1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Более того, имеет место следующий результат, являющийся основным средствох1 доказательства теорем о слабой сходи- мости распредетений на числовой прямой. Теорема 1 (теорема непрерывности). Пусть (Р„) — последовательность функций распределения Р„= Р„(х), х е= рт, и (~р,)— соответствующая последовательность характеристических функций, «р,(() = ~ еп йР„(х), ( еи Рт. 1) Если Р„Р, где Р = Р (х) — некоторая функция распределения, то гр„(~) -э ~р («), ( е= й, где ср («) — характеристическая фунлция Р =Р(х). 2) Если при каждом ( е= )г существует 1нп гр„()) и функция » «р(т) =!(т~р„(~) непрерывна в точке « =О, то она является харак« терт.тической функцией некопгорого распределения вероятностей Р=Р(х) и З44 ГЛ, Н!, СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МВР ~ ((х) Р„(йт)-с ~((х) Р(йх).
Отсюда следует, что существуют г- 0 и бесконечная последовательность чисел (и') = (п) такие, что ! ~ 1 (х) Р„(йх) — $ 7 (х) Р (1(х) / ~ г О. (3) По теореме Прохорова (3 2) из последовательности (Р„) можно выбрать подпоследовательность (Р„") такую, что Р„° — "' О, где Π— некоторая вероятностная мера. По предположению леммы О =Р, и, значит, ~ ( (х) Р„, (йх) -1. ~ ( (х) Р (йх), что находится в противоречии с (3). Лемма доказана. Л е м м а 2.
Пусть (Р„) — плоп1ное семейство вероятностных мер на ()л', гл1 (Н)). Последовательность (Р„) слабо сходится к некоторой вероятностной мере тогда и только тогда, когда для каждого 1'ен)с суа1ествует 1)плср„(1), где <р,(1) — характерастаь ческая функция меры Р„: ср„(1) = ~ еи' Р„(йх). Доказательство. Если семейство(Р„) плотно, то по теореме Прохорова найдется подпоследовательность (Р„) и вероятностная мера Р такие, что Є— Р. Предположим, что вся последовательность (Р„) не сходится к Р(Р„с Р).
Тогда в силу леммы 1 найдется подпоследовательность (Р„-) и вероятностная мера О такие, что Р, — О,'причем Р~О. Доказательство утверждения 1) сразу следует из определения слабоь сходимости, примененного к функциям Ке еа" и 11п е"". Доказательству утверждения 2) предпошлем несколько вспомогательных предложений. Л ем м а 1. Пусть (Р„) — плотное семейство вероятностных мер, Предположим, что каждая слабо сходящаяся подпоследовотельность (Р„) последовательности (Р„) сходится к одной и спой же вероятностной мере Р.
Тогда и вся последовательность (Р„) слабо сходится к Р. Доказательство. Допустим, что Р„с Р. Тогда найдется такая ограниченная непрерывная функция ~=((х), что 4 з мвтод хлглктвнистичаских аэнкцин 345 Воспользуемся теперь тем, что при каждом 1ен)с существует 1'пп ]р„(1). Тогда ь 1пп ~ еи'Р„(с(х) = И щ ~ е"'Р„° (дх) ь' и л" я и, значит, ~ еи«Р (дх) = ~ еи«С1 (дх), 1 ~ )т. Но характеристическая функция однозначно определяет распределение (теорема 2 З 12 гл.
П). Поэтому Р= О, что противоречит предположению Р„-и Р. Что же касается обратного утверждения леммы, то опо непосредственно следует из определения слабой сходимости. Следующая лемма дает оценку «хвостовь функции распределения по поведению ее характеристической функции в окрестности нуля. Лемма 3. Пусть г =с (х) — функция распределения на числовой прямой и Ч] =]р(1) — ее характеристическая функция. Тогда существует такая константа К)0, что для всякого а 0 а \м с(г" (х) ~ — ] [1 — 1те й] (1)] Ж. (4) о Доказательство.
Поскольку 1(е]р(1)= $ соз1хаг(х),то, применяя теорему Фубини, находим, что О «Г ьь —,1]! — «*тР]]п ' ) [1 ]! — о ь]ю]*]]« с~ ь ]ь =1[ — '[]]-, ь]ю]««]]-1(]-"'*)««]]~ )]п1(1)йР(х)к~ЫР(х) ]а«1'>! ]«! ~ ]/« где К,„],'1 в ) — 1п1 ! 1 — — ) = 1 — з(п 1 ) —, 1 . ! 5]пе1 . 1 т ° так что (4) справедливо с константой К =7. Лемма доказана. Д о к а з а т е л ь с т в о утверждения 2) теоремы 1.
