1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Если к тому же Р (! ~„~ = с) =1, я~ 1, то это условие является и необходимым, Поэтому, если ~ М$»»(со, то выполнено условие (6) и, следо»=! вательно, ряд 2,~» сходится с вероятностью единица. Ь) Пусть ряд «'~» сходится. Тогда в силу (6) для достаточно больших и 3?4 ГЛ. !Ч. НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Док а ватель ство.
Если ~,"0$„(оэ, то по теореме 1 ряд ~(е,— М$„) сходится (Р-п, и.). Но по предположению ряд ХМ$, сходится, поэтому сходится (Р-и. н.) и ряд «'«„. Для доказательства необходимости воспользуемся следующим приемом «симметризации». Наряду с последовательностью $„$„ рассмотрим не зависящую от нее последовательность независимых случайных величин $Н $„...
таких, что $„имеет то же распределение, что и ~„, л=-1. (Когда исходное пространство элементарных событий предполагается достаточно «богатым», существование такой последовательности следует из теоремы 1 Э 9 гл, П. В свою очередь можно показать, что это предположение не ограничивает общности.) Тогда, если сходится (Р-п. н.) ряд 2.$„, то сходится и ряд «'$„, а значит, и ряд 2,(«„— $„). Но МĄ—,$„)=0 и Р(,'ь„— ~„,'-=2с) =1.
Поэтому по теореме 1 2,0(«„— $„)(сю. Далее У 0$„=- — ~~>'0($„— «„)(оо. Поэтому по теореме 1 с вероятностью единица сходится ряд ~ ($, — М«„), а значит, сходится и ряд ~ М$„. Йтак, из сходимости (Р-и. Н.) ряда 2', 4„(в предположении Р(~$„~~с)= 1, а=-1) вытекает, что оба ряда ~;М$„и ~01„ сходятся. Теорема доказана, 3. Следующая теорема дает необходимое и достаточное усло- вие схолимости ряда ~„'$„ без предположений об ограниченности случайных величин. Пусть с в некоторая константа и $(~с, О, ($(>с. Теорем а 3 (теорема Колмогорова о «трех рядах»). Пусть 3Ы «„...— последовательность независимьсх случайнь«х величин. Для сходимости с верояличостью единица ряда ~«необходимо, чтобы для любого с О сходились ряды «М«» «0»"„' «Р(~» (еьс) и достаточно, чтобы эти ряды сходились при некотором с ° О.
Доказательство. Достаточность. По теореме о «двух рядах» ряд ~, "4'„сходится с вероятностью единица. Но если «Р(~~„(: с)~со, то по лемме Бореля — Кантелли с вероят- ностью единица 2, т((3„()с) <со, а значит, в»=$'„дли всех а, за исключением, быть может, конечного числа.
Поэтому ряд ~5„ также сходится (Р-п, н.). т» сходимость падов Необходимость. Если ряд т'«, сходится (Р-и. н.), то «„-~0 (Р-п, н.) и, значит, для всякого с>0 может произойти (Р-п. н.) не более конечного числа событий (~$„~)с). Поэтому ю l(~ $„~:с) <со (Р-п, и.) и по второй части леммы Бореля— Кантелли ч' Р (, ~, ! > с) = со. Далее, из сходимости ряда следует и сходимость ряда «'~». Поэтому по теореме о «двух рядах» каждый из рядов т'М „и ~.0«'„сходится. Теорема доказана.
Следствие. П)с»ь»ь Е„...— неззвиспмые случайные величины с М«. =О. Тогда, если го ряд т ~„сходится с вероятностью единица. Для доказательства заметим, что УМ,» ", -.сос= ~» МД'„Т( $„(. 1)+;$„(7(~ ««',>1Д(со. Поэтому, если "=,'. =",Т(~ $„'~1), зо ~" М («~,)« - оо.
Поскольку М=„= О, то ~ ~ М:-А , '=- ~' ~ МЕ„Т (,' «»„~ =- 1),' = т' ' М«„! (, й„~ > 1) ! = ~ ~'М,'й«,'! (~ Е„~ >1) (со. Значит, каждый из рядов х'М$,', и х 0:„' сходится. Далее, по неравенству Чсбышева Р(: Е„, '>1) =Р( «„~ Т(~$„~ > 1): 1) «М (; С„',1(~ $„~ > 1). Поэтому ~.'Р(,'«„~>1)(со. Тем самым сходимосзь ряда ~'«„ следует из теоремы о «трех рядах».
