1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 60
Текст из файла (страница 60)
(4) Возьмем некоторое 1~ )т и будем считать его фиксированным на про»яженин всего доказательства, В силу разложений е»в = 1+»у+ —. в,у 2 у* в,!у,'» еьв 1+ (у + 2 3! Д о к а з атель ство. Без ограничения общности можно считать т,=О, 1~1. Обозначим ф»(1)=Меи», Т»=, "— = — ", 1 05» О» фв (1)=Моиз», ф, (!) Мент„ Тогда В е пвнтгхльнхя пгвдельихя твогвма (здесь мы воспользовались также тем, что, согласно предположению, тв= ~ хе(Рх(х) =0). Следовательно, о 42 1 — =- 1 — —.,— ~ хе 4(Рх (х) + Р») 20,' ео» + —, б,х'йРв(х)+ — '', ~ 0 ~х1ее(Р»(х). (5) 20» »в - ео„ 1»1 < еО„ Поскольку ! — О,х'4(Рх(х) (2 ) х'е(Рв(х)е ,' х 1-'" е О„ 1», ~) ео„ то 0,х' ОР„(х) 1к~ ео » где 6, =О, ((, )е, л) и 16,',( 1(2.
Точно так же = О, ~ хв 4(Рх (х), 1к1> ео в 041Х1'4(Р„(х) =.— ! 1 1»; с во» 1к1 еВ ~х в (Рв(х) 1х! С ео„ вЂ” еТ2„хе ЙР„(х), 1 1»1 с во справедливых для каждого действительного у с О, = О,(у), О,= 0,(у), такими, что (6,) ( 1, 1041 ~ 1, находим, что 1Рх (У) = Мелев = е' 4(Р»(х) ~ (1+((х+ "2 )4(Рв(х)+ — ОЭ 1х, ) ео 1ехе В 11х 14 + ~ (1+1(х — — -+ ' ~ (Рв(х)* 2 б к 1< ео, =. 1-- 2 б,х'4(Р» (х) — — ~ х'4(Рх(х) )' 1к, ~ ео„ 1 х , '< ео„ + — ~ 6, ! х," 4(Рх (х) , 'к1< во„ ЗО2 ГЛ. Н! СХОДПМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР и, значит, — О„,'ЧВ,(х) =Ое 1 .Олх (В,( ), !к!<еол ! к, <еол 1 л Тогда в силу (5) — (7) ~ = 1 — — +(еО Вл +'1!ееаеАл„= 1+С „.
(8) / ! ! !елее л Заметим, что л ~,' (А„л+В,„) =1 л=! (9) и, согласно условию (1), Вл„— е- О, и е- оо. е=! (10) Поэтому для достаточно больших а шах , 'Слл ! 1!ее -'г е',1!е !<е<л л '~~,,'С ! - !е ! е!1'е й=- ! (12) Воспользуемся теперь тем, что для любых комплексных чисел г с ! г, -- 1 1'2 !п(1+г) =г+О !г!', где О=О(г) с !О!(! и 1п обозначает главное значение логарифма. Тогда для достаточно больших п из (8) и (11) следует, что для достаточно малых е)0 !п !рл ( — ) = !п (1+ С!л) =С!!л+Олл! Сел!~! где О, = О, (1, Уе, п) и ! О, / ~ Положим теперь 1 Ал =— 1Эл х' е(Рл (х), ! !<еол х' «(ге (х). ! к ! ) ео л % 4. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА где ) 0«„(~1.
Следовательно, из (3) !« !« / — +1пгрг (г) = — + р 1пгр« ~ — ~ «=! Но и л )г А««1+(2 Х 0 ((, )г, п)В«„+ «=! «=! л +е~т,,ч У',0,((, )г, )А„л, и в силу (9), (10) для любого 6)0 можно найти столь боль- шое л, и е) О, что для всех гг~лл -'-+ ~ с, «=! Далее, в силу (11) и (12) ! и л ~Х~ 0„«',С„и," ==' !пах !!С«„! ~ )С,л! ~((ге«+е ~((л) (Рг+е ~(!«). «=-! г<«<л Поэтому для достаточно больших л за счет выбора а>0 можно добиться того, что ~, 0«и)С«л~~ и, следовательно, ( — +)п грт (() ~ ~ 6. Таким образом, для любого действительного г грг (()егчг — «-1, л — «со и, значит, гРР (() -г- е — нгэ, п -«. Оо. Теорема доказана.
