1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 56
Текст из файла (страница 56)
ЗА; Е„..., с!) — гауссовский вектор с невырожденной матрицей Л = 0В — 0$0вм Показать, что у функ. ции распределения Р(а~а!,',)=Р(ОГ(а„..., звиад!ц) существует (Р-п. И.) плотность р(а„..., аА($), определяемая формулой р(а„..., аА !$)= ехр ~ — — (а — М (О ~ с)) *Л-' (а — М (9 ( В)ф 6. (С. Н. Бернштейн).
Пусть $ и т) — независимые одинаково распределенные случайные величины с конечной дисперсией. Доказать, что если $+т) и $ — Ч независимы, то $ и Ч являются гауссовскими велнчинами. ГЛАВА П! СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА $1. Слабая сходимасть вероятностных мер и распределений 1.
Многие из фундаментальных результатов теории вероятностей формулируются в виде предельных теорем. В форме предельной теоремы было сформулировано утверждение, названное законом больших чисел Я. Бернулли, зту форму имела теорема Муавра— Лапласа, с которых, собственно говоря, и началась истинная теория вероятностей. В настоящей главе мы остановимся иа двух основных аспектах теории предельных теорем: на понятии слабой сходимости и на методе характеристических функций, являющимся одним из самых мощных средств доказательства предельных теорем и их уточнений. Напомним для начала формулировку закона больших чисел (гл.
1, й 5) в схеме Бернулли. Пусть $м $м ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с Р(3;=1) =р, Р Д;=О) =~1, р+д=1. Используя введенное в З 10 гл. П понятие сходимости по вероятности закон больших чисел Я. Бернулли можно сформулировать в следующей форме: — р~ (1) Г „(х)=Р ( — '" ~х~, 1, х=.- р, Р (х) = О, х<р (2) где 5„ = $,+ ... + $„.
(В гл. 1Ч будет показано, что на самом деле здесь имеет место и сходимость с вероятностью единица.) Обозначим 3'9 $1 слАБАя сходимость где Р(х) — функция распределения вырожденной случайной вели- чины $ — = р. Пусть также Р„и Р— вероятностные меры на ()(, Ю()т)), отвечающие функциям распределения Р„и Р.
В соответствии с теоремой 2 из 9 10 главы П сходимость по вероятности — — р влечет за собой сходимость по распределению ~л Р и — — р, означающую, что Лл е Мс ( — ") -~ М) (р), и — л. со, (3) для любой функции )=)(х) из класса С()т) непрерывных ограни- ченных функций на )т.
Поскольку М~! — ') = ~ 1(х) Рл (йх), М)'(р) = ~ ) (х) Р (ах), то (3) можно переписать в форме ~ ) (х) Р„(йх) -л. ~ ) (х) Р (Нх), ) ~ С (й), или (в соответствии с обозначениями 9 б гл. 11) — в форме ~)(х)йР„(х)-+ ~((х) аР(х), ) Б=С()с). (5) В анализе сходимость (4) называют слабой сходимсстью (мер Р„ к мере Р, п-+со) и записывают в виде Рл-"-Р. Есчественно и сходимость (5) также назвать слабой сходимостью функций распределений Р„ к Р и обозначить ее Р„ — Р.
Итак, можно утверждать, что в схеме Бернулли — '" -'- р =:э Р„-"-.Р. (6) Из (1) нетрудно также вывести, что для функций распределения, введенных в (2), Р„(х) -+ Р (х), и -л. со, для всех точек хе=)т за исключением одной точки х=р, где функция Р(х) терпит разрыв. Это обстоятельство показывает, что слабая сходимость Є— Р не влечет за собой поточечную сходимость функций Р„(х) к Р(х), и- со, для всех точек хек)т. Оказывается, однако, что как в случае схемы Бернулли так и в общем случае произвольных функций распределения, слабая сходимость эквивалентна (см. далее теорему 2) так называемой сходимости в основном в смысле следующего определения.
