1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Ь) Если последовательность ~ регулярна, то о„'-=.о-'„+! и !!гп а,', = ~~~,!а»!», »=О Поскольку ~ч~ ! а» (о = М ! $„!о, »=О то из (1О) и (9) следует, что е„~ 0 п- со, т. е. с ростом и прогноз величины $„по $«=(..., Е м $о) становится тривиальным (совпадающим просто с М«„=0). 4. Будем предполагать, что Š— невырожденная регулярная стационарная последовательность. Согласно теореме 2 всякая такая последовательность допускает представление в виде одностороннего скользящего среднего 5. = ~ а,е„ », ,о=о 443 5 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЛЬДА где ср(Л) =~с-ьт»а» ~ ~а»~г<.-ОО »=о »=о (13) Положим Ф (г) = ~ а»г ° »=о (14) Эта функция является аналитической в открытой области [г! ( 1 и в силу условия ~',~а»,г ( ОО принадлежит так называемому »=.о классу Харди Н', т. е. классу аналитических в области )г)(1 функций а=у(г), для которых еир — ~~ /у(ге'о) ~го(а "со.
1 е ...ъ5 — л Действительно, — ~ ~ Ф (ген)," Ю = ~Р ( а» Ф г㻠— л »=о (15) зир ~ч~~,' а»,'ге »" - ~ ( а» !г < со. о~г(1 В теории функций комплексного переменного доказывается, что граничное значение Ф(е'А), — Л~Л(п> тождественно не где ~х„) а»,.' ( со и ортонормированная последовательность е = (е„) »=о обладает тем важным свойством, что Н„Я) = Н„(е), и ен Е.
(12) Представление (1!) означает (см. п. 3 3 3), что $, можно рассматривать как сигнал па выходе физически осуществимого фильтра с импульсной переходной функцией а=(а»), й)0, когда на вход подае~ся последовательность а = (е„). Как и всякая последовательность двустороннего скользящего среднего, регулярная последовательность имеет спектральную плотность 1(Л). Но то обстоятельство, что регулярная последовательность допускает представление в виде одностороннего скользящего среднего, позволяет получить дополнительную информацию о свойствах спектральной плотности. Прежде всего ясно, что гл 444 гл гь ст«пион«гиыв слячлиныа последовательности равной нулю функции Ф ~ Н' обладает тем свойством, что ~ 1и) Ф(ель))дЛ> — со, (1б) В рассматриваемом нами случае Р(Л) = —,' 1Ф (.-') Р, где Ф ен Н'.
Поэтому 1п 7' (Л) = — 1п 2п + 2 1и / Ф (ест) ~, и, следовательно, спектральная плотность 7(Л) регулярного процесса удовлетворяет условию $1 )(Л)дЛ-.— (17) — л С другой стороны, пусть спектральная плотность )(Л) такова, что выполнено условие (17). Опять-таки из теории функций комплексного переменного следует, что тогда найдется такая функция Ф(г) = У',а«г«, принадлежащая классу Харди Н', что «=о (почти всюду по мере Лебега) 7 (Л) = — 1Ф (е-'«) 1«. Поэтому, полагая <р(Л) =Ф(ел«), получаем 1(Л) = —,' 1Р(Л) 1«, где у(Л) задается формулой (13).
Тогда из следствия к теореме 3 й 3 вытекает, что последовательность 5 допускает представление в виде одностороннего скользящего среднего (11); где е=(е„)— некоторая ортонормированнав последовательность. Отсюда и из замечания к теореме 2 следует, что последовательность $ регулярна. Итак, имеет место Теорема 4 (Колмогоров), Пусть $ — нева«рожденная регулярная ста«(ионарная последовательность.
Тогда существует спектральная плотность 7(Л) такая, что ') !п)'(Л) Ю~ — оо. -я В частности, 7(Л) )О (почти всюду по мере Лебега). » 6 ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ФИЛЬТРАЦИЯ 445 Обратно, если 5 — некоторая стационарная последовательностпьи имеющая спектральную плотность, удовлетворяющую условию (18), пю эта последовательность является регулярной. 5. Задачи.
