1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 53
Текст из файла (страница 53)
рз (1) = ~~~~~ — т~~~~Р+ о () 1) "), ич <р ьн 1пИ(()= Х ( (ч+о(~1~ ). (38) (39) ин (и Следующая теорема и ее следствия дают формулы связи люментов и семиинвариантов. Те о р ем а 6. Пусть $=(9„..., $ь) — случайный вектор с М ( $~ ("(оо„1=1, ..., й, п)!. Тоеда для всех ч=(ч„..., ть) с (т,'~п В л,'и ~у! Л"Ч ... Л'чи И $ (40) р=! ли>+ ~ лчи Хи~+, ЛМ где ~Х~ означает суммирование по всем упорядоченным 1и)ч ч хм~ наборам целых неотрицательных векторов Л<Р1, (Л~Р>('з О, даю- сцих в сумме вектор т, Доказательство. Поскольку Чн (1) = ехр (1и цн (1)), Сравнивая члены при (Р в правых частях (38) и (42) и учитывая, что ( Лм~ (+... + ) Лм ' ( = ( Л~ и+... + Л~ч> (, получаем формулу (40).
Далее, ии — 1 1~т~<ь При малых г справедливо разложение 1и (1+е) = ~~ ее+о (еч) ° е в=1 то, разлагая ехр по формуле Тейлора и учитывая (39), получим и / рч че рч(1)=1+ ~ —, ~, —,фР~ +о((1)"). (42) 1<~ю~р 3!О ГЛ и МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕП Применяя это разложение к (43) и приравнивая затем коэффициенты при (А с соответствующими коэффициентами в правой части (38), получим формулу (4!).
Следствие 1. Справедливы следующие формулы, связывающие моменты и семиинварнанты: к т<'! = У ' " М ( (А'Д>!'А ~! +"' к (44) ! — !!к (ч — !)! т! з!к!— У ',, х (Л'"!)" ". (Л'"'!)' (, М!~+ +, А~к! Х Ц (пфсяф, (45) А=! где ,У, означает суммирование по всем неупорядо- (~!М" +,. + к„х' ' =к) ченным наборам различных целых неотрицательных векторов Ао!, !Лп!!- 0 и по всем упорядоченным наборам целых положительных чисел г таким, что г!Л!Т)+...+г„Л!к!=т. Для доказательства (44) предположим, что среди векторов Л"!, ..., ЛЫ!, участвующих в формуле (40), г; векторов равны Л!'1, ..., гк векторов равны Л( ) (г,'- О, гТ+...+г„=д), прид! чем все векторы Л( !1 различны.
Существует ровно разг!! !к! личных наборов векторов, совпадающих с точностью до порядка с набором (Л!Т!,..., Л<е!). Но если два набора, скажем, (Л!!!,..., Лии) и (А!Т!, ..., Л!е!), отличаются лишь порядком, то Ц ф ~'! = р=! к = Ц з!А'~'!. Поэтому, отождествляя наборы, совпадающие с точр=! постыл до порядка, из (40) получаем (44). Аналогичным образом из (41) выводится формула (45).
Следствие 2. Рассмотрим тот ~астный случай, когда т= = (1...,, !). В этом случае моменты т~и! —= М$! ... $А и соответствующие семиинварианты будем называть простыми. Формулы связи простых моментов и семииивариаитов получаются из приведенных формул. Однако их удобнее записать подругомуу. Для этого введем следующие обозначения. Пусть Е= (Е„..., ЕА) — рассматриваемый вектор„УЕ= (1, 2, ... ..., й) — множество индексов компонент этого вектора. Если 1 С== = !ы то через $! будем обозначать вектор, состоящий из тех з>! 2 12 КАРАктеРистические Фуг!кции компонент вектора Е, индексы которых принадлежат 1. Пусть )((1) — вектор ()(1, ..., )(„), у которого у>= ), если г'ее 1, и )(! =О, если ! Ед1. Эти векторы находятся во взаимнооднозначном соот- ветствии с множествами 1 = 12, Поэтому обозначим !п (1) =п>12>!» 5 (1) =5!2!»> $ Иначе говоря, те(1) и 52(1) являются простыми моментами и семиинвариантами подвектора $! вектора $.
Далее, назовем разбиением множества 1 неупорядоченный набор непересекающихся непустых множеств 1, такой, что ~~ 1р — — 1. С )четом этих обозначений имеют место формулы п>г(1) = ~ П 52(1р), (46) ! =! Р=! Р р=! (1) = ~~~ и( — !)2 ! (17 — !)! И П>2 (1Р). ~; 1 =! р=! Р р=! (47) 5! = >П! = ййа 52 = >Пг >П! = ггег 55 =>пг — З>П!!Пг+ 2ПТ>, 54= т — Зт! — 4т>>П + ! 2тг!т., — 6П>г>, (49) Для доказательства представления (46) обратимся к формуле (44). Если У=)((1) и Л>!>+...+Л>2>=У, то Л>Р>=>((1р), !„с:-1, все Л!Р> различны, Л!Р>! > и! = ! и каждому неупорядочейному набору (Х (1!), ..., у (12)) взаимнооднозначно соответствует раз- биение 1= ~ 1Р. Следовательно, из (44) следует (46).