Пусть «ь (1)-]. ]р(!), п — +оо, где функция ч](1) непрерывна в пуле. Покажем, что отсюда следует плотность семейства вероятностных мер [Р„), где Є— мера, соответствующая функции распределения г„. гл п1 схопимостг вэяоятиостиых ма В силу (4) и теоремы о мажорируемой сходимостн « Р,~й,( — —, — ~~ = ~ аг„(х)-= — ~ [1 — Ке«р„(!)1«((-».
1 О !»! >— а — ~ [1 — Кеч~(())а! о при о-«оо Поскольку по предположению функция и сс(0) =1, то для всякого е)0 можно для всех и )1 «р (() непрерывпэ в нуле найти такое а) О, что Следовательно, семейство (Р,) плотно, и в силу леммы 2 сугцествует вероятностная мера Р такая, что Є— - Р. О~сюда ф,(() = ~ еа»Р (дх),. ~ еэ«!»(дт) и в то же самое время <р„(() -~р(().
Поэтому ср(() является характеристической функцией вероятностной меры Р. Теорема доказана. Сдедств ие. Пусть (г'„) — последовательность функпий распределения и (ч",) — соответствуюптая последовательносэь характеристических функций Пусть, кроме того, г — функция распределения, ф — ее характеристическая функция. Тогда г„— Г, если и только если «С„(!) — »«р(() для всех ( ~ Й. Замечание. Пусть т), т(„т!«, ...— случайные величины и г"ч„-" гч.
В соответствии с определением э 1О гл. П тогда говорят, что случайные величины П„«1„... сходяглся ло распределению к «), и записывают это в виде т)„— "т). Эта запись наглядна, и поэтому часто в формулировках предельных теорем ее предпочитают записи р„„-рч 3. В следующем параграфе теорема 1 будет применена для доказательства центральной предельной теоремы для независимых разнораспределенных случайных величин.
Доказательство будет вестись при выполнении так называемого «условия Линдеберга». Затем будет показано, что «условие Ляпунова» обеспечивает вынолпение «условия Ливдеберга». Сейчас же мы остановимся на применении метода характеристических функций к доказательству некоторых простых предельных теорем. 3 3 МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИл1ЕСКИХ ФУНКЦИИ Теорема 2 (закон больших чисел). Пусть йи $м ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с М',$,!(оо, 5„= $, + ... +$„и М$ = т. Тогда — — т, т. е.
для всякого а) 0 ьл Р Л Р ~~ —" — т ~ ~ г~ -л-О, п л- со. зл и —" Лок азательство. Пусть ср(!)=Меи и ~С з (!) = Ме " ° л Тогда в силу незавпспмссти случайных величин и формулы (11.12.6) Но согласно (П.12.!4) ~ь(!)=-!+йт+о(!), Т-л-О. Значит, для всякого фиксированного (~)с ~ь ( — ) = 1 + ! — т + о ( — ), и — ~ со.
,1 !11 л Л и поэтому ср (!) = ~1+ ! - — т+ о ( — 11 — л- е'"". г 111л Функция ср(!) =ее непрерывна в нуле и является характеристической функцией вырожденного распределения вероятностей, сосредоточенного в точке т. Поэтому значит (см. задачу 7 в Е 10 гл. 1!), ьл Р— — т, Л Теорема доказана. Теорем а Э (центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин). Пусть $„$„...— последовательность независимых одинаково распределенных (невы- рожденных) случайных величин с Ме((со и 5 =еА+".+ь .
