1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 77
Текст из файла (страница 77)
4. Задачи. 1, Показать, что для схемы (1) векторы и„ и О„ — лг, не коррелироваиы: М (гн» (Π— лг»)1 = О. 2. Пусть в схеме (1) у, и все коэффициенты, за исключением, быть может, коэффициентов а,(л, О), А,(л, О), не зависят от «случая» (т. е. от ~). Показать, что тогда условная ковариация у„также не зависит от кслучая»: У„=МУ„. 3.
Показать, что решения системы (22) задаются формулами (23). 4 Пусть (О, з) =(О„, 5„) — гауссовская последовательность, удовлетворяющая следующему частному виду схелгы (1): О„.лг=аз„+Ье (и+1), Ц„г»=АО„+Ве,(н+1). Показать, что сслп А ~ О, Ь ~ О, В ~ О, то предельная ошибка фильтрации у = 1пп у„существует и определяется как положи- » ОР тельный корень уравнения ГЛАВА У11 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ОБРАЗУЮЩИЕ МАРТИНГАЛ й !. Определения мартингалов и родственных понятий 1, Исследование зависимости между случайными величинами осуществляется в теории вероятностей разными способами. В теории стационарных (в широком смысле) случайных последовательностей основным показателем зависимости является ковариациоиная функция и все выводы этой теории полностью определяются свойствами этой функции, В теории марковских цепей 5 12 гл. ! и гл.
У1!1) основной Характеристикой зависимости служит переходная функция, которая полностью определяет эволюцию случайных величин, связанных марковской зависимостью. В настоящей главе (см. также ~ 11 гл. !) выделяется достаточно обширный класс последовательностей случайных величин (мартингалы и их обобщения), для которых изучение зависимости проводится методами, основанными на исследовании свойств условных математических ожиданий. 2, Будем предполагать заданным вероятностное пространство (11, У, Р) с выделенным на нем семейством (,У „) а-алгебр У'„, и= 'О, таких, что У, с=,У, с="...
с= д'. Пусть Х„ Х,, ... — последовательность случайных величин, заданных на (П, У, Р). Если для каждого п="О величины Х„ являются,У„-измеримыми, то будем говорить, что набор Х =- =*(Х„У„), и-"О, или просто Х=(Х„, У„) образует стохастаческую последовательность. Если стохастическая последовательность Х =(Х„,,У'„) к тому же такова, что для каждого п)1 величины Х„являются У„,- измеримыми, то будем это записывать в виде Х=(Х„, .У'„,), считая,У, = У;, и называть Х предсказуемой последовательностью.
Такая последовательность будет называться возрастаю- и!ей, если Хе=О и Х„== Х„,, (Р-п. н.). Определение 1. Стохастическая последовательность Х =- = (Х„, У„) называется мартингалом (субмартингалом), если дли гл. Рн, м»РтннГАлы всех п)0 М ) Х„) ( со, М(Х„+1 ~ У'„) = Х„(Р-п. н.). г>г (2) ~ Х„гг г(Р = ~ Х„г(Р. А ЖА П р и м с р 1. Если ($„),~о — последовательность незавггсггэгг х случайных величин с М$„=0 и Х„=1,+...+$„,У„= = о гьи е„ ..., $„), то стохастическая последовательность Х =-(Х„,,У „) образует мартингал. Пример 2.
Если ($„)„~з — последовательность независимых случайных величин с М$„= 1, то стохастнческая последовательность Х=(Х„,,У„) с Х„=П $м .У„=о(ен $„..., й„) также е=-а образует мартингал. Пример 3. Пусть й — случайная величина с МгЕ,г(оо и ,У,: †,У, ы ...: — У'. Тогда последовательиосгь Х = (Х„, ,У „) с Х„ = М Я г,У„) являегся мартингалом. П р и м е р 4. Если ($„)„з — последовательность неотрицательных игпегрируемых случайных ве:шчин, то последовательность (Х„) с Х„= $, +... + $„образует субмартипгал.
