1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 51
Текст из файла (страница 51)
4. Пусть Я„..., 2„) — семейство ортогональных случайных величин. Показать, что для них справедлива «теорема Пифагора»: л '! л б. Пусть п„«1,„... — ортонормированная система и У= =У(«)„т(„...) — замкнутое линейное многообразие, порожденное 1!1, т(„.... Доказать, что эта система является базисом для (гильбертова) пространства,Ж. 6. Пусть $1, $„... — последовательность ортогональных случайных величин, 5„=$!+...+$„. Показать, что если ~', Мй-', «ОО, л=! то найдется такая случайная величина 5 с М 5' ( ОО, что 1.! лп.
5„=- = 5, т. е. 15„— 5!'=М ~ 5„— 5,"-эО, а- со. 7. Показать, что в пространстве Т.»=1.»(! — и, и], Л(! — и, л))) Г 1 с мерой Лебега р система функций ! е'Ал, и=О,.+.1,...1Сбра г 2л зует ортонормированиый базис. 2 12.
Характеристические функции 1. Метод характеристических функций является одним из основных средств аналитического аппарата теории вероятностей. Наиболее ярко зто будет продемонстрировано в гл. П! при доказательстве предельных теорем и, в частности, при доказательстве центральной предельной теоремы, обобщающей теорему Муавра— Лапласа. Здесь же мы ограничимся определениями и изложением основных свойств характеристических функций. Прежде всего сделаем одно замечание общего характера. Наряду со случайными величинами (принимающими действительные значения) теория характеристических функций требует привлечения комплекснозначных случайных величин (см.
п. 1 2 5). Многие из определений и свойств, относящихся к случайным величинам, легко переносятся и на комплексный случай. Так, математическое ожидание Мь комплекснозиачной случайной величины Ь= $+!т! считается определенным, если определены матема- З и хкекктнгистичнскиа фэнкции 293 тнческне ожидания М5 н МЧ. В этом случае по определению полагаем МЬ" = М~ -(- (МЧ. Из определения 5 (~ 5) независимости случайных элементов нетрудно вывести, что комплекснозначные величины ь(=ь(+(Ч„ь,=з,+(Ч( независимы тогда и только тогда, когда независимы пары случайных величин (С„Ч,) и (~„Ч,), или, что то же самое, независимы о-алгебры .Уы.ч, и Уы,ч,.
Наряду с пространством 1.' действительных случайных величин с конечным вторым моментом можно ввести в рассмотрение гильбертово пространство комплекснозначных случайных величин ь = = $+(Ч с М! ь("(оо, где ~ ь~'=Г+Ч', и скалярным произведением (~„("„) =МЩ, где ье — комплексно-сопряженная случайная величина. В дальнейшем как действительнозначные, так и комплекснозначные случайные величины будем называть просто случайными величинами, отмечая, если это необходимо, о каком конкретно случае идет речь.
Условимся также о следующих обозначениях. При алгебраических операциях векторы а ен й«будут рассматриваться как вектор-столбцы, -В а ૠ— как вектор-строки, а*=(а„..., а„). Если а, Ь ен(«(«, то под нх скалярным произведением (а, Ь) будет пониматься величина « Я а(Ь(. Ясно, что (а, Ь)=а" Ь. (=( Если анна«и (к=(гу( — матрица порядка пха, то ((ча, а) =а«(ча ~ч~ гна(а(. (1) (,( 1 2. Определение 1. Пусть г"=с(хт, ..., х„) — п-мерная функция распределения в (?««, %(К«)). Ее характеристической функцией называется функция ф(1) = 1 е((( ма(р(х), 1 ~)с«, лл Определение 2.
Если $=($„..., $,) — случайный вектор, определенный на вероятностном пространстве (1),,У, Р) со зна- чениями в (к«, то его характеристической функиией называется функция (рз (() = ~ е( а «> с(рь (х), 1 ен 1(« (3) н« где Уз=Уз(хо ..., х,)-функция распределения вектора $ = =(з ", з? ЗЗ4 гл, и. ИАтемхтические ОснОВАния теОРии ВеРОятнОстеи Если функция Е(х) имеет плотность 7"=1(х), то тогда 1р (1) = ~ е1 11. «17 (х) 1(х.