ззо Гл. и1, сходимость веРоятностных меР Определение 1. Последовательность функций распределения (Р„), заданных на числовой прямой, называется сходящейся в,основном к функции распределения Р (обозначение; Р„=:зР), ЕСЛИ ПРИ а-+ОО Р„(х)-+Р(х), х~ С(Р) где 5 (Р) — множество точек непрерывности предельной функции Р=Р(х). В рассматриваемом случае схемы Бернулли функция Р=Р(х) вырождена, н отсюда нетрудно еывестн (см. задачу 7 к З 10 в гл.
1!), что (Р„=:ьР) =«1 — '„" -' р') Таким Образом, с учетом приводимой ниже теореь1ы 2 / 5 ( ~" — р '.=з(Є— Р) О~ (Р„--зР) =:з ~ 5„" — р' (7) и, следовательно, утверждение закона больших чисел можно рассматривать как одну из теорем о слабой сходимости функш1й распределений, определенных в (2). Обозначим Р„(х)=Р( ", .=-х~, 1 )' прд к м 1 с Р(х)= —, ~ е 'Ии, уз..- .) (8) Теорема Муавра — Лапласа Я б гл. !) утверждает, что Р„(х)-+ Р(х) для всех х ен)т и, следовательно, Р„=ОР.
В силу отмеченной эквивалентности слабой сходимости Є—.Р и сходимости в основном Р„~ Р можно, следовательно, сказать, что теорема Муавра — Лапласа есть также утверждение о слабой сходимости функций распределений, определенных в (8): Эти два примера оправдывают концепцию слабой сходимости вероятностных мер, вводимую далее в определении 2. Хотя для случая числовой прямой слабая сходимость равносильна сходи- мости в основном соответствующих функций распределения, предпочтительнее, однако, в качестве исходной рассматривать именно слабую сходимость, во-первых, потому что она проще поддается анализу, и, во-вторых, по той причине, что она имеет смысл и для более общих пространств, нежели числовая прямая, в частности для метрических пространств, ваигнейшими примерами которых для нас являются пространства )с", )т, С и 0 (см. $ 3 гл.
11). 2. Пусть (Е, Ж, р) — метрическое пространство с метрикой р=р (х, !1), о-алгеброй О борелевских подмножеств, порожденных зз! $ ь сллвхя сходимость открытыми множествами, и пусть Р, ЄЄ...-вероятностные меры на (Е, 6. р). О п р е д е л е н и е 2. Последовательность вероятностных мер (Р„) называется слабо сходяи!ейся к вероятностной мере Р (обозначение: Є— Р), если ~)(х) Р„(дх)-~ ~)(х) Р (дх) (9) для любой функции ! =1(х) из класса С (Е) непрерывных ограниченных функций на Е. Определение 3, Последовательность вероятнсстных мер (Р„) называется сходяи!едся в основном к вероятностной мере Р (обозначение: Р„=:> Р), если Р„(А) -э Р (А) (10) для тобого ьшожества А из 6, для которого Р(дА) =О. (1 !) (Через дА обозначается граница множества А: дЛ =.!Л! Д !А1, где !А! — замыканле множества Л,) Следующая важная теорема показывает эквивалентность понятий слабой сходимости и сходимссти в ссновном для вероятностных мер, а также содержит другие равносильные формулировки.
Теорема 1. Следующие утверждения эквивиленпты: 1. Р„--Р. 11. !пп Р„(Л) ( Р (А), А — замкнутые л~ножеипва, !11. 1ппР„(Л) ~Р(А), А — открытые множества. !Ч. Р„==э Р. где р (х, А) = 1п1 (р (х, у) ! у ен А), 1, ! О, д(!)= 1 — ! О ! О, 1~1. До к аз а тельство. (!).=э (!1). Пусть А — замкнутое множество, ) (х) = 1л (х) и )е (х) =у( р (х~ А))~ а >О, 332 гл. пь-сходимость вееоятностиых мв Обозначим также А, = (х: р (х, А) ( а) и заметим, что А, ), А, а '! О. Поскольку функции (,(х) ограничены, непрерывны и Р„(Л) = ~ 7л(х) Р„(»(х) =- ~(, (х) Р„(»(х), и Е !о !!п)Р„(А) == (пп ~1„(х) Р„(»(х) = л = 1!'.
