1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 67
Текст из файла (страница 67)
н.). Теорема доказана. 3. Перейдем теперь к вопросу о справедливости эргодической теоремы для стационарных (в узком смысле) случайных последовательностей Е = ($„ ом ...), заданных на некотором вероятностном пространстве ((),,У, Р). Вообще говоря, па (й?,,У', Р) может и ве существовать сохраняющее меру преобразование, так что непосредственное применение теоремы 1 невозможно. Однако в ~ 1 уже отмечалось, что можно построить (координатное) вероятностное пространство (11, .У, Р), случайную последовательность $ =- — (е„ ео, ...) и сохраиюощее меру преобразование Т такие, что о„(оо) = Е!(Т"-!оо) и по распределению $ и $ совпадают.
Поскольку такие свойства, как сходимость почти наверное и в среднем, определяются лишь распределениями вероятностей, то из сходи- Л ! ъ!- мости - У $г(Т'-'!о) (Р-п. н. и в среднем) к некоторой случайо=! 40о Гл, ч, стАционАРиые случАнные последОВАтельности поскольку М ) — т $» — )) ) -+- О, то ! %т »=! л -' ')' ~й„дР- ~пдР. »=! А л (7) Пусть В я!й(К ) таково„что А =(ьк (с», е»„, ...) ~ В) гля любого йеь!. Тогда в силу стационарности с ~1,д = ~ 1„дР= ~ ~,д = ~~,дР. А (ьл<!». $» <, ...)ЯВ) <лл нл !л ...)ел! л Поэтому из (7) следует, что для любого А ее» е ) е,с(Р = ) т) <(Р, что означает (см.
й 7 гл. П), что )) = М Я! , ' ;). Прн этом М Д! (ь ь) = М$„если последовательность $ является эргодической. Йтак, доказана следующая Теорема 3 (эргоди )еская теорема). Пусть е=-(э), 5м )— стаиионарнан (в узком смысле) случайная последовательное)пь с М($))(со. Тогда (Р-и. н.
и в среднеи) л !пп — )~ $» (ы) = М ($! ! . е). »=! Если к тану эке $ — эргодическая последовап)ельность, то (Р-и. н. и в среднем) л !пп — ~~)' с» (ы) = Ме!. »=- ! где ь — совокупность инвариантных множеств (М вЂ” усреднение по мере ) ). Опишем теперь структуру величины )). Определение 1. Множество А ~ У будем называть инвариантным по отношению к последовательности 5, если найдегся такое множество В ~,теф ), что для любого и~1 А =(оп ($„, $„»), ...) <н В). Совокупность таких инвариантных множеств образует о-алгебру, которую <бозначим ь ь. Определение 2. Стационарная последовательность с называется эргодической, если мера любого инвариантного множес)ва принимает лишь два значения О или 1. Покажем теперь, что исследуемая случайная геличина т! м< жег быть взята равной М Я! ~е е). В самом деле, пус)ь А ее ь ).
Т<.)да л — ! 5 к эпголическне теопемы чо~ 4. Задачи. 1. Пусть 5=До Е„...) — гауссовская стационарная последовательность с М5, =- О и ковариационной функцией Р(п) = М":„,.„Ь. Показать, что условие Р(а)- О является достаточным для эргодичности $. 2. Показать, что всякая последовательность $ =-= (-:о 1„ ...), состовцая из независимых одинаково распределенных случайных величин, являезся эргодчческой.