4. Задачи. 1. Пусть ",„е„...— последовательность независимых случайных величин, Я„= «, +... + а„. Используя теорему о «трех рядах», показать, что: а) если т'Ц(оо (Р-п. н.), то ряд 2 «„ сходится с вероятностью единица в том и только том случае, когда сходится ряд т М«,Т(,$,(~1); Ь) если ряд» Б„сходится (Р-п. в.), то ряд ~Ц(оо (Р-п. н,) в том и только том случае, когда Х(М~й.~У(~Р.~~1))«~ 2. Пусть $д, ~„...— последовательность независимых случайных величин, Показать, что 2,'$"„(оо (Р-п. н.) тогда н только 376 ГЛ,!Ч. НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛ>!ЧИНЫ тогда, когда 3. Пусть 3„ы, ...— последовательность независимых случай. ных величин.
Показать, что ряд ~$„сходится (Р-п. н.) тогда и только тогда, когда он сходится по вероятности. $ 3, Усиленный закон больших чисел 1. Пусть 1„ 3„ ... — последовательность независимых случайных величин с конечными вторыми моментами, 5л = $! +...+1„. Согласно задаче 2 из 6 3 гл, 111, если дисперсии 0~! равномерно ограничены, то имеет место закон больших чисел: ьл — !Ч!3л Р л '" — 0 и-л.со. Усиленным законом больших чисел называется утверждение, в котором сходимость по вероятности в (1) заменяются сходимостью с вероятностью единица. Один из первых результатов в этом направлении дается следующей теоремой. Теорема 1 (Кантелли).
Пусть $>, $м ...— Независимые случайные величины с конечным четвертым моментом и такие, что для некоторой константы С М)ń— М$„!'~С, и~1. Тогда при п — л со О (Р-ш н,). (2) Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать М$„=0, л)1. По следствию к теореме 1 из 3 10 гл. 1! для сходимости —" — ~ 0 (Р-п. н.) достаточно, чтобы для любого е 0 ~> Р~( —" (~е~(со. В свою очередь, в силу неравенства Чебышева, для этого доста- точно выполнения условия '5', М ~ — „" ~ ( со.
Покажем, что при сделанных предположениях это условиедейст- вительно выполнено, зтт $ Х УСИЛЕННЫИ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Имеем л 61=а,+...+~.) - ~~1-,У', 2,'-2ТаЦ+ с=! Ас с<с + '~, с1, , сн Щс2ь 1. 'У" 4! $Дс2Дс+ ~~С',! сс! !ЦАП,. сФс с<с<в<с с чь с саул с'< ь Тогда, учитывая, что М$А=О, сс(п, отсюда находим л л МЯ,',= ~ МЦ+6 ~~~~ МИМА:=пС+6 ~) 3с МЦ МЯ~ с= — ! с, с=! с с=! 1<! : — пС+ ~ С = (Зп' — 2п) С (Зсс'С.
Следовательно, ~М~ — '„")'~ ЗС~'.— ', ~со. х, ь' (З) Тогда 0 (Рни и.). л (4) В частности, если 0 (Р-и. н.). то (6) Для доказательства атой теоремы, а также нижеследующей теоремы З нам понадебятся следующие два вспомогательных утверждения. Лемма 1 (Теплиц). Пусть (а„) — последовательность пестрил с(ательньсх чисел, Ь„=~ ас, Ь„>0 длл всех ЛЗ:1 и Ь„Тсо, г=! Теорема доказана. 2. Привлечение более тонких методов позволяет существенно ослабить предположения, сделанные в теореме 1, для справедливости усиленного закона больших чисел. Теорема 2 (Колмогоров). Пусть $„$„...— последовательность независимых случайных величин с конечньсми вторыми люментоми, положительные числа Ь„. таковы, что Ь„у со и 378 ГЛ !У, НЕЗАВИСгЛМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ хг+...+х„ -».
х. л Доказательство. Пусть е) О н п„=гг,(е) таково, что для всех п =п, ~хл — х~ ( е72. Выберем и!) и, гак, что 1 ъг — ~~ ~ хг — х ( ( е,г2. ь„.?, г=! Тогда для и~ и 1 ъг 1 ъг — »7 а,хт — х = — Г а ~хг — х(= л ьл 7 =! 7=! 1 1 ъг =Ь 7 а7гх х~г+ь .~ а'гху л л г=! ! =лл+! лр л р л — лрр ( — т аг(хт — х,'+ — тр аг)хг — х) р + 2 л ! г =лр+! Лемма доказана. Лемма 2 (Кронекер).