Р=> Аналогичным образом из (45) выводится справедливость пред- ставления (47). П р и м е р 1. Пусть е — случайная величина (й = !) и т„= = п>-'" =М$", 5 =5;"'. Тогда из (4О) и (4!) получаем следующие формулы: >П! = 5!г >П2 52+ 51 Из = 5, + 35,5, + 5, (48) пгг —— 51 + 352 + 45!52 + 65!52+ 51, 312 Гл н мАтемАтические ОснОВАния теОРии ВеРОятнюстен Пример 2. Пусть Е АА'"(т, о«).
Поскольку, согласно (9), 1«0« 1п 1ре (() = 12т— Отсюда следует, что для всех и- 1 з„= Х. (50) Пр имер 4. Пусть $=(',„..., «») — случайный вектор. Тогда п11(1) =ЕЕ(1), тт(1, 2) =ЕЕ(1, 2)+э;(1)зе(2), шт(1, 2, 3) =з»(1, 2, 3)+зе(1, 2)зт(3)+ +зе(1, 3) «(2) + +з«(2, 3) ЕА(1)+з»(1) зе(2) зе (3) (51) Эти формулы показывают, что простые моменты выражаются через простые семиинварианты весьма симметричным образом. Если положить $1=$»=...= — $», то из них получатся, конечно, формулы (48). Из (51) становится понятным «групповое» происхождение коэффициентов в формулах (48). Из (51) следует также, что зе (1, 2) = те (1, 2) — т«(1) т«(2) = М$14« — М$»М; „(52) т.
е. ЕЕ(1, 2) есть не что иное, как ковариа1(ия случайных велиЧни $1, Е«. 9. Пусть $ — случайная величина с функцией распределения Р = г (х) и характеристической функцией «р (1). Предположим, что существуют все моменты т„= М$», п)1, то в силу (39) з, п«, з,=о' и все семиинварианты, начиная с третьего, равны нулю, т. е. Е„=О, л- 3. Заметим, что в силу теоремы Марцинкевича функция вида ехр «Рь(1), где «Р(1) — полином, может быть характеристической только в том случае, когда степень этого полинома не больше двух. Отсюда, в частности, вытекает, что гауссовское распределение является единстеенны»1 распределением, обладающим тем свойством, что все его семиинварианты з„начиная с некоторого номера, обращаются в нуль. Пр имер 3. Если $ — пуассоновская случайная величина с параметром ).
О, то, согласно (11), з(з О и. хлгхктвгистическив аункции ~ х»((Р(х) = ~ х" ((б (х). (53) Спрашивается, вытекает ли отсюда совпадение функций Р и (»р Вообще говоря, ответ на этот вопрос отрицательный. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим распределение Р с плотностью 1(х) = Фе-"", х ) О, О, х==О, где с()0, 0(Л -1/2, а константа )( выбрана из соображений нормировки ~г (х) ((х = 1. о Обозначим [) =а(йЛп, и пусть с-(х) =0 для х =.0 и д(х) =де-"" [1+аз(п(рхх)], ~е((1, х)0. Ясно, что и(х)~0.
Покажем, что при всех целых н=.О х»е а» 51п рх~ дх = 0 л о (54) Известно, что для р -0 и комплексных () с Йе())0 ~ Р-'е-о'и(= 'г("). о ое Положим здесь р= —, ()=а+(р, (=х~. Тогда а+( а /л+! ъ ()~ (а.'(З(»»Л ~х-1 ((х— о =Л~ х»е-(а+а '((х — Л) х»е-а 'сов нхас(х— „'о о ОЭ Г/"+1) — рд~х»е-а» з(п [)хх((х= ( ' l . (55) »+( --(' о а х ((+ЙдАя) ь Из теоремы 2 следует, что характеристическая функция однозначно определяет распределение вероятностей.
Поставим сейчас следующий вопрос (единственность проблемы моментов); однозначно ли определяют моменты [т»)ам( распределение еероятнсстейр Точнее, пусть г" и 6 — две функции распределения, у которых все мо( енты совпадают, т. е, для всех целых н)О 314 гл. и. мАтемАтические ОснОВАния теоРии ВеРОятнОстей Но л+1 л+! л-1- ! (1+!(ЕЛН) " =(созЛН+1з(ЙЛН) '" (созЛН) л+1 л+1 = е'л! +'! (Сох Лп) ' = сох п (а + 1) соз (Лп) поскольку е(п и (и+ 1) = О. Тем самым правая часгь в (55) является действительной и, значит, при всех целых аз:О справедлива формула (54). Возьмем теперь в качестве б (х) функцию распределения с плотностью д(л).