3. Показать, что с1ационарная последовательнсс1ь ~ эргодична в том и голько том случае, когда для любого Вя.%(Р), к=- 2 П lл (хь Ь.х)-~ Р ((со ..., ~1~а) ~ В) (Р-п. и ). ГЛА ВА Ч! СТАЦИОНАРНЫЕ (В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ) СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. Вз-ТЕОРИЯ 5 1. Спектральное представление ковариационной функции !. Согласно определению, данному в предшествующей главе, случайная последовательность ~=Я„$„...) называется стационарной в узком смысле, если для любого множества Вен %()1 ) и любого и)1 Р Яо $„...) ~ В) =Р(($„ы, $„~, ...) ~В). (1) Отсюда, в частности, вытекает, что если МЦ(оо, то М$, не зависит от гп М~„=Мам (2) соч (~„, $„) = М $„+„— М1„+ ) (е„— Мй„) зависит а ковариация лишь от пп (3) сот Яд+а~ И~~) = сот (З1+щ ь1) В настоящей главе будут исследоваться так называемые стационарные в широком смысле последовательности (с конечным вторым моментом), для которых условие (1) заменяется (более слабыми) условиями (2) и (3).
Рассматриваемые случайные величины $„будут предполагаться определенными для п ен д,= (О, -+ 1, ...) и к тому же комплекснозначиыми. Последнее предположение не только не усложняет теорию, но и наоборот — делает ее более изящной. При этом, разумеется, результаты для действительных случайных величин легко могут быть получены в качестве частйого случая из соответствующих результатов для комплексных величин.
Пусть 1т'=и'(П, У, Р) — пространство (комплекснозначных) случайных величин $=а+(р, а, р я В, с М ~ 5~'<оо, где ) $,"= = а'+р'. Если е, Ч ен гг', то положим (з, ))=Матч, 403 $ Ь СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНПЕ где 4)=а — 10 — комплексно-сопряженная величина к т( =а+1() и ($)=(Ь Р'". (5) Как и для действительных случайных величин, пространство 11» (точнее, пространство классов эквивалентных случайных величин; ср. с Ц 10 и 11 из гл.
11) со скалярным произведением ($, т)) и нормой 131 является полным. В соответствии с терминологией функционального анализа пространство Н' называется унитарным (иначе — комплексным) гильбертовым пространством (случайных величин, рассматриваемых на вероятностном пространстве (Р,,У', Р)). Если $, т) ен И', то их ковариацией назовем величину соч ($. т)) - М ($ — М$) (Ч вЂ” МЧ) Из (4) и (6) следует, что если Мф= М»1=0, то соч(е, т)) =(в, ч). (7) О п р е де л е н и е 1. Последовательность комплексных случайных величин 5 =Д„)„е~ с М ~ $„~'( со, и ~ У„называется стационарной (в широком смысле), если для всех л в= Х М~„=М~,, соч($»,„, $»)=соч($„, 5,), й~Е.
Для простоты изложения в дальнейшем будем предполагать М$»=-О. Это предположение не умаляет общности, но в то же самое время дает возможность (согласно (7)), отождествляя кова риацию со скалярным произведением, применять методы и результаты теории гильбертовых пространств. Обозначим (9) Р(а)=соуЯц, Ц), П~Е, и (в предположении )с(0)= М ~ $»,"~0) р(а)= —, П~Е. г (в) й(0) ' (10) Функцию )т (а) будем назь1вать ковариационной функцией, а р (и)— корреляционной функцией (стационарной в широком смысле) последовательности в. Непосредственно из определения (9) следует, что ковариационная функция )с(п) является неотрицательно-определенной, т. е. для любых комплексных чисел а„..., а и („..., ( ы Я, е'=-: 1 Я а1йф ((1 — (7) ~ О.
(1 1) 1,)=1 «О4 гл ш стлцпонлвиые слюмпные послвдовьтвльности а(п) = а(0) е"". Таким образом, последовательность случайных величин Е« = Ео . а (0) его является стационарной с К(п) = ~д(0) ~ген". В частности, случайная «константа» Е„= Е«образует стационарную последовательность. П р и м е р 2. Почти периодическал последовательиосгпь. Пусть в Е„ = ~ г„е ь", Ф =-1 (13) где г„..., гь — ортогональные (Мг,г,;=О, г'Ф 1) случайные вели- чины с нулевыми средними и М'гь,"=о«) О; — п»Х«» и, й =- = 1, ..., гУ; )«~Ф~, г~=)Е Последовательность Е=(Е„) является стационарной с Й (и) = ~ч~~ о«ег «".