2. Остановимся на некоторых частных случаях, в которых выполнено условие Линдеберга (1) и, следовательно, справедлива центральная предельная теорема. ГЛ. и!. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР а) Пусть выполнено «условие Ляпунова»: для некоторого б)0 У МД»-и!е~~+«- 0, и (»2+« ~ы (13) Пусть В)0, тогда М (х» и!» !»+» ~ !х п»е р+ «,(Р„(х)» ( х — Рле !'+ е е(Р» (х) =- (х; х!х — т ( ~ еп„) ~В«0п ~ (х — т»)е!(Ре(х) (" ~ и, значит, — (х — те)е т(Р» (х) !хе «= 1 (х; 'х-ые!)ео — М 1 $» — т»,'»+». е »=! Следовательно, «условие Ляпунова» обеспечивает выполнение «условия Линдеберга>. (!) Пусть $„$„...— независимые одинаково распределенные случайные величины с т=М«! и дисперсией 0(о»= — 05,(ОО.
Тогда — (х — т ~е!(Р»(х) = Ре » = 1 ( х: , 'х — ~е ! ) еп — — ) х — и (е е(Р! (х) -» О, (х! , 'х — т ! ) ее* Уа ~ $» ) ~ К с." оо, где К вЂ” некоторая постоянная, и Р„-ь. Оо, и-+ со, поскольку (х! )х — т(= еое~lи) (, ф, и — »ОО, ао»=М !!$ -т!»(ОО.
Таким образом, «условие Линдеберга» выполнено и, следовательно, теорема 3 из 5 3 вытекает из доказанной теоремы 1. с) Пусть $„$„...— независимые случайные величины такие, что для всех ир: 1 355 Ь 4 ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА Тогда из неравенства Чебышева ! х — т» ~»с(Р»(х) =М(Д» — и»)»! (15» — гп»11~ го„Я =. (и 1 х — и 11 Гл еол) о' =:=: (2К)' Р ',~ с» — т» ~ ~ Е0л) — (2К)' —,», е Рл и, значит, 1 ъ1 — 1х — т» "4(Р»(х) ==, .„- О, с,, 12к> л »=-1 (х.
'х — и ) ЕО ) 1 »1,— М5» гпах Р «~" . ~)е~- О, и — со. 1~»~л (14) Псскольку л — (х-") дР.()- Р,', ел »=1 (х; (х — и ~) еол) л )е' ~ Р(~$» — т1,~~Ю„).— ее гпах Р(~В» — т»1)еТ1 ), 1<»<л то из условия Линдебсрга вытекает условие (14). Вместе с теоремой 1 это показывает, что условие Линдеберга дос~аточно для выполнения центральной предельной теоремы и условия асимптотической малости.
Следующая теорема, приводимая без доказательства, показывает, что условие Линдеберга является и необходимым. Т е о р е м а 2. 1Тусть $„$„„. — последовательность независимых случайных величин с конечным вторым моментом. Условие Линдеберга (1) является необходимым и достаточным для (2) и (14). Замечание 2.' Пусть Т„= " ' и Рг (х)=Р(Тл(х). лл М~л Тогда утверждение (2) означает, что д.ля всякого хан Я г" г (х) -+ Ф (х), и -+ со. Следовательно, снова выполнено условие Линдеберга и, значит, справедлива центральная предельная теорема. 3. Заме чан не 1. Условие Линдеберга достаточно для справедливости центральной предельной теоремы. Оказывается, что при некотором дополнительном условии (асимптотической малости 5» — Мей»1 величин л») условие Линдеберга оказывается и необходимым.
Рл Будем говорить, что величины ', 1 «й=п, аз л 1, асима- $» — Ме» патически малы, если для любого е)О зьв Гл, !ц сходимость аеноятностных меР Поскольку функция Ф(х) непрерывна„то на самом деле сходнмость здесь равномерная (задача 6 в й 1): знр ~Гг (х) — Ф(х)~- О, и- со. ХЕ Я В частности, отсюда следует, что Р(5 х) Ф( /з )-+О и — ~со. Э!о утверждение часто выражают словами, что при достаточно большом и величина 5„примерно нормально распределена со средним М5„и дисперсией 0'„= — 05„.