Пример 5. Если Х=(Х„, У'„) — мартпнгал и д(») — выпуклая книзу функция с М~д(Х„)~(оо, 11=-0, то стохастическая последовательчосг ь (п(Х„), У „) является субмартпнгалом (что следует из неравенства Иенсена). Если Х=(Х„, У'„) — субмартннгал, а д(») — выпуклая книзу неубывающая функция с М ~ и(Х„)' ,( со для всех и ть О, то (д(Х„), У„) также является субыартннгалом. сделанное в определении 1 предполохгение (1) гарантирует существование условных математических ожиданий М (Х„+, ~,У „), и =-.
О. Однако эти условные математическяе ожидания могут сугцествовать и без предположения М ! ХА н ! ( со. Напомнггм, Стохастическая последовательность Х (Х„, У',) называется суггерзгартинаа гозг, если последовательность — Х = ( — Х„,,У „) есть субмартнигал. В том частном случае, когда У„У», где У»=а(ок Х,,... ..., Х„), и стохастическая последовательность Х = (Х„У») образует мартингал (субмартингал), будем говорить, что сама последовательность (Х„)„~а образует мартингал (субмартингал), Из свойств условных математических ожиданий легко выводится, что условие (2) эквнвалентно тому, что для любого а)0 и А е=,У„ 4 ь опввдаленпв млятингхлов и годстввнных понятии 4за что, согласно $ 7 гл. 11, М (Х+, ~ ( У'„) и М (Х„ч.~ ! У'„) определены всегда, и если (мы пишем А=В (Р-п.н.), когда Р(АЛ В)=0) (ен М(Х+„.~ !,У'„) «-оо)()(вн М(Х„-! У„) ~со)-1) (Р-п.
н.), то говорят, что М(Х„чч!,~„) также определено и по определению полагают М(Х, ! У',) =М(Х:+ ( У„) — М(Х,+ ! У'„). Исходя из этого, становится естественным следующее Определен не 2. Стохастическая последовательность Х (Х„, У „) называется обобщенным мартингалом (субмартингалом), если для каждого и) 0 определень1 условные математические ожидания М(Х„„!..У„) и выполнено условие (2). Заметим, что из этого определения вытекает, что для обобщенного субмартингала Ы (Х„1 !.У „) ( оо, а для обобщенного мартингала М (! Х„+,)! У„)(со (Р-п. н.).
3. Вводимое в нижеследующем определении понятие марковского момента играет исключительно важную роль во всей рассматриваемой далее теории. Определение 3. Случайная величина т=т(оо), принимающая значения во множестве (О, 1, ..., (-со), называется марковским моментом (относительно системы (к„)) или случайной величиной, не зависяи!ей от будушрго, если для каждого п: 0 (т=а) е= У„. (4) В случае Р(т(сс)=1 марковский момент т будем называть моментом остановки.
Пусть Х = (Х„, У „) — некоторая стохастическая последовательность и т — марковский момент (относительно системы (.У „)). Обозначим Хл7м=т (<о) л.= о (тем самым Х, = 0 на множестве (ы: т = со)). Тогда для каждого В ~Ю Д) (вп Х,яВ) = 'У, '(Х„~ В, т=а) я У, =о и, следовательно, Х, является случайной величиной. Пример 6. Пусчь Х-(Х„,,~„) — некоторая стохастическая последовательность и В а=Я()с). Тогда момент (первого попадания в множество В) тз = !и! (и ) 0: Х„~ В) 470 Гл. у!!. мл(>тиигллы (с та=+ со, если ( ) = ф) является марковским, поскольку для любого и~О (тв=п)=(Х, ф В, ..., Х„, ф В, Х„енВ) я 7„.
