1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Показать, что функция У', АА<РА (!) является характеристической. 6, Если ср (!) — характеристическая функция, то будут ли ке сг (!) и 1гп са (!) — характеристическими функциями? 7. Пусть сри ср„~р, — характеристические функции и ч,ср, = ч,ра. Следует ли отсюда, что <р,=ср,й 8. Составить таблицу характеристических функций для распределений, приведенных в табл, 1 и 2 3 3. 9, Пусть $ — целочисленная случайная величина и сре(!) — ее характеристическая функция.
Показать, что (» (~ = Ь) = —, — ~ е-*м <р-, (Г) й, й = О, «1, «2 ... $13. Гауссовские системы 1. Гауссовские, или нормально распределенные, случайные величины, гауссовские процессы и системы играют исключительно вагкпую роль в теории вероятностей и математической статистике. Объясняется это прежде всего справедливостью центральной предельной теоремы (3 4 гл. П1), частным случаем которой яв- » 13 ГАуссоаские системы ляется теорема Муавра — Лапласа (й 6 гл 1).
Согласно этой теореме нормальное распределение носит универсальный характер в том смысле, что распределение суммы большого числа независимых случайных величин или случайных векторов, подчиняющихся не слишком стеснительным условиям, хорошо аппроксимируется этим распределением. Именно это обстоятельство дает теоретическое объяснение распространенному в статистической практике «закону ошибок», выражающемуся в том, что ошибка измерения, слагающаяся из большого числа независимых «элементарных» ошибок, подчиняется нормальному распределению.
Многомерное гауссовское распределение описывается небольшим шелом параметров, что является несомненным его достоинством при построении простых вероятностных моделей. Гауссовские случайные величины имеют конечный второй момент, и, следовательно, их свойства могут изучаться методами гильбертова пространства. Важным при этом оказывается то обстоятельство, что в гауссовском случае некоррелированность превращается в независимость, что дает возможность значительно усилить результаты «Е»-теории». 2.
Напомним, что (согласно Э 8) случайная величина ~=5(«В) называлась гауссовской или нормально распределенной с параметрами и и о»($ е«" (т, о')), )гп ~ ( со, о») О, если ее пло«ность ~ь(х) имеет следующий вид: м — ти )ь (х) = , . е (1) р'2;; о где о= +)/о'-'. При о ~ 0 плотности )ь(х) «сходятся к б-функции, сосредоточенной в точке х=л«». Поэтому естественно сказать, что случайная величина $ нормально распределена с параметрами т и о'=0 ($- ВЕ" (т, 0)), если $ такова, что Р (5=т) =1. Можно дать, однако, такое определение, которое сразу будет охватывать как нееырожденный (о«) 0), так и вырожденный (о' = 0) случаи.
С этой целью рассмотрим характеристическую функцию Ге» (() †= Мен«, 1 е= й. Если Р Я=и) =1, то очевидно, что ГР (() Еэн (2) а если $- »«' (и, о«), о») О, то, согласно (!2.9), Ра' «рь (0 = е (3) Легко видеть„что при о'=0 правая часть (3) совпадает с правой частью (2). Отсюда и из теоремы 1 5 12 следует, что гауссовскую случайную величину З с параметрами т и о» (!т!(Со, о'.=-0) можно определить как такую величину, для которой характе- 3!8 ГЛ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ ристическая функция фе(1) задается формулой (3). Подход, основанный на привлечении характеристических функций, особенно удобен в многомерном случае.
Пусть $=($„..., с„) — случайный вектор и (1) Мг((1 е1 1 (1 1 ) е- )?ь (4) — его характеристическая функция (см. определение 2 в 8 )2). Оп ределение !. Случайный вектор $=($„..., $„) называется гауссовским или нормально распределенным, если его характеристическая функция фь(1) имеет следующий вид; 1 (р. (1) = е (5) где т=(т,„..., т„), ((тА~(оо и ь:= ((гл(~! — симметрическая неотрицательно определенная матрица порядка пхи (для краткости будем использовать обозначение: $ Ф (т, )?)). В связи с данным определением возникает прежде всего вопрос о том, а является лн функция (5) характеристической? Покажем, что это действительно так, С этой целью предположим сначала, что матрица Й является невырожденной.
Тогда определены обратная матрица А = )?-1 и функция 1(х) = „„„ехр ( — — (А (х — т), (х — т)) ~, (6) где х=(х„..., х„), (А(=((е! А. Эта функция является неотри- цательной. Г)окажем, что г((1 "' )(х)((х=в'(с ( а (о(л), Нь или, что то же, А рп — — ()?1, 1) ! 1 = ~ в((1 "-"> ~ ' — я("("-"'» (х- »((х=в (Зп)та в ль Сделаем в интеграле замену переменных х — т=Ои, 1=Оп, где (о — ортогональная матрица такая, что 5 12. ГАУССОВСКИЕ СИСТЕМЫ вЂ” диагональная матрица с с(с ) 0 (см.