3 а и е ч а н и е 3. Поскольку в соответствии с предыдущим замечанием сходимость Рг (х)-~Ф(х), и — !.со, равномерна по х, то естественно поставить вопрос о скорости сходимости в (16). В том случае, когда величины с„Е„... независимы, одинаково распределены и М($! ~'«.со, ответ на этот вопрос дается неравенством Берри — гессена: р~г, <,>-о(,>~~с~Л.=Жь-', (16) где абсолютная константа С такова, что = «С С 0,8. ! )/ йй Важно подчеркнуть, что без дополнительных предположений о природе суммируемых случайных величин порядок оценки (16) не может быть улучшен (см.
задачу 3). 4. Задачи. 1. Показать, что в доказательстве теоремы 1 в самом деле без ограничения общности можно считать тв= О, й) 1. 2. Пусть $„с„... последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с М$„=0, и~1, и 0$!=1, 0й =2"-', А)2. Показать, что в этом случае условие Линде- берга не выполнено, но в то же самое время центральная пре- дельная теорема (2) справедлива. 3. Показать, что в схеме Бернулли величина знр )Рг (х)— в 1 — Ф(х) ~ имеет порядок =, л — «со. )/и ' 4, Пусть $т, 5м ...— последовательность независимых одина- ково распределенных случайных величин с М$!=О, МЦ= 1.
Пока- жите что шах !1 — ... =) — 0 л-!- оо, /! 11! ! $л В в ! у-) г % Е БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 5 5. безгранично делимые н устойчивые распределения 1. В 5 3 отмечалось, что для формулирования теоремы Пуассона приходится прибегать к рассмотрению так называемой схемы серий, считая, что при каждом п.--1 задана последовательность независимых случайных величин (Э„,А), 1(Й(п, Положим Т„=$„,,+...+$„„, п)1. Понятие безгранично делимого распределения возникает в связи со следующим вопросом: как охарактеризовать все те распределения, которые могут выступать в качестве предельных для последовательности распределении случайных величин Т„, п)1? Вообще говоря, при такой общей постановке вопроса предельное распределение может быть произвольным. Действительно, если $ — некоторая случайная неличина и 5„,, = $, Е„,А =О, ! ( ( й ~ и, то Т„ = с и, следовательно, предельное распределение совпадает с распределением $, которое может быть взято произ.
вольным. Чтобы сделать задачу о предельных распределениях более содержательной, будем всюду в этом параграфе предполагать, что при каждом и- 1 величины $„н ..., 5 „не только независимы, но и одинаково распределены. Напомним, что именно такая ситуация имела место в теореме Пуассона (теорема 4 из Э 3). К этой схеме относится и центральная предельная теорема (теорема 3 из э 3) для сумм о„=с,+... ...-)-$„, а~ 1, независимых и одинаково распределенных случайных величин $И $Н ... В самом деле, если положить то тогда Таким образом, нормальное и пуассоновское распределения могут выступать в качестве предельных в схеме серий.
Если Т„~ Т, тю интуитивно понятно, что, поскольку Т„есть сумма независимых одинаково распределенных случайных величин, то предельная величина Т должна быть также суммой независимых одинаково распределенных случайных величин. Имея это в виду, введем такое Определение 1. Случайная величина Т (а также ее функция распределения гг и ее характеристическая функция ~рг) назы- ГЛ. П1. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР вается безгранично делимой, если для каждого п~ 1 можно найти такие независимые одинаково распределенные случайные величины т)„..., т)п, что*) Т=т)т+...+«)„(или, что то же самое, Ггпч =гч л...пгч, или «рт=(«рч )л), Теорема 1. Случайная величина Т может были« пределом по распределению сумм Тп= У', $„» в том и только том случае, »=1 когда Т безгранично делима.
До к а з а тел ь ство. Если $ безгранично делима, то для каждого п)1 существуют независимые одинаково распределенные л случайные величины е„,„..., В„,» такие, что $= й„,«+" +ь,ы а это и означает, что 3=Тп, п~1. Обратно, пусть Тп — Т. Покажем, что тогда Т безгранично делима, т. е. для любого )г найдутся независимые одинаково распределенные случайные величины «)„..., т)»такие, что Т=т),+... " ° + «)». Зафиксируем некоторое й ) 1 и представим величину Тп„в виде ь111+...+Ц»1, где гпл = Пп»,1+ ° + спп», лю ~ 1д = Ппп»,п (» — И+ 1+ + зпп», л» Поскольку Тп, ~ Т, и-» ОО, то последовательность функций рас- пределений, соответствующих случайным величинам Т„„п)1, относительно компактна и, значит, по теореме Прохорова плотна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