Ла Иначе говоря, в этом случае характеристическая функция 1р(1) есть не что иное, как преобразование Фурье функции 7" (х). Из (3) и теоремы 6.7 (о замене переменных под знаком интеграла Лебега) вытекает, что характеристическую функцию 1рт(1) случайного вектора можно определить также равенством ф,(г) =Ма 11,41, 1~7(». (4) Приведем теперь основные свойства характеристических функций, формулируя и доказывая их лишь в случае и=1.
Некоторые наиболее важные результаты, относящиеся к общему случаю, даются в виде задач. Пусть 5=$(ьь) — случайная величина, ЕЕ=ЕЕ(х) — ее функция распределения и 1р (1)=Ме11е — характеристическая функция. Сразу отметим, что если т1 = а$+Ь, то 1р, (1) = МЬа1Ч = МЕН(ат+Ь) ЕНЬМЕ1а1Е Поэтому р~ (г) = е"ь рт (и() (5) Далее, если $„$„..., $„— независимые случайные величины и 5„=51+...+2„то раа (() = П рг, (1). 1=1 (6) В самом деле, 1рэ = МЕ" (11+ " '+ ьа) = МЕЛ1~ ...
Ента а а = Ме"'1 ... Ме"~а = П 1ра, (1), 1=1 где мы воспользовались тем, что математическое ожидание произведения независимых (ограниченных) случайных величин (как действительных так и комплексных, см. теорему 6 в $6 и задачу 1) равно произведению их математических ожиданий. Свойство (6) является ключевым при доказательстве предельных теорем для сумм независимых случайных величин методом харак. теристических функций (см.
й 3 гл. П!). В этой связи отметим, что функция распределения Рз выражается через функции распределения отдельных слагаемых уже значительно более сложным 296 гл и, м»там»тичвскив основ»ния твогии ввяоятноствп П р н м е р 3. Пусть $ — пуассоновская случайная величина, в — лх» Р (К я) , А О, 1, Тогда Мент= ~~ е™ вЂ” =е-» у — =ехр(Л(еи — 1)).
(1!) г~ е-ьх» кт !Лен)» »=-о »=ь ~р (() = МеаЬ вЂ” ее характеристическая функция. Имеют место следующие свойства: 1) /ср(!) /~~р(0) =1; 2) <р ф равнол»ерно непрерывна по г еигг; 3) ~р(У) =ср( — (); 4) ц (1) является действительнозначной функцией тогда и толька тогда, когда распределение р симметрично ( ~ с(р (х) —-- ~в = 1 аР (х), В е тв Ж) „— В = ( — х: х е В) у — в 5) если для некоторого п)1 М,'$!»(оз, то при всех г~п существуют производные <р~ю (Г) и ср" (1) = ~ (!х)' еа' йг-(х), щ !о) ! > (14) г=ь где (е„(() )«=.ЗМ )$!" и е»(1)-»-0, (-»-О.
6) Если существует и является конечной <р<»ю (0), то МР'( со. 7) Пусть М !$!" (со для всех п~! и 1пп( !~! ) = — <со и Я (! 3) 3. Как отмечалось в п. 1 3 9, с каждой функцией распределения в ()г, %(й)) можно связать случайную величину, имеющую эту функцию в качестве своей функции распределения. Поэтому при изложении свойств характеристических функций (в смысле как определения 1, так и определения 2) можно ограничиться рассмотрением характеристических функций ~р(() =~ьь(() случайных величин $=»ь(ю). Теорема 1. Пусть $ — случайная величина с функцией распределения Р=Р(х) и З (К ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 297 тогда при всех )1~«В (1) ~~~~ ~~ ) Мелл (15) л=в Доказательство.