доказательство леммы в 8 8). Поскольку )й)=де1КФО, то с(с)0, 1=1...,, л. Поэтому ) А ) = ) Я ' ) = с(! '... ос„!. Далее (см. обозначения п.1 9 12) 1(Г, х — т) — — (А(х — т), (х — т)) 1 1 =!(сгсо, Ви) — — (Айи, гбси) ! (е о)'сс и — — (се и)*А (сели) (8) = (о и — — иеОе Асс!и = !о и — — и 0-'и.
! 1 з 2 Вместе с (8) и (12.9) это дает 1,= еси и — — и о-~и с(и = л (З )лС2 (й й )!С2 л и» елее .И.сз л,) с 3 2=1 ОЭ е=! 1 ! 1 1 — — е'Ое — — Е "фифе — — Сей! — — ((21, С) ла ' Га ' * эв ' =а является характеристической: сре (1) ~ е'!' л! с(Ре (х), Ял где Ге (х) = Ее (х„..., хл) — и-меРнаЯ фУнкциЯ РаспРеДелениЯ, При е-1-0 1 !ре(1) ~ср(1) а 2 ( ') Из (6) следует также, что ') )(х)с(х 1, (9) сел Таким образом, функция (5) является характеристической функцией п-мерного (иевырожденного) гауссовского распределения (см. п. 3 з 3). Пусть теперь матрица ск вырожденная.
Возьмем е)0 я рассмотрим положительно определенную симметрическую матрицу Р =!к+ЕЕ. Тогда по доказанному функция сил - — наес, с) ! сре (1) а 2 Зха ГЛ и МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ Предельная функция»р(() непрерывна в нулевой точке (О,..., О). Поэтому, согласно теореме 1 и задаче 1 из $ 3 гл. П1, она является характеристической. Итак, корректность определения 1 установлена. 3. Выясним смысл вектора т и матрицы Й=!!г»,!1, входящих в характеристическую функцию (5). Поскольку 1 .Ът 1 1п>р>(1)>((т)(11>1)>7(»т»йэг»>(»1>(10) »=! »,>=! то из (12.35) и формул связи моментов и семиинвариантов находим, что т, з,п,о...,о> Мгь т„в !о, ....о, » ййьг, Аналогично гн в >г, о, ..., о> (3» ! !.
>, о ... > ! (ь и вообще гм=оОЧ Д», $!). Таким образом, т есть вектор средних значений $, а к — матрица ковариаций. Если матрица (ч невырожденная, то к этому результату можно было бы прийти и иначе. Именно, в этом случае вектор $ имеет плотность )(х), задаваемую формулой (6). Тогда прямой подсчет показывает, что М$» =— ~ х»)(х) йх=т„ (1 !) СОР (гь», ьг!) = $ (х» — т») (х! — и> 1) (х) йх = гм. 4.
Обратимся к рассмотрению некоторых свойств гауссовских векторов. -Т е о р е м а 1. а) У гауссовского вектора некоррелированность его компонент эквивалентна их независимости; (>) вектор $=(~„..., 3„) является гауссовским тогда и только тогда, когда для любого вектора Л=(Л„..., Л„), Л» ~ )о, случайные величины (Е,Л) = ЛД, + ... + Х„Е„имеет гауссовское распределениее. Доказательство. а) Если компоненты вектора $=(е„...
..., Е„) некоррелированы, то из вида характеристической функции »>. (1) следует, что она является произведением характеристических функций л ро(() = И>ро,(1 ) »=! Поэтому в силу теоремы 4 3 12 компоненты $„..., $„независпг>ы. $ и, Гауссовские системы 881 Обратное утверждение очевидно, поскольку из независимости всегда следует некоррелированность. Ь) Если 8 — гауссовский вектор, то из (5) следует, что М ехр Я,Л, + ... + $„Л„)~ = ехр ~11(~ Льт~)— — —,"~,'Р"Л,Л,)~, 1 Я, и, следовательно, (з„Л) г (ХЛ~ты Х гыЛ~Л,). Обратно, гауссовость случайной величины Я, Л) =3,Л,+ ... + + $„Л„ означает, в частности, что Мень')=е ' ' з =е й 'м аь м — вавы ~ В х~мьа — -1- е хахов соч им зр В силу произвольности Л„... Л„и из определения 1 отсюда следует, что вектор $ =($„..., $„) — гауссовский, Теорема доказана.
Замечание. Пусть (8, 8) — гауссовский вектор с 8=(8„... ..., 8а), $ = Я„..., $~). Если векторы 8 и $ иекоррелированы, т. е. ооч(8ь Ц=О, 1=1, ..., л, 1=1, ..., 1, то они и независимы. Локазательс~во — то же, что и для утверждения а) теоремы. Пусть с = Я„..., $„) — гауссовский вектор, и для простоты будем предполагать, что .вектор средних значений является нулевым. Если гапу~~е г(п, то, как было показано в 8 11, существует ровно п — г линейных соотношений между величинами $о ..., в„. В этом случае можно счязат)о что, скажем, величины $„..., 5, линейно независимы, а все остальные через них линейно выражаются. Поэтому все основные свойства вектора с = Я„..., 8 1 определяются первыми г компонентами Я„..., $„), для которых соответствующая матрица ковариаций уже является невырожденной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
