1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Замечание 4. Теорема 1 (вместе с предшествующим замечанием) дает решение задачи прогноза для регулярной последовательности. Покажем, что иа самом деле тот же ответ остается в силе и для произвольной стационарной последовательности. Точнее, пусть $„ = $' + $', $„ = ~ е'хХ (с(Х), г (Л) = М ~ Я (Л) ' и ~'().) = — Е)Ф(е-'")!Р— спектральная плотность регулярной последовательности с'=(Ц).
Тогда оценка 1„определяется формулами (6) и (7). В самом деле (см. п. 3 5 5), пусть где с'(Л) — ортогональная стохастическая мера в представлении регулярной последовазельности $'. Тогда ) $ !е"" — ф„(Х))'~'().) 5().~ ) !еи — ф„'(Х) ~'7"'(Л) Ю= (16) Ио $„— $„= $„' — $', поэтому М ' $„— 5„,:~ = М ~;„' — а„'!~, и из (16) следует, что в качестве ф„(Х) можно взять функцию ф„'()). 2.
Интерполяция. Будем предполагать, что е=(с„) — регулярная последовательность со спектральной плотностью )'(А). Простейшей задачей интерполяции является задача построения оптимальной (в среднеквадратическом смысле) линейной оценки по результатам наблюдений Д„, л = +. 1, -+- 2,,.
) «пропущенного» значения $,. % е экстглполяция, интвеполяцпя и еильтьлцпя лз! Обозначим через Н' ф — замкнутое линейное многообразна, порожденное величинами $„, и~0. Тогда в соответствии с теоремой 2 $ 3 всякая случайная величина т) ~ Н' (с) представимо в виде ц= ~ ф(Л)г(дЛ), где ф принадлежит Нь(г) — замкнутому линейному многообразию, порожденному функциями е"", и ~0, и оценка $,- ~ Ф(Л)г(дЛ) будет оптимальной тогда и только тогда, когда !и! М ~ $, — ~)!ь = !и! ~ ! ! — ф (Л),' г" (дЛ) = ченчи ее и (е~ д = ~ '1 — Ф(Л) ~ Р(дЛ)=М!Ь вЂ” $ь!.
1Лз свойств «перпендикуляров» в гильбертовом поостранстве Нь(Р) вытекает, что функция ф(Л) полностью определяется (ср. с (16)) двумя условиямп " (Л) е- Но (с) 2) 1 — ф().) ! Н'(г), Теорема 2 (Колмогоров). Пусть $=Я„) — регулярная последовательность с (19) Тогда (20) ф(Л) =1-— ) 1Л) ' где (21) и ошибка ииглерполяиии 6' = М ~ $ь — $ь !~ задается формулой б' = =2л а. Доказательство проведем лишь при весьма строгих предположениях относительно спектральной плотности, считая, что 0<с(7'(Л) =.С<со. (22) 4З2 гл. ть стхционляныа слгчлпныа посладовлтвльностн Из условия 2) в (18) следует, что для любого ичьО ~ [1 — ф () )[ем' [ (Х) оО. = О.
(23) В силу предположения (22) функция [1 — ф(Х)11(Х) принадлежит гильбертову пространству 1,о([ — л, л1, 9[ — л, л[, 1о) с мерой г еал Лебега р. В этом пространстве система функций [=, п =О, 1 3' 2я -+ 1, ...~ образует ортонормированный базис (задача 7 5 11 гл. П). Поэтому из (23) следует, что функция [1 — ф())11(Х) есзь константа, которую обозначим а. Изак, второе условие в (18) приводит к тому, что 1(Ч (24) Исходя из первого условия в (18), определим теперь константу а, В силу (22) фен У н условие ф я Но(Р) равносильно условию, что ф принадлежит замкнутому (в смысле нормы в !.о) линей- номУ многообРазию, поРожденномУ фУнкциЯми ео.", и чь О.