( ) Р (»( ) — Р (Л,) ~ Р (А), что и доказывает требуем)ю импликацию. Импликации (П) ==а (111) и (1! 1) =з (11) становятся очевидными, если от множеств перейти к их дополнениям. (1П) ~ (1Ч). Пусть Л" = А ОЛ вЂ” внутренность, а (А)— замыкание множества Л. Тогда в силу 11, 111 и предположения Р (дА) = О 1)гп Р„(Л) ~ !нп Р„((Л!).= Р ((А!) = Р (А), 1ип Р„(Л),.
1нп Р„(А') ~ Р (Л'! =. Р (А) л и, значит, Р„(Л) «-Р(А) для всякого Л с Р(ОА)=-О. (!»,') =Ф (1). Пусть,' =) (х) — непрерывная ограниченная функция с ~~(»), (М. Обозначим 0=((ен-": Р(х: У(х) =1) ФО) и рассмотрим разбиение Т„=(б«, 1,, ..., (ь) интервала ! — Мму!): — М=)~~(«~ ° ° ((л=М а- 1, с йф0, (=О, 1, ..., Ф. (Заметим, что множество 0 не более чем счетно, поскольку множества )«-'(1) не пересекаются, а мера Р конечна.) Пусть В; = (х: Г; -) (х) < 1„,).
Поскольку функция ! (х) непрерывная и, следовательно, множество ~-'((„Го,) открыто, то дВ, Й)-'(Ц()~ "(1;.„,). Точки 1ь 1,, ф О, позтому Р(дВ;) =О и в силу (1»!) Ф вЂ” ! « †! ~(Р„(В,)- У 1Р(В,). «=-а с=а ззз 5 !. сллБАя сходкмость Но о — ! ) !' (х) Р„(ах) — ~ч , '!!Р„(В!) + Е ю=о !о †! +~ ~ !!Р(В;) — ~~(х)Р(йх) ~ о=о г ! ) ! (х) Р„(с(х) — $ 7 (х) Р (дх) ~ ч-- е в !ь-! о-! +1 'У, '!!Р„(В!) — 'У, '!!Р (В!) с=о !=о ь †! л †! =2 !пах (1„,— !)+ ~ (,Р„(В;) — ~ !Р(В;), откуда в силу (12) и произвольности разбиений Т„, у~1, 1!гп ~ !" (х) Р„(г(х) = ~) (х) Р(ах).
И в Теорема доказана. 3 а м е ч а н н е !. Участвующие в доказательстве импликацин 1 ==э 11 функции !" (х) .= 1„(х) и ), (х) являются соответственно полунепрерывными сверху и равномерно непрерывныии. Учитывая это обстоятельство, нетрудно показать, что каждое из" условий теоремы эквивалентно одному из нижеследующих условий: (У) ~ !' (х)Р„(йх) — я ~ ! (х)Р(йх) для всех ограниченных равное Е мерно непрерывных функкий ) (х); (У1) !пп ~~ (х)Р„(о(х) ~ ~! (х)Р (йх) для всех ограниченных в Е функаий 1(х), являющихся полунепрерывными сверху (!!п!)(х„).= ! и (~(х), х„— !-х); (Ч!1) 1!п! ~ 1(х)Р (дх)) !)(х)Р(о(х) для всех ограниченных л в е функ!!ий )(х), явлнощихся полунепрерывными снизу ('1!ш)(х„)- и ))(х), х„— х). Замечание 2, Теорема 1 допускает естественное обобщение на тот случай, когда вместо вероятностных мер Р и Р„, заданных на (Е, Ж, р), рассматриваются произвольные (не обязательно вероятностные) конечные меры р и р„.
Для таких мер совершенно аналогично вводятся понятия слабой сходимости и. — р, сходимости в основном р„=.з р и, так же как в теореме 1, устанавливается эквивалентность следующих условий: рп !1*. 1ппр„(А) -р(А), А — замкнутые мноисества, и р,(Е) — !- л )! (Е); Гл. »и сходимость веРоятностных меР П!". !!п»р„(А) ~р(А), А — открытые л»ножества, и ри(Е)-»- «.р (Е) и 1Ч«. )»„==з р,. Каждое из этих условий равносильно любому из условий Ч"', Ч!и, Ч11", формулируемых как и Ч, Ч!, Ч11 с заменой мер Р„и Р на р„ и р соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
