1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Пусть функция 1енЫ Используя результаты гл. 11 (тео. рема 1 в 3 4, следствие к теореме 3 3 6 и задачу 9 в 3 3), дока. зать, что найдется последовательность функций [„ вида (10) таких, что ()' — 1„(- О, и- со. 3. Установить справедливость следующих свойств ортогональ- ной стохастической меры г(Л) со структурной функцией т(Л)~ М~ г(Л,) — г(Л,) р= т(Л, Л,), г(л„,л,)=г(л,) — г(л,дл,) (Р- ..), г~(Л,аЛз)=г(Л1)+г(Л,) — 2г(Л,ПЛз) (Р-п. н.). й 3. Спектральное представление стационарных (в широком смысле) последовательностей 1.
Если $=($„) — стационарная последовательность с М$„=0, и ~ У„то, согласно теореме из з '1, найдется такая конечная мера Р=Р(Л) на ([ — и, и), 6([ — л, и))), что ковариационная функция )т (и) = соч ($„~„, $„) допускает спектральное представление Р (л) — 1 е~ллР (с(3) Следующий результат дает соответствующее спектральное представление самой последовательности с=($„), и вил.
Т е о р е м а 1. Существует такая ортогональная стохастическая мера г=г(Л), Лен;.З([ — я, и)), что для каждого пеиУ, (Р-п, и.) ~О пг (л) ) (2) Ч, а) = ~ [()~Я ()с) г (с(Ь), (3) При этом М ~ г(л) ~з=Г(л). Доказательство проще всего провести, опираясь на неко. торые факты теории гильбертовых пространств. Пусть 1.'(Р) =1.е(Е, Ж, Р) — гильбертово пространство комплекснозначиых функций, Е=[ — я, я), 8= Ю([ — и, и)), со скалярным произведением % 3.
СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТСЛЬНОСТЕП 4!9 и Ц (Р) — линейное многообразие (Ц (Р) ~ Е» (Р)), порожденное функциями е„=е„(А), и ен У„где е„(Х) =е" . Заметим, что поскольку Е=1 — и, и) и мера Р конечна, то замыкание Ц(Р) совпадает (задача 1) с Е»(Р): Е» (Р) = Е» (Р). Пусть, далее, Ц ($) — линейное многообразие, порожденное случайными величинами $», и еи Е, и 1» (е) — его замыкание в среднеквадратическом смысле (по мере Р).
Установим между элементами Ц(Р) и Ц($) взаимнооднозпачное соответствие « », полагая е„ $„, и ен 2!, и доопределяя для произвольных элементов (точнее — классов эквивалентных элементов) по линейности: ~ а„е„ ~„"а„$„ (здесь предполагается, что только конечное число комплексных чисел а„ отлично от нуля).
Отметим, что соответствие (5) корректно определено в том смысле, что ~а„е„ = 0 почти всюду по мере Р тогда и только тогда, когда ~а,$„=0 (Р-п. н.). Так определенное соответствие «» является изометрическим, т. е. сохраняющим скалярные произведения, В самом деле, в силу (3) (е„, е )= ~ е„())е ().)Р(и),)= = $ е'А!"-"!Р(дХ) =)«(п — т)=М«„й =($„, 9„) и аналогично (~„'а„е„~~„е„) =(~а„а„, й,'($„9„), (6) Пусть теперь т) ~1Р(е).
Поскольку У.»(е) Е»(е), то найдется такая последовательность (Ч,), что т)„ ен Ц Я) и (»), -т)) — ~- О, и-+.ОО. следовательно, последовательность (т),) фундаментальна и, значит, таковой же является и последовательность функций (Г„), где ~„~Ц(Р) и )„т)„.