Отсюда ясно, что нулевой коэффициент в разложении функции ф().) должен быть равен нулю. Поэтому О= ~ ф())а).=2л — а ~— г сх 3 1(х) и, значит, константа а определяется формулой (21), Наконец„ б =М'~Ь-Ь!'= ~ ~1-ф())И(~)() = -л ,, Г 11Х) 4иг -,'а~' ~ —,,1Л= 5 1о(Л! 5 1 !х) Теорема (при дополнительном предположении (22)) доказана. Следствие. Если ф (),) - .У, 'сое™, о<пи <и $, = ~ч~ с ~ еаоя (сй) = ~ч ', со$о. о< Ы~<лг -я о<~о1~и з в.
экствдполяция, интняполяция и еильтялцггя юз Пр имер 3. Пусть г(Л) — спектральная плотность из рассмотренного выше примера 2. Тогда нетрудно подсчитать, что а ошибка интерполяции равна б' = =1+,ил' 3. Фильтрация. Пусть (В, $) = ((0„), Д„)), и ен д„— чоспгггчно нпбл~одаегггал последовательность, где В = (0,) — ненаблюдаемзя, а $=(~„) — наблюдаемая компонента. Каждая нз последовательностей 0 и 5 будет предполагаться стационарной (в широком смысле) с нулевыми средними и спектральными представлениями ~ вгьгЯ (г(Л) еь ~ вгглт„(г(Л) соответственно.
Обозначим Р,(Д)=М~3,(Л)г, Гь(Л)=:М~гь(Л), и Рггь(Ь) =МЛ (Л) 2 (Л). Кроме того, будем спггтать также, что 0 и ~~ сгпиг1ггонарно ввязаньй т, е. их функция ковариации соч (О„, $ ) = МО ч„зависит лишь от разности и — т. Обозначим йгггь(п) =МО,,чы тогда )(г„в (и) ~ вггл)г „гг(Л) Рассматриваемая задача фильтрации состоит в построении оптимальной (в среднеквадратическом смысле) линейной оценки О„величины О„по тем или иным наблюдениям последовательности с. Совсем просто эта задача решается в предположении, что оценка В„строится по всем значениям $, т ~ 2,'.
Действительно, поскольку В„=М(0„1Н($)), то найдется такая функция ф„(Л), что О„= ') ф„(Л) 30(Ю.). (2бг 454 гл. гь стлционлгныв сличлпныв послвдовлтвльностн Как и в пп. 1 и 2, условия, которым должна удовлетворять «оптимальная» функция фр„(Л), состоят в том, что: 1) ф„(Л) ~ Н(Г4), 2) 0„— 0„) Н(з). Из последнего условия находим, что для любого о«ен У, ~ е'М'-»ОГе, (е(Л) — ~ е-мафр„(Л)Е4 (г(Л) = О. (26) Поэтому, если предположить, что функции Ра»(Л) и Г;(Л) имеют плотности )ез(Л) и 74(Л), то из (26) получим его«-т) [) (Л) е-о»ф (я ) ) (я,)1 дя О Если «т (Л) ) О (почти всюду по мере Лебега), то отсюда сразу находим, что ф (Я) — ец«гр (Я) (27) где ф(Л) =7 4(Л) 71'(Л) и Д(Л) — «псевдообращение» 14(Л), т.
е, гв(Л) 1)4 (Л) 14(Л)~О 74 ( ) = '( О, ), (Л) = О. Прн этом ошибка фильтрации й0~0» — 0»~ = ~ ()о(Л) — ~«ь(Л));.'(Л)1Ю (28) 1(ак нетрудно проверить, ф„я Н(Рь) и, следовательно, оценка (25) с функцией (27) является оптимальной. Пр имер 4. Выделение сигнала из смеси с шумом.