П р и м е р 7. Пусть Х = (Х„,,У „) — марти игал (субмартингал) и т — марковский момент (относительно системы ( У „)). Тогда «остановленная» последовательность Х' = (Х„~„,У „) также образует мартингал (субмартингал). В самом деле, из соотношения « — ! Х»>(» = ~~ Х»>! (»=- ») + Х»((»~») »> — —. 0 следует, что величины Х„А,,У„-измеримы, интегрируемы и Х(» (-()д» Х«л > = ~(»»») (Х»+! Х»)> откуда М(Х(»+!)д» Х»/» ~«У «) !(»>«) М(Х„+! — Х» ~ У л(=() (~! С каждой системой (~„) и марковским моментом т относительно ее можно связать совокупность множеств ,У, = ( А е,У: А П (т = и) еи .У „для всех и э О).
Ясно, что Й с= Х» и У, замкнуто относительно взятия счетных объединений. Кроме того, если А ~,У „то А () (т = и) = = (т = п) ', (А () (т = и)) «=,У „и, значит, А е:— У,. Отс«ода следует, что ~ » является о-алгеброй. Если трактовать,У „ как совокупность собьпий, наблюдаемых до момента времени и (вкл«очи»ельне), то тогда,У, можно представлять как совокупность событий, наблюдаемых за «случайное» время т. Нетрудно показать (задача 3), что случайные величины т и Х, являются,У,-измеримыми.
4. Оп р еде ле н и е 4. Стохастическая последовательное)ь Х = (Х„, >У „) называется локальнь«л» мартингалом (сцбмартингалом), если найдется такая (локализуюшая) последовательность (т»)»~! марковских моментов, что т»~т»«! (Р-п. н.), т»тсо (Р-п. и.), й — » сю, и каждая <остановленная» последовательность Х ь =(Х»лл 1(»„>ь), У'„) является мартингалом (субмартингалом). Ниже в теореме 1 показывается, что на самом деле класс локальных мартиигалов совпадает с классом обобщенных мартин- галов. Более того, каждый локальный мартингал может быть получен с помощью так называемого мартингального преобразо- з г, опавделениа млгтигггьлов и годстввнных понятии 471 ванна из некоторого мартингала и некоторой предсказуемой последовательности. Определение 5.
Пусть У=(У„,,У„)л~ь — стохастическая последовательность и У = (У„,,У „„) — предсказуемая последовательность (У г =:У;). Стохастическая последовательность У У = -((У. У)„, У„) с ' л (У.У)„=У,1;+ У, 'У,ЛУн г.= 1 (5) М [) Х ~,, ~ 1г,„ьг] < оо, (6) и тем самым М[,Хг„л.ггг„л~1г,„)лг1=М[,'Х.ы'11,,>„г) =со. (7) Случайная величина 1г, ~„г является,У„-измеримой, Поэтому из (7) следует, что М[,.Х„„~1„, „, ~.У„1=1„„ь„гМРХ„л,!1,У„)< (Р- ..).
Здесь 1г,л~„г-к1 (Р-п. н.), я-+.оо, и значит, М[~ Х,лг/,',У,)(со (Р-п. н.). (8) В силу этого условия М[Х„+г~,У„1 определено и осталось лннгь показать, что М [Х„.„ /,У„1 = Х„ (Р-и. н.). Поскольку Х'л — мартингалы, то для любого множества А ен ен„.У'„из (6) находим, что величины Х„лг1гтл>,1 и Х„1ггл- 1 интегрируемы и Х„,гйР= ~ Х г(Р. АП 1гл).1 ли [гл) п1 где ЛУг=Уг — У; „называется преооразованием У с помощью У, Если к тому же У вЂ” мартингал, то говорят, что У У есть мартингальыог ггреобразование. Теорема 1.
Пуспгь Х =(Х„, У„)„~ь — стохастическая последовательность с Х =О (Р-п. и.). Следугощие условия являются зквивалентными: а) К вЂ” локальный лгарпгингал; Ь) Х вЂ” обобгченный март ингал; с) Х вЂ” есть лгартиыгальног преобразование, т. е, существуюпг предскозуемал последовательность У=(У„, У„г) с У,=О и мартингал У= (У„,,У„) с У,=О такие, что Х= У ° У. Доказательство, а) ==> Ь). Пусть Х вЂ” локальный мартингал и (тл) — его локализуюпгая последовательность марковских моментов. Тогда для любого т'=:О Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