Свойства 1) и 3) очевидны. Свойство 2) следует из оценки ! ср (1+ Ь) — ~р (1) / = ( Меае (е222 — 1) (-= М ! е 222 — 1 ( и теоремы о мажорируемой сходимости, согласно которой М(е АŠ— 1 р-иО, й — О. Свойство 4). Пусть Е с:" метрична. Тогда, если д(х) — ограниченная борелевская нечетная функция, то ~д(х) е(г" (х) =О (зал метим, что для простых нечетных функций зто следует сразу из определения симметричности Е). Поэтому ~ вйп (х ар (х) = О и, значит, 2р (1) = М соз (Е. Обратно, пусть ~рь (1) является действительной функцией. Тогда в силу 3) р ЕЯ= Ь( — ()=реЯ= р,Я, (~В Отсюда (как зто будет доказано ниже в теореме 2) следует, что функции распределения Р е и ет случайных величин — $ и совпадают, а значит (по теореме 3.1), Р ($ я В) = Р ( — $ ее В) = Р ($ ее — В) для любого В ~ Я()с). Свойство 5).
Если М($(л со, то в силу неравенств Ляпунова (6.28) М~5('(со„г п. Рассмотрим отношение Ф ((+Ь) — Р (О Мент (е(лз — () Поскольку (емх (( (х, и М($~ «-со, то по теореме о мажорируемой сходимости существует 1!ш Меиз(' — „'), равный 222 МЕ2Ц1ПП ~ ~=(М($вае)=1 ~ ХЕ"х2(Е(Х). (16) А О ОЭ 299 О 1е хАРАктеРистические Функции Поэтому ~ ХОЙЕР(х) ( — ~Р" (О) (сз. +са Пусть теперь 9"А~" (О) существует, конечна и ~ хллаг (х)(оо. Если ~ хл" дг(х)=0, то и ~ хлл"ОО(г(х)=0. Так что будем предполагать, что ~ хллт(г'(х) >О. Тогда, согласно свойству 5), Ч~(гм (1) $ ((х)ОА емл г(Р (х) и, значит, ( — 1)О<у~Ам(1) = $ емли(х), где 6(х)= $ ил" пг(и), Следовательно, функция ( — 1)" юр<ОИ (1) 6-' (со) является характеристической функцией вероятностного распределения 6 (х) 6-' (со) и по доказанному 6-"(со) ~ хОЮ (х)(оо.
Но 6-'(оо) > О, значит, ~ хОА Ос(г (х) = ~ хлг(6(х)(со. Свойство 7). Пусть 0(1О )с. Тогда, используя формулу Стирлннга, находим, что л! Следовательно, по признаку Коши ряд 1,— ~( — '- сходится, а значит, сходится и ряд ~ — „М$' для любого 1(~~с 14. НО (пу т=О в силу (14) для любого а~1 л Ч(1) =,~~Р—,~~ МУ+Р,(1)э г-О 3ОО Гл и мАтемАтические ОснОВАния теОРии ВеРОятностеи где ()«„(1))~3 —, М (5)л. Поэтому для всех )1)<'Я !р (1) = ~~~~~ — й/Ц' «О !р(О = ~) я, ~ х»е!»"г(г" (х)+ Р, ел(1 — в), (!9) где ! Е„(( — з) ( -= ЗМ ! Ел ! и е„(1 — в) -~ О, ( — в-»-0.
3 а меч а н и е 2. По поводу условия, фигурирующего в свойстве (7), см. также далее п. 9, посвященный вопросу сб «едннст. венности проблемы моментов». 4. Следующая теорема показывает, что характеристическая функция однозначно определяет функцию распределения. Т е о р е м а 2 (единственности). ('(х Пусть с и 6 — две функции распределения, имею!цие одну и ту же характеристическую функцию, т. е. для всех Г ее)« а-« а ~ еи' г(г (х) = ~ еил с(О (х). (20) Рис. 33. Тогда г (х) = — 6 (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