Пусть $„= 0„+ «1„где сигнал 0 = (О„) и шум т1 = (Ч„) являются некор- релированными последовательностями со спектральными плотно- стями )е(Л) и Дя(Л). Тогда 0„= ~ ец"ф(Л) Ль(е(Л), где ф (Л) = ре (Л) 1)э (Л)+1„(Л)1 и, а ошибка фильтрации М,'0.— 0.~'= $ Ь(Л)УчРМРе(Л)+Уч(Л)РдЛ е 6. ЗКСТРЛПОЛЯЦИЯ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ФИЛЕ ТРАЦПЯ 455 Полученное решение (26) можно теперь использовать для построения оптимальной оценки 0п+ величины 0», по результатам наблюдений Вп, я =.и, где т — некоторое заданное число из л.. Предположим, что последовательность я= (сп) регулярна со спектральной плотностью (()д=,— ',)Ф(е- д где Ф(г) = ~Ч~ ~апгп. Согласно разложению Вальда и-о ьл = ~п алел-п~ п=о где а=(еп) — белый шум со спектральным разложением и Ел= $ Е'"лЛе(ай).
Поскольку О„,. = 0й (0„,,„ ~ Нп (я)) = М [0й (0., ~ Н (Я)) ~ Н„ (е)) = М Г О... ~ Н. (Е)1 и 0»„=* ~ Еаы' ~ф(Х)Ф(Е-")Ее(С(Х)=,У, 'дпл -ЕЬП А<л+ле где = — ~ ееьпес (А) Ф (е-") Ю„ (29) то 0»е,л=й~ )~~ Й еп пап~Не(Е)1 ) п(л-Рл Но Н„(й) =Не(е), и, значит, 0п+ =,'5; дпе~-Реп= ~ ~ ~ алел-пе'"'~2е(ай) = *(л — л!л~л = (П (т.
е, "ь1)»л( )е,щ, -п И=О где Фп — псевдообращение Ф. Итак, доказана следующая Теорема 3. Если наблюдаемся последовапмльность $=(я„) является регулярной, то оптимальная (в средненвадрати»елкам смысле) линейная оценка 0,е величины О„~„по $п, я(п, задается ЧЬВ гл, ть стхцяонлгныа слэчлнныа послвдовлтвльности Формулой 0„~ = ~ е'~"Н (и-'~) 31(оЛ), (30) где Н„(е-ц) = ~ч , 'й,„е- ыФш(е-ц) (31) и коэффициенты а„определяютея е (29). 4. Задачи. 1. Пусть 2 — невырожденная регулярная последовательность со спектральной плотностью (4).
Показать, что Ф(г) не имеет нулей при ~ г ! ~ 1. 2. Доказать, что утверждение теоремы 1 сохраняет свою силу и без предположений, что Ф(г) имеет радиус сходимостп г) 1, а нули Ф (г) лежат только в области ! г ~ ) 1. 3. Показать, что для регулярного процесса функция Ф (г), входягцая в (4), может быть представлена в виде где е„= — ~ ~м~ !п((Л) оЛ. 4. Дать доказательство теоремы 2 без предположения (22). 5.
Пусть некоррелированные сигнал 8 и шум и имеют спе. ктральные плотности 2п ',1-1-Ьенх1' ' 'ч' ' 2з ',1+Ь~енх1~ Опираясь на теорему 3, найти оценку б„величины В„+„по значениям $м е-= а, где Ел = Вь+пю Рассмотреть ту же задачу для спектральных плотностей та(Л) = — !2+е-ц!'> Ц(Л) = —. 1 2п ' " 2н Вывестн отсюда и из (5.9), что ошибка прогноза на олин шаг о', =М! $,— 2л ~' задается Формулой Сеге — Колмогороеа $ Т. ФИЛЬТР КАЛМАНА Б!!ОСИ И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ 457 9 7, Фильтр Калмана — Бьюси и его обобщения 1. С вычислительной точки зрения данное выше решение аадачи фильтрации ненаблюдаемой компоненты 0 по наблюдениям 9 не является удобным, поскольку, будучи выраженным в спект! Бльных терминах, оно для своей реализации требует обращения к аналоговым устройствам.
В схеме, предложенной Калыаном и Бьюси, синтезирование оптимального фильтра осуществляется рекуррентнь!м способом, что дает возможность реализации с помощью цифровых вычяслительных устройств. Есть и другие причины, обусловившие широкое применение фильтра Калмана— Бьюси. Одна из них состоит в том, что он сработает» и без предположения стационарноспш последовательностей (0,Е). Киже будет рассматриваться не только традиционная схема Калмана — Бьюси, но также и ее Обобщения, состоящие в том, что в рекуррентных уравнениях, определяющих (0, Е), коэффициенты могут зависеть от всех прошлых наблюдаемых данных.
