проще устроена, н к тому же является как ортонормарованной, так и полной. й, 1'х) / К/(Х l 4,( ! Рис 30. Рис 31 Чтуикции Радеиакера Снова пусть 11 =10, 1),,У =Л((О, 1)).
Положим Н,(х) =1, Н, (х) = Н1 (х), 2//1)т/(х), если — —.—.х(- -, а=2/+я, А — ! А 2/ ' Н„(х) = 1 =. й ( 2/, 1 -- 1, О в остальных случаях. Нетрудно проверить, что Н„(х) можно записать и в таком виде: 2"", О.=х(2-(""и Е1 О в других случаях, ! — 1Т Нак ь / (х) = Н1 и 1 (х — — 2~, ! = 1, ..., 2'". 1 к $ ! ) (х) — я,' Ц, НА) НА (х) /Я /(х -~ О, и -+ ОО, На рнс. 32 приведены графики первых восьми функций, дающих представление о структуре образования и поведении функций Хаара.
Система функций Хаара является, как нетрудно проверить, ортонормированной. Более того, она полна и в 1.', и в 1.', т. е. если функция у=)(х) ен1./ для Р=1 или р=2, то % И, ГИЛЬВЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО СЛУЧАИНЫХ ВЕЛИЧИН 2В9 и обладает к тому же тем свойством, что с вероятностью единица (по лебеговской мере) Я (~, Оа) Оа (х) -+ ~ (х), п -1- со, и ! Мы докажем зти факты в 9 4 гл.
у'!1, выведя их из общих теорем о сходимости мартингалов, что, в частности, будет служить хорошей иллюстрацией применения мартингальных методов к теории функций. На (х) Н,Ю ! Н,(хх -я Н11хх г Рис, 32, Функции )(кара 111(х), ..., Пв(х) 6, Если ц„ ..., т), — некоторая конечная ортонормированная система, то, как было показано- выше, для всякой случайной величины $ енса в линейном многообразии О =Х(ч„ ..., т(„) можно найти случайную величину 9 (проекцию $ на Ж) такую, что ГЛ. !Е МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН л При этом $ Я (Е, тй) т!о. Этот результат допускает естественное «-! Обобщение на тот случай, когда «1„«1„...-счетная ортонормированная система (не обязательно являющаяся базисом). А именно, справедлив следующий результат.
Т е о р е м а. Пусть т)», «1„... — ортонормированная система случайных величин, Х=Ж(«1„«1„...)-замкнутое линейное многообразие, порол«денное ими. Тогда существует и притом единсп«- еенный элемент се=Я такой, что Д вЂ” 3)!= !п1 (1$-~(; ~ вне). (20) При этом В=!!. ~а, У)0 л (21) из ь ! ~~ье=Х. Доказательство. Обозначим й=!Н111« — ь)! ье-:У~ и выберем последовательность ь„ь„...
так, что )$ — ь„) — л-й. Пока- жем, что эта последовательность является фундаментальной. Про- стой подсчет показывает, что (~.-~.1=2К.-И+2(~.-Ц -ф+"" -~~'. Ясно, что — Е=Ж, поэтому !! — — $~~~й' и, следова'лл+1е Кл+1~ тельно, ) «„— ь„!»-~0, и, т-л со. Пространство Ь» является полным (теорема 7 й 10). Поэтому найдется такой элемент $, что )ь, — е(1-л-О.
Множество У замкнуто, поэтому 5ее.о, Далее, (ь„— $)-~й, следовательно, 1Š— $(=й, что и доказывает существование требуемого элемента. Покажем, что 3 — единственный элемент в У с требуемым свой- ством. Пусть $ ~.'о и «е-в!=13-е)=й, Тогда (в силу задачи 3) ) $+ $ — 2$ 1«+ ( $ — $1» = 21$ — $ !з+ 2 ) $ — $ !~ = 4й«. Но ($+3- ~)'=4Ка+й-~~-4 '. Следовательно, ) ч — $)» = О, что и доказывает единственность «бли- жайшего» к $ элемента из У. 5 И ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО СЛУЧХИНЫХ ВЕЛИЧИН 291 Но 1! 5 —  — сь,',2 = 13 — $11+ сз ~! ~ (1 — 2 Я вЂ” В, с~). Поэтому с' ! ь 1' ) 2 (9 — $, сь). Возьмем с=).($ — $, ь), ) ~ Я.
Тогда из (22) получим, что (22) (9 — 9, ь)'!),1(9 1' — 2Ч=-О. При достаточно малых положительных Х Х')~ ~)' — 2Х < О. Поэтому (Б — 9, ь)=0, Бе=У. Осталось доказать представление (21). Множество Ж=У(т1„т)1, ...) является замкнутым подпростраиством в Ь1 и, следовательйо, само является гильбертовым пространством (с тем же самым скалярным произведением). Для этого гильбертова пространства Ж система т1„Ч„... является базисом (задача 4) и, следовательно, 9=1.!.т.
т,' Я, т1ь)т)„, А=1 (23) Но $ — $1 11», /г~1, а значит, ($, т)1,)=(9, 1)ь), Ф~О, что вместе с (23) доказывает (21). Теорема доказана. Замечание. Как н в конечномерном случае, $ будем называть пРоекцией 9 на Я =У(т1„т!м ...), 9 — 9 — пеРпенДикУлЯРом, а представление ~=1+й — 0 — ортогональным разложением. Величину 9 обозначают также М ($ (11„11„., ) и называют условным математическим ожиданием в широком смысле ($ относительно т1„т)„...). С точки зрения оценивании 9 по 1)„ч„ величина 9 является оптимальной линейной оценкой, ошибка которой й=ййя-~! =Л-3И=И) -Й (а.,п.
1=1 что следует из (5) и (23). )хокажем теперь, что $ — 9 1 9, 9 ~2. В силу (20) для любого сев)т ($ — $ — с9!1~15 — $1. 2З2 Гл и мАтемАтические ОсновАния теОРии ВеРОятностен 7. Задачи. 1. Показать, что если с= 1.!лп, $„, то ) 2„ 1-~1 ~!. 2. Показать, что если $ = 1.!лп.$„ и и = !З.п1.1!лл то ($„, 1!л)- — ($, ч). 3. Показать, что норма ! 1 удовлетворяет свойству «параллелограмма» ! $+ т! 1' + ! $ — !1 !» = 2( ! Е !» + ! 1! ~)» ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