77успгь (Ь„) — последовательноспгь положигпельных возрастаюигих чисел, Ь„т =о, п-г-со, и (х„) — посгедовательноспгь чисел таких, что ряд ~ к„сходипгся. Тогда ~~!~ Ьгхг — О, п- со 1 (9) 1=! В частности, если Ь,=п, хл=в —" и ряд ~~л сходится, то "'+"' ' "" -э-О п-»со. л (10) л Доказательство. Пусть Ь,=О, Яр=О, Вл= У', хр Тогда /=! («суммнрованне но частям») Л л л Ь!х! = ~~~~ Ь! (57-87 г) =Ь»Бл — Ь»Б« — ~ Яг г(Ь7 — Ь! г) г=! г=! и — э- оо.
Пусть также (хл) — последовательность чисел, сходящаяся к некоторому числу х. Тогда л 1 Ъг -- 7 агхг-~х. (7) г'=- 1 В чаев!ности, если а,=1, то 379 $3, усиленнып злкон Больших чисвл и, значит, поскольку, если 5„— ~ х, то по лемме Теплица 1 к! — ~ге Я~ га! — !-х. ьл !=! Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1. Поскольку и '-" = ' ~ й l ~ -м1 ) ь„ = ь„ хы ! ь„ "й ! *=! -!-О (Р-и. н.). )хк!оа л (1 !) 3. В том случае, когда величины $„$„.„не только независимы, но и к тому же одинаково распределены, для справедливости усиленного закона больших чисел нет надобности требовать (как в теореме 2) существования второго момента, а достаточно лишь существования первого абсолютного момента. Теорема 3 (Колмогоров). Пусть с„чм ...— последовапгельность независимых одинаково распределенных случайных величин с М) 9!1(Со. Тогда — "-эт (Р-и. н.), (12) где т=Мь!. Для доказательства нам понадобится следующая Лемма 3. Пусть 9 — пестри!(ательнал случайнал величина.
Тогда ~ч, Р($==п)-=М$~1+,У, 'Р($)п). (13) в=! ь=! то в силу леммы Кронекера для выполнения (4) достаточно, чтобы (Р-п. н.) сходился ряд У " '. Но этот ряд действительно лы Ьь сходится в силу условия (3) и теоремы 1 из $ 2. Теорема доказана. Пр имер 1. Пусть 9!, 3„...— последовательность бернуллиевских независимых случайных величин с Р ($„=1)= Р($„= — 1)= =1!2. Тогда, поскольку 1 1, (со, то 1 .~~ . 1ья2п 880 ГЛ ПА НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАИНЫЕ ВЕЛИл!ИНЫ До к а з а т ел ь с та о следует из следующей цепочки неравенств: Х Р($=-а)= Х Х Р(й=1()г+1)= л =-! О~)л и=! —,У, 'АР ()г =- $ ( Е+ 1) = ~ М (й! (Iг «= $ ( )г+ 1)1 ~ А=! о=о :а ~ МД!(й==.5(й+1))= А О = М", — ~~ М 1(й + 1) 1 (гг ( ~ ( !г + 1)) =- А=-О = У (/г+1) Р (lг($((г+1)= А=О = Я',РД )+ Я,'Р(й=-~(й+1)= Я,'Раз:и)+1. л=! Доказательство теоремы 3. В силу леммы 3 и леммы Бореля — Кантелли М ( о, ) -. оо с-о х Р (( о, ! ~ и) -- оо <--> С-О х'РЦЕ„(= а) (со<=:О Р() Е„(~и б.
ч.) =О. Поэтому с вероятностью единица для всех а, за исключением лишь конечного числа, ~ $„~ ( и. Обозначим )Е„)(а, )ф„!)и, и будем считать, что Мфл О, а~1. Тогда ~'~"' л" — 0 (Р-п. н.), и если и только если '+"' " -~0 (Р-п, н.). Заметим, что, вообще говоря, М$„чьО, но М$„= М$„1(! В„~(а) = МЕг! (( $! / (а) -л. М$, =О. Поэтому по лемме Теплица л М$А — з- О, а -~ со, ! =-! а 3 УСИЛЕННЫЯ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ и, следовательно, '~'„"+1" -«.0 (Р-п. н.) в том и только том 51+ "+1л случае, когда (Р-п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