Итак, будем предполагать, что (9, 9) = ((О„), ($„)) есть частично наблюдаемая последовательность, причем 9„=-(0,(п), ..., 0»(п)), 9„=(9»(п), ..., 0!(и)) управляются рекуррентными уравнениями 0„„а,(п, Е)+а,(п, $) О,+Ь,(п, $) Б,(п+1)+ + Ь» (и ь) Б» (и+ 1) 1 Еем= А»(п, Е)+ А,(п, Е) 0„+В,(п, Е) Б,(п+ !)+ + В (и, Е) е, (и + 1). Здесь е,(п) =(Бн (и), ..., е„„(п)), е,(п) =(ем(п), ..., Е„(п)) — неза- висимые гауссовские векторы с независимыми компонентами, каж- дая из которых имеет нормальное распределение с параметрами 0 и 1; а»(п, Е) =(а„(п, 9), ..., а»ь(п, $)) и А,(п, Е) =(Ам(п, Е), ...
... „Ам (и, Е)) — вектор-функции, где зависимость от 3 = Я„$„...) входит неупреждающим образом, т. е. для фиксированного и ам(п, Е), ..., Ам(п, 9) зависят лишь от Е„..., 9„; А!а.!рн шые функции Ь,(п, Е)=;"Ь))'(!!, Ц)1, Ь,(п, Е)='„'Ц (п, $)(, В! (и, Е) =! В,'!и (и, Р) !„В. (и, Р) =)В!)з (и, Б»)(, а,(п, Е) =!!а))'(и, Е)>~, А,(п, $) =(А,',"(и, $)! имеют порядок пхл, Ьх(, !хл, !х(, пхй, !хй, соответс!венно, и также неупреждающнм образом зависят от Е, Предполагается также, что вектор начальных данных (йм Е») не зависит от после- довательностей е, =(е,(п)) н с,=(е,(п)).
Для простоты изложения указание на зависимость козффицнен- тов от Е в дальнейшем часто будет опускаться, 458 гл ш стАцИОнАРНЫЕ СЛУЧАПныв Последовзтел1НОСти Чтобы система (1) имела решение с конечным вторым моментом, будЕМ ПрЕдПОЛататЬ, Чта М()0а(а+13Ь))(ОО [(Х1(а= ,'~Р Х,'=, с=~ А =(хн ..., х,)), )а))'(л, $))==С, 1АД'(и, 0)[~С, и еслпд(л, $)— гиобая из функций аьо Ако Ь)Р, Ь,'у, В~)', ВД', то М',д(л, К)," =со, п ==О, 1, ... В этих допущенйях последовательность (8, 5) такова, что и М ((9„1'+(О„)') <со, и= О.
Пусть, далее, Уа = а (ьп О„..., $„) — наименьшая а-алгебра, порожденная ьеличипами Оа, ..., $„, и т„= М(О„:.У „"), у„=-М [(΄— лг„) (9„— т„)* [ У ~1. Согласно теореме 1 0 8 гл. П лы=(т,(а), ..., т,(л)) является оптимальной в средпеквадратичсском смысле оценкой вектора О, =(О, (а), ..., Ол(л)), а Муа = М((0„— та) (΄— та)*1есть матрица ошибок сценпвания. Отыскание этих величин для произвольных последовательностей (8, 2), управляемых уравнениями (1), является весьма трудной задачей. Однако при одном дополнительном предположении относительно (О„йа), состоящем в том, что условное распределение Р (8„= а($а) является гауссовским, а о — ачн Р(0, -а~гаа) == ~ е гт' дх О=,ЕО ==,—, с параметрами т„=та(5а), у,=у,(йа), для т„и у„можно вывести систему рекуррентных уравнений, включающих в себя и так называемые уравнения фильтра Калмана — Бьюсп, Прежде всего установим один важный вспомогательный результат, Лемма 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
