1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 68
Текст из файла (страница 68)
»=-са равенства Парсеваля В силу сот($„,, е )=сот($„, ««)= ~х', а„<»а», а„е„», »= -сс последовательность $ = ($„) называют последовательностью одностороннего скользящего среднего. Если к тому же все ໠— — 0 при й>р, т. е, если е„=а<е„+а»е, +...+а е„р, так что $=(1») является стационарной последовательностью, которую принято называть последовательностью, образованной с помощью (деус<<!сраннего) скол»вящего среднего из последовательности е=(е,). В том частном случае, когда вс' а„с Отрицате.тьными индексами равны нулю, т. е. 407 Ф ! СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ то $ = ($„) называется последовательностью скользящего среднего порядка р. Можно показать (задача 5), что для последовательности (22) ковариационная функция )т(я) имеет вид )4(п) = ~ в" )(Л) !(Л, где спектральная плотность равна [(Л) = — '~Р('-") Р Р (г) = а, + а,г+...
+ аргР. Пример 5. Авторегрвссионная схема. Пусть снова е=(е„)— белый шум, Будем говорить, что случайная последовательность е=(Е„) подчиняется автврвгрвссивной схеме порядка !), если $„+ЬД„,+...+Ь 1„~=е„. (24) При каких условиях на коэффициенты Ь„..., Ьв можно утверждать, что уравнение (24) имеет стационарное решение? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим сначала случай д=1! $„= а$„!+ е„, (25) где я= — Ь,. Если ~я~(1, то нетрудно проверить, что стационарная последовательность $ = ($„) с (26) Е„= ~а7ер у Е=О является решением уравнения (25), (Ряд в правой части (26) сходится в среднеквадратическом смысле.) Покажем теперь, что в классе стационарных последовательностей С = ($„) (с конечным вторым моментом) это решение является единственным.
В самом деле, из (25) последовательными итерациями находим, что А-! Е„= а$„! + е„= а [я$р, + и„!1+ е, =... = аь$„А + ~ а7е„р г=ь Отсюда следует, что А-! М $„— ~ а!В„~ =М[аД„А1'=яр'Мй г=о Мэе Таким образом, при !а~ (! стационарное решение уравнения (25) существует и представляется в виде одностороннего скользящего среднего (26). 4оа гл щ стхциоихвныв случхнныв последовательности Аналогичный результат имеет место н в случае произвольного !7=> 1: если все нули полинома !4(г) = 1+й!г+...+Ьдге (27) лежат вне единичного круга, то уравнение авторегрессии (24) имеет, и притом единственное, стационарное решение, представимое в виде одностороннего скользящего среднего (задача 2).
При этом ковариационная функция Я (а) предсзавима (задача б) в виде Я(п)= ~ е""!(Р(Л), г(Л)=- ~ )(т!еЬ, (28) где (29) В частном случае д = 1 из (20) легко находим, что Мс, = О, )7(а)= ! сг)0 (для !!(О й(п) =Й( — а)). При этом Пример б. Этот пример иллюстрирует возникновение авто- регрессионных схем при построении вероятностных моделей в гидрологии.
Рассмотрим некоторый водный бассейн.(например, Каспийское море) и постараемся построить вероятностную модель, описывающую отклонения уровня в этом бассейне от среднего значения, вызванные колебаниями в стоке и испарением с водной поверхности. Если за единицу измерения взять один год и через Н„обозначить уровень в бассейне в а-й год, то получим следующее уравнение баланса: Нам = ̈́— К5 (Н„)+ 2,„,м (30) где через ~„ы обозначена величина стока в (а+1)-й год, 5(Н)— величина поверхности водного бассейна па уровне Н, а К вЂ” коэффициент испарения.
Обозначим через $„=̈́— Г! отклонение от среднего уровня Й (который находится по результатам многолетних наблюдений) и предположим, что 5(Н) = 5 (Й)+е(Н вЂ” Й). Тогда из уравнения $ ! СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ баланса следует, что величины 3„ подчиняются уравнениям Ф) ~„л! = а$„+ е„„, с а = 1 — СК, е, = д,„— К5 (О). Случайные величины е„естественно считать имеющими нулевые средние и в первом приближении некоррелированными и одинаково распределенными. Тогда, как это было показано в примере 5, уравнение (31) (при ,'а! «= 1) имеет единственное стационарное решение, которое следует считать решением, описывающим установившийся (с годами) режим колебаний уровня в рассматриваемом бассейне.
В качестве тех практических выводов, которые можно сделать из (теоретической) модели (31), укажем на возможность построения прогноза отклонений уровня на следующий год по результатам наблюдений за настоящий и предшеств)ющий годы. А именно, оказывается (см. далее пример 2 в й 6), чго оптимальной (в средне- квадратическом смысле) линейной оценкой величины $„!! по значениям ..., Кл „с„служит просто величина а$„. П р и м е р 7. Сл!ешанная модель овторегрессии и скользящего среднего. Если предположить, что в правой части уравнения (24) вместо е„стоит величина а,г„+ а,е„„+ ...
+ а ре„р, то получим так называемую смешанную модель авторегрессйи и скользящего среднего порядка (р, д): $л+(!Тел Т+ ... +орел в=алел+а!ел Т+ ... +аре„р. (32) При тех же предположениях относительно нулей полинома 9 (г), что и в примере 5, далее показывается (следствие 2 к теореме 3 ~ 3), что уравнение (32) имеет стационарное решение $ = (с„), для л КОТОРОГО КОВаРИаЦИОННаЯ ФУНКЦИЯ РаВНа Я (И) = ~ Еал йс" (А) с г(Х)= ~ ~(т)йт, где 3.