Тогда ' при и -~ со Р~ —" (х~-эФ(х), хаим, г Зл — Мял '! Уоз„ 348 гл. нь сходимость вввоятностных мв где к Ф(х) = ~ е-"'ссс(и. 1 !' 2сс Лок аз ательств о. Пусть М$с=т, Ил=ох и ср (с) Меп н,— ыс Тогда, если обозначить а„— мз„ и" ср„(с) =Ме ! а ' то подучим, что ср~ь (с) = ~'Р (,.— Д Но в силу (!1,12,14) р(С)=! — — о(1), 1 О. Г!оэтохсу для любого фиксированного 1 и и- оо ср„(С) =~! — — —,-1-о — ~~ — е- сг. он С 1 11~~ и 2е'-'л ( п )) Функция е-пм является характеристической функцией нормально распределенной случайной величины (обозначим ее с (О, 1)) с нулевым средним и единичной дисперсией, что в силу теоремы 1 и доказывает требуемое утверждение (5). В соответствии с замечанием к теореме ! это утверждение записывают также в следующем виде: (б) Ф (О 1) р' В„ Теорема доказана. Предыдущие две теоремы относились к асимптотическому пове-' дению вероятностей (нормированных и центрированных) сумм о„=$с+...+ с„ссезавссссихсых одинаково распределенных случайных величин.
Однако, чтобы сформулировать теорему Пуассона 8 б гл, 1) приходится привлекать к рассмотрению более общую модель, называемую елесвой еерссй случайных величин. Именно, будем предполагать, что для каждого и 1 задана последовательность независимых случайных величин $„„..., $„„. Иначе говоря, пусть задана треугольная таблица < $ьс $ьс Вьс 4 з метод хлгкктяяистичяских еункции слу (айных величин, которые в каждой строчке независимы между собой. Положим 5» = $»л+... + я», » Теорема 4 (теорема Пуассона), Пусть при кавкдо,я п)1 независимые ооинаково распределенные случайные величины "„„...
...Д, „таковы, что Р($„»=1) =р», Р(с„»=О) =д», 1 ~й~п, где р»+ д„= 1 и р„-»- О так, что пр„- Л~ О, п-». оо. Тогда т=О, 1, Р (5» = т) -» (7) Доказательство. Поскольку для 1()г(п Ме ' ° » =р,е' +д, то ч»в„(() = Ме"в» =(р„еи+ д„)"- ='(! +р, (еи — 1))"-». ехр (Л (еи — 1)), Функция ср (() = ехр (Л (еи — 1)) является характеристической функцией пуассоновского распределения (!!.12.1!), что и доказывает (7). Если через п(Л) обозначить пуассоновскую случайную величину с параметром Л, то по аналогии с (6) утверждение (7) можно записать также в следующем виде: Теорема доказана.
4. Задачи. 1. Доказать справедливость утверждений теорем»я 1 для случая простраяств Й", п ) 2, 2. Пусть 1„ $е.... — последовательность независимых случайных величин с конечными средними значениями М ~$,! и дисперсиями 0$. такими, что (ль„ == К ( со, где К вЂ” некоторая константа, Используя неравенство Чебышева, доказать справедливость закона больших чисел (1). 3. В следствии к теореме 1 установить, что семейство (ч»„) равноспыпенно не~рерывно и сходимость ч»„-»- у равномерна на каждом ограниченном интервале.
4. Пусть с„, и )1, случайные величины с характеристическими функциями 4~4((), п)1. Показать, что ь„~ О тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки (= О чь (()-» 1, п-».со. 5. П)сть Х„Х„...— последовательность независимых случайных векторов (со значениями в )с»), имеющих нулевое среднее Гл. !н сходимость веРоятностных меР и (конечную) матрицу ковариаций Г. Показать, что Х»+...+Х» л ) 1,) рп (Ср. с теоремой 3.) $4. Центральная предельная теорема 1.
Теорема 1. Пусть $„$,, ...— послгдовательносп»ь независил»ь»х случайньчх величин с конечныжи вторыжи л»ол»ентами. Пусть » т„=М1», о1=05») О, 5„=3,+...+с„, 0;; = ~~, 'с)ар»=Г»(х)— с)»ункция распределения случайной величины 1с». 1»редположил», чпю выполнено еусловие Л»»ндеберга»: для всякого В~Π— (х — т»)' йг"» (х) — »- О, »г — со. (1) " »=! Бк ~» — »»»')ео„) Тогда ~.,— ~~- ' .,»-(О, 1), 1' Рь'» (2) ! — 'в » ф, (1)=Мент»=Ме о "=ф Я =11 ф»( — ) !3) »=1 и для доказательства (2) достаточно (в силу теоремы 1 из 2 3) установить, что для каждого !~Я ф (1) -»- е- Рч», и -э со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