Пространство Е'(Р) полно и, следовательно, найдется такая функция ) ЕЕЕ»(Р), что )~„-Д-~-О. Очевидным образом верно и обратное: если г еи Е» (Р) и (~-~„(-~- -+ О, ~„я Ц (Р), то найдется такой элемент «1 я Е» ($), что 1») -Ч„1-+ -+ О, т)„вил(е) и т)„ До сих пор (изометрическое) соответствие «» было определено лишь между элементами из Ц($) и Ц(Р), Доопределим его 42О гл ю стхциоилгныв слгчлиныв послвдовхтвльиости по непрерывности, полагая 7 ть где 7" и г) — рассмотренные выше элементы Нетрудно провергпь, что так установленное соответствие является взаимнооднозначным (между классами эквивалентных случайных величин и функций), линейным и сохраняющим скалярное произведение Рассмотрим функцию )(Х)=!ь (Х), где Л~Ю(( — и, и)), и пусть 8(Л) — элемент из Е'($) такой, что )д (Х) х,(Л). Ясно, что 1 )ь ().) )'= г (Л) и, значит, М ~ 8 (Л) ~з = Р (Л).
Далее, если Л, () > )2 П А, = 3, то М8 (Л,) Л (Л,) = 0 и М Л (Л) — У', Е (Л„) — О> иФ=. ~ оэ, где Л=.У,Ль Ф=! Тем самым совокупность элементов 8(Л), Лен_#_(1 — и, л)), образ) ез ортогональную стохастическую меру, по которой (согласно З 2) можно определить стохастический интеграл чайф= ~ ~(Х)8(г().), ~енЕ'(Р).
— и Пусть ге-:Еп(Р) и 8 ). Обозначим элемент Ч через Ф!7) (точнее говоря, выберем по одному представителю из соогветств) ющих классов эквивалентных случайных величин и функциик Покажем, что (Р-п. н.) р Ф-Ф()) (7) Действительно, если 7 (7>) = Х хь)ь ()>) (8) есть конечная линейная комбинация функций )ь (7), Л, = (а„ (,), то по самому определению стохастического интеграла т ()) = = ~;иьин(Хэ), что, очевидно, равно Ф(г). Таким образом, (7) справедливо для функций вида (8).
Но если )~Е'(Р) и ք— г'(- (, где 7"„— функции вида (8), то(Ф((„) — Ф (Е) 1- 0 и 1аУ (Е„) — ит(())- 0 (согласно (2.14)). Значит, Ф(() =ау(7) (Р-п. н.). Возьмем функцию ((Х) =е'~". Тогда в силу (4) Ф(е"") =$„и, с другой стороны, аУ(е'х") ~ а"""У (Ю), Поэтому в силу (7) (Р-п. н.) й = $ е'х"я(й), пенд,. Теорема дойазана. С л е д с т в и е 1. Пусть $ = ($„) — стационарная последовательность, состоящая аз действительных случайных величин й„, пан У.. % 3, спектРАльнОе пРедстхвленне последОВАтельностеп 42! Тогда стохастическая мера 2=2(л), участвующая в спектральном представлении (2), такова, что для любого Л ен %(! — и, и)) 2 (Л) = 2 ( — Л), (О) где множество — Л=(Л: — й ~ Л). В самом деле, пусть )()) = Ъ'и„е'АА и и = ~иДА (суммы конечные).
Тогда !" т) и, значит, т) = ~, йАР„Т' а„е'А" = ) ( — Х). Поскольку 1А ()) 2(л), то из (10) вытекает, что 7*( — ).) I(Л) или ! А().) 7(Л). Но, сдрутой стороны, Г А()) 2( — Л). Поэтому 2 (Л) = 2 ( — Л) (Р-п. н.). Следств ие 2. Пусть снова $=-($„) — стационарная последовательность, где $„— действительные случайные величиньь и с (Л) =с, (Л)+ Ыт(л). Тогда для любых Л, и Лт (11) МЛ, (Л,) Е, (Лт) = О, и если Л, () Л, = (7), то М2, (Л,) г,(Л ) =О, Мг,(Л,) гт(Л,) =-О. (12) Лействнтельно, поскольку 2 (Л) = Я ( — Л), 1о г,(-Л)=2,(Л), г,(-л)= — 2,(Л).