1. Показать, что стационарная последовательность с дискретным спектром (спектральная функция г ()о) — кусочно-постоянна) является сингулярной. 2. Пусть о'„=М ~ 3„— $„,», $„=М($„'Но($)). Показать, что если для некоторого п Ы о, =О, то последовательность $ является сингулярпои; если же .Нри и - оо о„' †» )т'(0), то — регулярной. 3. Показать, что стационарная последовательность 5 = ($,), 5„ =е'ип, где ор — равномерная случайная величина на [С, 2Л|, является регулярной. Найти оценку $„, величину о,', и показать, что нелинейная опенка дает безошибочный прогноз $„по «прошлому» $» =(..., $ „5»), т. е.
М ~ 5» — йи,'-— -О, и --=-1. 5 6. Экстраполяция, интерполяция и фильтрация 1. Экстраполиция, В соответствии с результатами предыдущего параграфа сингулярные последовательности допускают безошибочный прогноз (экстраполяцию) величин $и, п)1, по «прошлому» 5» = (..., $ „$о). Естественно поэтому при рассмотрении задач экстраполяции для произвольных стационарных последовательностей изучить сначала случай регулярных последовательностей. Согласно теореме 2 из э 5 всякая регулярная последовательность 5 = ($„) допускает представление в виде одностороннего скользящего среднего, 5=Х "- А=О с ~ ~ а„,' ( оо и некоторой обновляющей последовательностью »=-о е =(е„). Представление (1), как следует нз й 5, решает задачу нахождения оптимальной (линейной) оценки 5 = м (5, ( но ф), поскольку, согласно (5.8), $и= 2, 'а»е„„ (2) и — ! а„'=М )5„— 4„(» = Х~~ )а»1».
и=в 446 гл. У! СтАЦиОНАРНЫЕ СлУЧАЙныЕ посЛЕДОВАтеЛЬНОСТи Однако это решение можно считать лишь принципиальным решением в силу следующего Обстоятельства. Обычно рассматриваемые последовательности задаются не представлением (1), а с помощью задания их ковариационной функции )т(л) или спектральной плотности 1().) (которая существует для регулярных последовательностей).
Поэтому решение (2) можно признать удовлетворительным, если коэффициенты а»будут выражены через значения ет(п) или ~(),), а величины е» вЂ” через значения ...$»-» 8». Не затрагивая эту проблему в ее общем виде, ограничимся рассмотрением одного частного (но интересного для приложений) случая, когда спектральная плотность представляется в виде ~ ().) = р ~ б) (е-е») (4) где функция Ф(г) = У', Ь»г» имеет радиус сходимости г) 1 н ие имеет нулей в Области ! г ! ( 1.
Пусть (5) ее»" Я (Т().) -спектральное представление последовательности $ = (е„), п ее У,. Теорема !. Если спектральная плотность последовательности $ представимо в виде (4), то оптилеальная (линейная) оценка $„величины е„ло $»=(.,„$ м еь) задается формулой $„= ~ ~р„(),) 2(Ю), (6) где ф„(Х) = е'" —" Ф„(е 'А) Ф (е г») Ф„(е) = '5', Ь»г». »=» Доказательство. Согласно замечанию к теореме 2 р 3 всякая величина $„ ее Нь($) допускает представление в виде 3„= ~ ф„(л) г(й)д, ф„нн,(р), (8) где Нь(р) — замкнутое "линейное многообразие, порожденное функа=е~ ~о(е~ч-1~(ее) 4 е.
экстэлполяцпя, интвгполяция н еильтэлция 447 Поскольку М,~ ń— $„~'=М ~ ~ (е"" — ф„(Л)) 2(дЛ) )з=* = ~ (е'"" — ф„(Л) )'~(Л) дЛ, т. е. У„, =~ (е"" — ф„(Л))е-" 1(Л)бЛ=О, я~О. Следуюшая цепочка равенств показывает, что это действительно так~ г е7„(,-ц) з — епп "о г1 — л ~ <р(е а) 'ч Л 2п Ф (е-ц) — к — ' ~"- ~ Я ( ' ) — Ф„(~-' )) Ф (~' ) бЛ = 2л,~ 7э, га е л — ! С) — <-.~ 2;м-т" ~ни )е- 1 2я Д =о э=е ч п-1 «О 2п,) — ° 2„ь.'~ ~ ~в~ )а=о 1 г е [ — 1 и =е -е то доказательство оптимальности оценки (6) сводится к доказа- тельству того, что (и( . ~ (е'"" — ф (Л)('~(Л)Ю= ~ ~ец" — ~р„(Л) 7" (Л)г(Л. (9) ч ~и (Р) — л и е Л Из теории гнльбертовых пространств (2 11 гл.
