1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Предположим, что на вход фильтра подается стационарная случайная последо- В соответствии со свойством (2.14) )е (ф„) — е йр)(-»-0, и так как т)„=а (гр„)„то «1=а (<р) (Р-п. н.). Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Пусть Н, (5) и Н, (г) — замкнутые линейные многообразия, порожденные величинами $„и функциями е„соответственно для п(0. Тогда, если ЧенН»(5), то найдется такая функция грен Н,(г), что (Р-п.
н.) «1= ~ ~р(Л)2'(аЛ). 3. Формула (18) описывает структуру тех случайных величин, которые получаются из с„, и ~ Я, с помощью линейных преобразований, т. е. в виде конечных сумм (19) и их пределов в среднеквадратическом смысле. Частный, но важный класс таких линейных преобразований задается с помощью так называемых (линейных) фильтроз.
Предположим, что в момент времени т на вход некоторой системы (фильтр) подается сигнал х, при этом реакция системы на этот сигнал такова, что на ее выходе в момент времени и получается сигнал й(п — т) х, где й=й(з), з ~ х,. — некоторая комплекснозначная функция, называемая импульсной переходной функцией (фильтра). Таким образом, суммарный сигнал у„на выходе системы представляется в виде 424 гл ю стАциОнАРные случАиные пОследОВАтельнОсти вательность $=($„), пее У„с ковариационной функцией 77(п) и спектральным разложением (2). Тогда, если й(Ф) )с (е — () й(() (ОО, (25) А, 1= — ~о то ряд 'У', й(п — т) $ сходится в среднеквадратическом смысле и, следовательно, определена стационарная последовательнссть и =(и,) с и (п — т) е„, = ~х„й (т) 5„, (26) В спектральных терминах условие (25), очевидно, эквивалентно тому, что р()) Е=(.'(г"), т.
е. ~ ~~().) ~Ч(бЛ) < (27) При условии (25) или (27) из (26) и (2) находим спекгральное разложение последовательности Ч: и„= ~ е""Ч () ) 2 (дХ) (28) Следовательно, ковариационная функция )7 (и) последовательности т) определяется формулой )7ч(п) = ~ е'"" ~ ~р ().) я г (г().). В частности, если на вход фильтра с частотной характеристикой ~р=я~()) подается белый шум е=(е„), то на его выходе будет получаться стационарная последовательность (скользящего среднего) т)„= ~ч~ й (т) е„ (30) со спектральной плотностью Р () ) = — „, ! ч ()~) ~'.
Следующая теорема показывает, что в определенном смысле всякая стационарная последовательность со спектральной плотностью есть последовательность, полученная с помощью скользящего среднего, $3 спектРАльнОе пРедстлаленне последОВАтельностен 425 Т е о р е м а 3. Пусть т) = (т)„) — стационарная последовательность со спектральной олотностью )р(Л). Тогда (быть может, эа счет расширения исходного вероятностного прогтранетва) можно найти такую последовательность е = (е„), являюи!уюся белым шумол!, и такой фильтр, чпю справедливо представление (30). Дока за тельство. По заданной (неотрицательной) функции Гч(Л) найдем такую функцию ср(Л), что (ч(Л) = — ~ «р (Л) ('.
Поскольку ! ),'ч(Л) дЛ<ОО, то ср(Л) сей«((А), где р — мера Лебега на ( — и, п). Поэтому ее можно представить в виде ряда Фурье (24) с Ь(п!) =- юех 2л,! — ! е™А!р (Л) дЛ, причем сходимость понимается в том смысле, что ср (Л) — '5', е-' й (т) йЛ -~ О, и -~ со. Пусть т)„= ~ е""Л(«(Л), п~ У,. Наряду с мерой 2 = Я (Л) введем в рассмотрение не зависящую от нег новую ортогональную стохастическую меру Л =-Л(Л) с М~2(а, Ьф« =- ь — а — (Возможность построения такой меры предполагает, 2п вообще говоря, что исходное вероятностное пространство является дсстаточио «богатымм) Положим 2(Л) = ~2!Ф(Л) 2(дЛ)+ ~() «ро (Л), (Л)) 7(дЛ) ь А где а-', если а чь О, а!э = О, если а=О. « Стохастическая мера Я =г. (б) является мерой с ортогональными значениями, при этом для всякого Л=(а, Ь) Ьй ( 2 (б) !г = - — ~ ~ рш (Л) !« ~ р (Л) ~«дЛ + — ~ ) ( — р~ (Л) р (Л) ~* дЛ вЂ” ~ ь ь где ~ Л ) = Ь вЂ” а.