Тогда из (54) следует, что у функций распределения Р и П все моменты совпадают, т. е. для всех целых и ~ О справедливы равенства (53). Приведем теперь некоторые достаточные условия, обеспечиваю!дне единственность проблемы моментов. Теорема 7. Пусть Р=Р(х) — функция распределения и рл= ~ )х!лс(Р(х).
Если 11л 1нп —" (56) л со то л!оменты (т„),»1, еде т,— — ) хлс(Р(х), однозначно определяют функцшо распределения Р = Р (х). Доказательство. Из (56) и утверждения 7) теоремы 1 СЛЕДУЕТ, Чта НайДЕтСЯ таКОЕ !В)О, Чта ДЛЯ ВСЕХ ~Г',-=(л ХаРаКтЕ- ристическая функция !р(!)= )еол!(Р(х) представима в виде (и)" !р(!) = ~х, —,, тл А=О и, следовательно, моменты (тл)„», однозначно определяют значение характеристической функции Ч (!) для всех ,'!, '1,. Возьмем точку з с ~а~ =1,)2. Тогда из (56), так жг как и при доказательстве (15), показывается, что для всех 1 — е((!л !р (!) = Х !р!"! (В) Ас О где лл !р 1ы (з) = 1А ~ х "е" ЫР (х) однозначно определяется по моментам (и„)„» !. Следовательно, з эти моменты определяют однозначно !р(1) для всех ((( =.— (л.
3!О $ и. ХАРАктеРистичзскив Функции — (мл )~~ 1пп вп (57) Для доказательства достаточно заметить, что нечетные моменты оцениваются по четным, и затем воспользоваться условием (56). П р и ме р. Пусть г (х) — функция нормального распределения, л и Е(х)= — ~ е "Ж. У2лол Тогда т,л„=О, т,л= — л,а'л и из (57) следует, что эти мо(2л)) менты являются моментами только нормального распределения. Приведем в заключение (без доказательства) Критерий Карлемана единственности проблемы моментов.
а) Пусть (т„)„в,2 — моменты некоторого распределения вероятностей, причем Х,. (л22л) л л=О Тогда они определяют распределение вероятностей однозначно. Ь) Если (т„)„~, — моменты распределения, сосредоточенного на [О, оо), то для однозначности достаточно потребовать, чпюбы л=О 10. Задачи. 1. Пусть $ и 2) — независимые случайные величины, ~(х) =), (х)+ фл (х), и (х) = д„(х) + 1ал (х), где (А (х), дл (х) — борелевские функции, й = 1,2.
Показать, что если М ! 7 (5) ( < со М (д ($) ( < оо, то М)) ($)и(2))(<со МИ)й(2)) =М~Ж Мй'(2)). Продолжая этот процесс, убеждаемся в том, что (т„)„~2 определяют однозначно ф(() при всех (, а значит, и функцию распределения г" (х). Теорема доказана. Следствие 1.
Моменты однозначно определяют распределение вероятностей, сосредоточенное на конечном интервале. Следствие 2. Для единственности проблемы моментов достаточно, чтобы 316 ГЛ и МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТИОСТЕЯ 2. ПУСТЬ $ = Д„..., $л) И (т( й $ !! л ( СО, ГДЕ !) $ й = + ~/ ~ Ц. Показать, что л сгт (!) = ,~ ~, М (1, 3У" + е. (!) !) ! )! ", где 1=((н ..., (л) и е„(с) — «О, 1-«0. 3. Доказать теорему 2 для л-мерных функций распределения Р=Рл(х„..., хл) и 6=6„(х„..., хл). 4, Пусть Р =Р(х„..., хл) — п-мерная функция распределения, ср = ср ((и ..., 1„) — ее характеристическая функция. Используя обозначение (3.
! 2), установить справедливость формулы обраптения с л Р(а, Ь)=1!Тп — „Щ' л А ' А Аса((,...(~)с(г,...йм — с ААН (Предполагается, что (а, Ь! является интервалом непрерывности функции Р(а, Ь1, т. е. при всех й=1, ..., и точки ас, Ь„являются точками непрерывности маргинальных функций распределения Р„(х*), полученных из Р(х„..., хл), если положить все пеРеменные, за исключением хм Равными +ОС.) 5. Пусть ср„(1), й.= 1, — характеристические функции, а неотрицательные числа АА, й=:1, таковы, что ~ АА=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