1!) следует, что оптимальная (в смысле (9)) функция ф, (Л) определяется двумя условиями: 1) Фи (Л) е= На (г ) (1О) ею3.л ф (Л) ( Н (р) Поскольку еэ."бз„(е-ьт) =еж" (б е-""+6 е-но+О+...)~ Н,(р) и аналогичным образом,в ц ~ Н,(Р), то функция ф„(Л), опре- деленная в (7), принадлежит классу Не(Р). Поэтому для доказа- тельства оптимальности функции ф„(Л) достаточно лишь проверить, что для любого т= О е"" — ф„(Л) 1 е'""', 448 гл, ть стлционхеиые слхчхиные последовательности где последнее равенство следует из того, что для гп ~ 0 и г ~ 1 и е-глте л'.
г(), () — юс Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Разлагая функцию ф„(Л) в ряд Фурье ф„(Х) =Со+С 1е-а+С,е-"х+, .., находим, что прогноз $, величины $„, и ~ 1, по прошлому йо = = (..., 5 „$е) определяешься формулой $п = С~ДО+С-Д-1-~-С Й а-1- ". 3 а меч а н не 2. Типичным примером спектральной плотности, представимой в виде (4), является рациональная функция где полниомы Р(г) =а,+а,г+...+аеге и Я(г) =1+Ь,г+...+беге не имеют нулей в сбласти (ее ! а~ ==1). Действительно, в этом случае достаточно положить Ф(г) = = Р (г)Я (г). Тогда Ф (г) = ~ Сэг', причем радиус сходимости этого г,=-О ряда больше единицы.
Приведем два примера, иллюстрирующих теорему 1. Пример 1. Пусть спектральная плотность ) ()4 = — (5 + 4 соз Х). Соответствующая ковариацнойная функция )х(п) имеет «треугольный» вид: й(0)=5, И(+1)=2, й(п) 0 при ~п()2. (11) Поскольку рассматриваемая спектральная плотность может быть представлена в виде 1А) = —,„~ 2+.-~~~*, ! то возможно применение теоремы 1. Легко находим, что ф,(Х) =е'х — ~~, ф„(Х) =О при л~ 2. (12) Поэтому для всех и ==: 2 $„=0, т.
е, (линейный) прогноз значения $„по е' ° (..., е м е,>) является тривиальным, что совсем неудивительно, если заметить, что, согласно (11), корреляция между $„и любой из величии $„~ „... равна нулю для п~2. $ г экстглполяцпя, интеРполяцпл и фильтаациг 449 Для и =1 из (б) и (12) находим, что 2+4 — Х а (((М = — „г(б))- ~ — 2,„~е-' лЖ- ~-~ ( гО ( — !)»4» ! 1 $о 9-г+ ° ° 2»»' 2" 4 П р и и е р 2. Пусть ковариационная функция )4(п) а", (а(«1. Тогда (см.
пример б в $ 1) Р(х) =— 1 1 — )а» 2л ) ! — ае-~»,г ' т. е, где (1 — ~ а Р)!гг Ф(з) (1 ~ ~1 (1 ~а~~)!!г ~! (аз)» откуда ф„(Х) =а» и, значит, $а= ~ а"ЛфХ) =а'$,, Иначе говоря, для прогнозирования величины $а по наблю. дениям а'=(..., 9 „9,) достаточно знания лишь последнего наблюдения Еа, Замечание 3. Из разложения Вольда регулярной последовательности 9= Ба) с ьа =,~~ а»ьа-» »=о (13) где Ф(г) = ~"„а»г». »=О (1б) следует, что спектральная плотность (()) допускает представление ~(),) = — (Ф(е-гх) 1», (14) 45о Гл, те стлцнонлРные случайные НОследоелтельностн Очевидно, что и обратно, если 7()) допускает представление (!4) с функцией Ф(г) вида (15), то разложение Вольда для $, имеет вид (13).
Таким образом, задача представления спектральной плотности )().) в виде (14) и зздача отыскания коэффициентов аэ в разложении Вольда эквивалентны. Сделанные в теореме 1 предположения относительно функции Ф(г) (отсутствие нулей в области !а ~ ~1 и г) 1) на самом деле не нужны для ее справедливости. Иначе говоря, если спектральная плотность регулярной последовательности представлена в виде (14), то оптимальная в среднгквгдратическом смысле оценка $„ величины $, по 4'=(..., $ н Е,) определяется формулами (6) и (7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