Поэтому стационарная последовательность а = =(е„), пьнд„с ь«хлЯ (ЛЛ) — п является белым шумом. 426 гл. ш стхционхриые сличенные последовлтельности Заметим теперь, что (31) и, с другой стороны, по свойству (2.14) (Р-п. н.) лиха (р,! я (~ц~) ~ е1хп( ~ е-!хай (т)~я (д~) -л Л бТ= ОЭ й(т) ~ еа~"- 'Л(Ы)= .у, !1(т)е„ что вместе с (31) доказывает представление (30). Теорема доказана. Замечание. Если )„(Х))0 (почти всюду по мере Лебега), то введение вспомогательной меры Я = Я (о) становится излишним (поскольку тогда 1 — ср~~э(Х) ср(Х) =0 почти всюду по мере Лебега) и оговорка относительно необходимости расширения исходного вероятностного пространства может быть опущена.
С л е д с т в и е 1. Пусть спектральная плотность 1„(),) ) 0 (почти всюду по мере Лебега) и 2л~Р( )~ ' где ~р().) = ~ е-ш"6(А), 'у', (й(1г) ~о(оо. о=о о=о Тогда последовательность и допускает представление в виде одно- стороннего' скользящего среднего Чл=,'У )т(т) е -и ги=о В частности, пусть Р(г)=ар+а,г+ ..+аргр — полинам, не имеющий нулей на множестве (з: ~г~ = 1).
Тогда последователь"ность т) =(т)„) со спектральной плотностью 1„(2,) = ~„~Р(г ')~' представима в виде т)„= аое„+ ате„, +... + аре„ 4 О. спяктя»льнов пяядст»вляиия послядов»тялю!остап 427 Следствие 2. Пусть $=($„) — стационарная последовательность с рациональной спектральной плотностью (32) где Р (г) = а, + а,г +... + а,г р, Я (г) = 1+ Ь,г+... + Ьдгд. Покажем, что если полйномы Р(г) и 9(г) не имеют нулей на множестве (г: (г,!=1), 1о найдется такой белый шум в=(е„), что (Р-и. н.) $„+ Ь!О„д+...-1-ЬД„= аде„+ а,а„,+...+ арал р. (33) Обратно, всякая стационарная последовательность с = Я„), удовлетворяющая такому уравнению с некоторым белым шумом в = (е„) и полиномом 9 (г), не имеющим нулей на множестве (г: !г '= 1), имеет спектральную плотность (32).
Действительно, пусть н„= $„+ Ь!я„»+... + ЬДл . Тогда ~„()1=- —, Р(е-'~),~О и требуемое представление вытекает из следствия 1. С другой стороны, если имеет место представление (33) и Ря(Х) и Еч()) — спектральные функции последовательностей $ и ц, то Р,())= ~ Л(-дл)Гйр ()= —,' ~ ~Р(-!); ' и — ! — ~~ Я(й)-р Р((0)), »=О Доказательство.
В силу (2) р-! л л — ! л — ~~ 5»= ~ — „~~~~~ е!»»Л (Ю,) = ~ !р„я я(ц, »-О -л»=0 -л (35) Поскольку ~!',!(е-дд) !'." О, то отсюда следует, что Е»()) имеет плотность, определяемую формулой (32). 4. Следующая эргодическая теорема (в среднеквадратическом смысле) может рассматриваться как аналог закона больших чисел для стационарных (в широком смысле) случайных последовательностей. Тео рем а 4. Пусть $=(с„), и ян ӄ— стационарнал последовательность с М5„=0, ковариационной функцией (1) и саектральнрси разложением (2). Тогда р — ! — „' '~п ~,-'Л((0)) (34) »=О 42З гл. ч!.