(13) Далее, так как МУ(л,)Я(лт)=м 2 (Л, Пл,) 1', то 1гпМЯ(л,)х ХЕ(ЛТ) =О, т. е. МЕ,(Л,) Я,(л,)+МУ,(л,) 2,(л,) =О. (14) Взяв вместо Л, интервал — Л„находим отсюда МЕ,( — Л,) 2,(л,)+МУ,( — Л,) 2,(Л,) =О, что в силу (13) преобразуется к виду МУ,(л,)2,(л„) — М2,(л,)Л,(л,) =О. (15) Из (14) и (15) получаем равенство (1!). Если же Л, () Л, =- ф, то Мс (Л,) Я (Л,) = О, откуда Йе М2 (Л,) х хЯ(л,)=О и КемЯ( — Л,)Я(лт)=0, что вместе с (13) очевидным Образом доказывает равенства (12).
Следствие 3. Пусть $=Я„) — гауссовская последовательность. Тогда для любого набора Л,, ..., Л, вектор (2,(л,), ... ..., 2,(ЛА), л,(Л,), ..., с (Л„)) имеет нормальное распределение. В самом деле, линейное многообразие С1(я) состоит из (комплекснозначных) гауссовских случайных величин ть .т. е.
вектор (Вет), !гпт!) имеет гауссовское распределение. Тогда в соответствии с и. 5 $ 13 гл., 11 замыкание Х4ф также состоит из гаус- 422 гл гь стАНИОнАРные случАнные пОследОВАтельнОсти Замечание. Если (АА), Лен( — и, и),— процесс с ортого* нальными приращениями, соответствующий ортогональной стохастической мере А = А (Л), то спектральное представление (2) можно (в соответствии с з 2) записать также в следующем виде: л„= ~ е"л сЫ и е= У, (17) Пусть $ = ($„) — стационарная последовательность со спектральным разложением (2), и пусть т(ееЕ'(л).
Следующая теорема описывает структуру таких случайных величин. Теорема 2. Если Ч ~Ь'($), то найдется такая функция тр ~ Ел(Е), что (Р-п. н.) и= ~ р(Л)г(дЛ). (18) Доказательство. Если т(л=- ~х~ ~алел, ~Ы(л (19) то в силу (2) т(„= ~ (' 'У, 'а,е"л)Е(дЛ), — л ~,'А~(л (20) т. е. (18) выполнено с функцией ТРл (Л) = ~Ч , 'а„е™. /А~ (л В общем случае, если Ч ~Ь'($), то найдутся такие величины т(„ типа (19), что 1Ч вЂ” т)„( — ~ О, и — л со. Но тогда ) <р„— <р„( = = (т(„ — т(„)-л-О, л, т-~ со и, следовательно, последовательность (фл) фундаментальна в Е'(Г) и, значит, найдется такая функция ф ее Ет(Е), что (~Р— ~Рл1-т-0„ и-л со.
савских величин. Отсюда и из следствия 2 вытекает, что в слу. чае гауссовской последовательности Е= ($„) действительные и мнимые части 2, и Ят независимы в том смысле, что любые наборы случайных величий (Я, (Л,), ..., А, (Л„)) и (Ут (Л,), ..., Я, (Лл)) независимы между собой. Из (12) следует также, что для непересекающихся множеств Л„..., Лл случайные величины А; (Л,)..., ..., А;(Лл) независимы в совокупности, (=1, 2. Следствие 4. Еслй е=($„) — стационарнав последователь. ность действительных случайных величин, то (Р-п. н.) $, = ~ созЛПЕ,(с(Л)+ ~ з(ПЛПЕт(с(Л). (16) 4 з. спектглльнов п»едстьвленив послвдовктвльностви 423 у,= У, 'й(п — т)х .
(22) Для физически осуществимых систем значение выходного сигнала в момент времени и определяется лишь «прошлыми» значениями входного сигнала, т. е. значениями х при т(п. Естественно поэтому фильтр с импульсной переходной функцией й = = й(з) назвать физически осуществимым, если й(з) =0 для всех з«-0, иначе говоря, если у„= ~ й(п — т)х = ~ й(т)х„„. Л$ — СО ы=ь Важной спектральной характеристикой фильтра с импульсной переходной функцией й является ее преобразование Фурье <р (Л) =,)~ е-" й (т), (24) называемое частотной характеристикой фильтра. Остановимся теперь на условиях сходимости рядов в (22) и (24), о которых до сих пор ничего не говорилось.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