(14) В обобшение (13) предположим теперь, что г„е' ь", (15) где величины гм йенл„обладают теми же свойствами, что и в (!3). Если предположить, что ~, 'о«(со, то ряд в правой В свою очередь отсюда (или непосредственно из (9)) нетрудно вывести (задача 1) следующие свойства ковариационной функции: )Е(О) = О, К ( — и) = К ( ), ~ Я (п); == Л (О), (12) ! К (и) — )т (пг),' » 2)с (0)()Е(0) — Ке Я (и — т)1.
2. Приведем некоторые примеры стационарных последовательностей Е=(Е«)„~2. (В дальнейшем слова «в широком смысле>, а также указание на то, что и ~ л„часто будут опускаться.) Пример 1. Пусть Е,=Е«д(п), где МЕ«=0, МЕ~=! и а=- = Дп) — некоторая функция. Последовательность Е = (Е„) будет стационарной в том и только том случае, когда функция й(lг+п)д(/г) зависит лишь от и. Отсюда нетрудно вывестц, что найдется такое Х, что 405 » ! СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ части формулы (15) сходится в среднеквадратическом смысле и )7(п) = ~ ', о„'е' »".
Введем функцию Р()) = ~ о', сн л»~ч (18) (17) Тогда ковариациоиная функция (16) может быть записана в виде интеграла Лебега — Стилтьеса )7(п) — ~ егл «(Б()„) (18) О, Стационарные последовательности (15) образованы как суммы «гармоник» е» с «частотой» ).» и случайными «амплитудами» г» ц» «интенсивности> о1= М ~ г» ~». Таким образом, знание функции Б(А) дает исчерпывающую информацию о структуре «спектра» последовательности Е, т. е. о величине интенсивностей, с которыми те или иные частоты входят в представление (16). Согласно (18) знание функции Б().) полностью определяет также и структуру ковариационной функции )т(п). С точностью до постоянного множителя (невырожденная) функция Б (Х) является, очевидно, функцией распределения, причем в рассматриваемом примере зта функция кусочно-постоянна.
Весьма примечательно, что ковариационная функция любой стационарной в широком смысле случайной последовательности может быть представлена (см. теорему в п, 3) в виде (18), где Б().)— некоторая (с точностью до нормировки) функция распределения, носитель которой сосредоточен на множестве [ — и, п), т. е.
Р ().) = О для Л ( — и и Б ().) = Б (и) для Х ) и. Результат об интегральном представлении ковариационной функции, сопоставленный с (15) и (16), наводит на мысль, что произвольная стационарная последовательность также допускает «интегральное» представление. Так оно на самом деле и есть, что будет показано в ч 3 с помощью так называемых стохастических интегралов по ортогональным стохастическим мерам (~ 2). Пример 3. Белый ц«ум. Пусть е=(е„) — последовательность ортонормироваиных случайных величин, МЕ„=О, Ме;ау=бр, где бц — символ Кронекера. Понятно, что такая последовательность является стационарной и 4О6 Гл у! стАННОИАРИ!!е случАпные последов»тельности Отметим, что функция Р(п) может быть представлена в виде )с(л) = ~ е" др(Х), (19) где Р().)= ~ ~(У)дт, ~().)= —, — и -Х(н. (20) Сравнение «спектральных» функций (17) и (20) показывает, что если в примере 2 <спектр» был дискретным, то в настоящем примере он оказался абсолютно непрерывным с постоянной «спектральной» плотностью 7'().) =172Л, В этом смысле можно сказать, что последовательность е=(е„) «составлена из гармоник, интенсицность которых одна и та же>.
Именно это обстоятельство и послужило поводом называть последовательность е = (е„) «белым шумом» по аналогии с белым цветом, составленным из различных цветов одной и той же интенсивности. Пр имер 4. Последовательности скольз щего среднего. Отправляясь от белого шума е=(е„), введенного в примере 3, образуем новую последовательность а„е„», »=-со (21) где а„— комплексные числа такие, что ~ ~а»~" (со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