стхционлпныв слгчлиныв последовательности где — Л=О, ср„(Л)= — ~Р е!ил=~ ! е' х — ! и о л ец 1' (35) Поскольку !з!пЛ! ~-- !Л; для !<Л~ ~-2, то л 2 1 Ч!. (Л) < = Далее, !г„(Л) — — !' ! ! !41 (Л), поэтому по свойству (2.14) ~ !ри (Л) Е (г(Л) — * ~ ) !е! (Л) Я (НЛ) = г, ((0)), что и доказывает (34). Аналогичным образом доказывается и утвер!кдение (35).
Теорема доказана. Следствие. Если спектральная функция непрерывна в нуле, т. е. г ((0)) =О, то Л((0)) =0 (Р-п. н.) и в силу (34), (35) и — ! и — 1 1 ~~~~ г(й) О=Э ! Х $ ыо. Поскольку ! и — 1 и и — !, е / и — ! и и=о и=о 44В -„- ~ й,--*О=э- '(!' Р®-0. 1 ы 1 и†! Таким образом, условие -„- р )г(й)- 0 является необходимым ! ъ! л=е и достаточным для сходимости (в среднеквадратическом смысле) « — ! Ъ! средних арифметических — ~~ $и к нул!о, лЛ яп —-- 2 Л ляп— то верна и обратная импликация: и — ! и — ! лЛ яп— 2 лк 2 % Х СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕП 4ЕЭ Отсюда следует, что если исходная последовательность ~=-(~„) такова, что ее математическое ожидание есть и (М$,=л«), то л — 1 и — 1 — И(й) и.ОС:Ф -- ~~~ $А- И, (37) где й (л) = М ($„— М5и) ($« — М$,).
Отметим также, что если 2((0)) ~0 (Р-п. н.), а гл=О, то это означает, что последовательность $„содержит «случайную константу «ам Еи = М+ и)и, где а = л ((0)), а в спектральном представлеаии Чи = ~ е'"иЯ (д)) мера Я„=«,„(О) уже такова, что Лч((0))=0 (Р-п. Н.). Утверждение (34) означает, что средние арифметические сходятся в среднеквадратическом смысле именно к этой случайной константе и.
5. Задачи. 1. Показать, что Ц(г) =-Е'(г) (обозначения см. в доказательстве теоремы 1). 2. Пусть $ = (5„) — стационарная последовательность, обладающая тем свойством, что для некоторого Ж и всех л 5„л,=$и. Показать, что спектральное представление такой последовательносги сводится к представлению (1.13), 3. Пусть 5= Я„) — стационарная последовательность такая, что Мс„= 0 и -'-, ~ '~" В(й — 1) == — , ''~ Я(й) ~1 — +~~А' ~ СМА=ог Ра ~А)~Л вЂ” ! при некоторых С>0, с«>0, Используя лемму Бореля — Кантелли показагь, что тогда а, ~> иьи -~ 0 (Р-п.
Н.). 1 в=а 4. Пусть спектральная плотность ~Е(Х) последовательности й = Я„) является рациональной р (,) 1 ! Р„ , (.-'~) ( (38) вл 14)и(« 'А) ~ где Р„ы(г)=а,+а,г+...+пи «ги-' и 9и(г)=1+Ь,г+...+Ь„г', причем все корни полинома лежат вне единичного круга. Показать, что найдется такой белый шум е=(е„), «пен2, что последовательность ($ ) будет компонентой л-мерной последова- 4зо гл, ч! стхционхяныв слтчлииыя послвдовхтвльности тельности (С, $, ..., $" ), $ = $, удовлетворяющей системе уравнений , п — 1, ! с+! +ре „, »=1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