Теорема (Герглотц). Пусть )г(п) — ковариационная функция стационарной !'в широком смысле) случайной последовал!ельности с нулевым средним. Тогда на ([ — я, и), % ([ — и, и))) найдется такая конечная мера с =г (В), В е= лтй([ — и, п)), что для любого и ~Я (33) я(п)= ~ е'"р(Ю). 41О гл ч~ стхционляныя слхчхпныя посладовлтяльности Доказательство. Положим для У~1 и Лен[ — я, и] Ь (Л) = — ' '~['„'~~ й Я вЂ” 1) е-мхеих. а=щ=~ (3 $) В силу неотрицательной определенности В(л) функция )т (Л) неотрицательна.
Поскольку число тех пар (й, 1), для которых А — 1= т, есть Ж вЂ” (т~, то г, () ) ~Ч)~ (1 о (ю) е-~те (35) ,'я~(Ф Пусть Ря (В) — ~\~[к (Л) дЛ В г= Я ([ и я)) Тогда я я 1 I !~'1 ~ ец.Рл,(Я.)= ~ х[т(Л)(Л= 1 У ) ()' ~ ~ ' (36) О, ,'а (.= Ф. Меры Рх, У:» 1, сосредоточены на интервале [ — и, л1 и Ря ([ — л, я1) = И (0) ( оо для любого Ж» 1. Следовательно, семейство мер (Рм), йГ=== 1, плотно, и по теореме Прохорова (теорема 1 ~ 2 гл.
!П) существуют подпоследовательность (И,):— = (л() и мера Р такие, что Рм — Р. (Понятия плотности, относительной компактности, слабой сходимости и теорема Прохорова очевидным образом с вероятностных мер переносятся на любые конечные меры.) Тогда из (36) следует, что $ е""Р(дЛ)= 1)п~ $ ег "Р ((Л)=В(п). — я Ю, сю Построенная мера Р сосредоточена на интервале [ — я, п).
Не изменяя интеграла ~ е'""Р (дЛ), можно переопределить меру Р, перенеся «массу» Р((л)), сосредоточенную в точке я, в точку — я. Так полученная новая мера (обозначим ее снова через Р) будет уже сосредоточенной на интервале [ — я, л). Теорема доказана. Замечание 1.
Меру Р=Р(В), участвующую в представлении (33), называют спектральной мерой, а функцию Р (Л) = Р ([ — и, Ч)— спектральной функцией стационарной последовательности с ковариационной функцией Я (и). 4! 1 З ! спектг»льнов пгедст»влепив В рассмотренном выше примере 2 спектральная мера оказалась дискретной (сосредоточенной в точках Х», А = О, -+ 1, ...). В примерах 3 †спектральная мера абсолютно непрерывна.
3 а меч а н не 2. Спектральная мера Р однозначно определяется по ковариацнонной функции. В самом деле, пусть Р, и Р†д спектральные меры и ~ е""Р, (<(),) = ~ е!»"Р, (ей), и ~ Я. Поскольку любая ограниченная непрерывная функция д(й) может быть равномерно приближена на 1 — и, и) тригонометрическими полиномами, то откуда (ср. с доказательством в теореме 2 9 12 гл. 11) следует, что Р,(В) =Р,(В) для любых В ~»%(1 — и, и)). Заме-чан ие 3., Если $=($„) — стационарная последовательность, состоящая из действительных случайных величин $„, то Я(п) = ~ созХпР(еУ.).
4. Задачи. 1. Вывести свойства (!2) из (11). 2. Доказать, что уравнение авторегрессии (24) имеет стационарное решение, если все нули полинома !е(г), определенного в (27), лежат 'вне единичного круга. 3. Доказать, что ковариациоиная функция (28) допускает представление (29) со спектральной плотностью, задаваемой формулой (30). 4. Показать, что последовательность $ = ($„) случайных величин $„= У', (а» з(п Х»п+ и» соз Х»п) »=1 с действительными случайными величинами и» и р» может быть представлена в виде г»е' »" 1 с 㻠— — (р» — йг») для й)0 и 㻠— г ы А» — — Х-» для й(0. 5.
Показать, что для последовательностей (22) и (24) их спектральные функции имеют плотности, задаваемые соответственно формулами (23) и (29). 4!2 гл ю стхпионлгнывслкчхпныв последовхтельности 6. Показать, что если 2;!)((и) ~(оо, то спектральная функция г'(Л) имеет плотность г(Л), определяемую формулой е-цпя (л) $2. Ортогональные стохастические меры и стохастические интегралы 1.
Как уже отмечалось в ~ 1, интегральное представление ковариационной функции и пример стационарной последовательности г,е х" (1) с попарно ортогональиыми случайными величинами гм й е= Я, наводит иа мысль о возможности представления произвольной стационарной йоследовательности в виде соответствующего интегрального обобщения суммы (1). Если положить 2 (Л) = У', г» (е.
х ях) то (1) запишется в виде е'~е" Ь2 (Л„), р2) где ЛУ (Л~) = г'. (Л„) — 2(Л» — ) =гм Правая часть (3) напоминает интегральную сумму для <интеграла типа Римана — Стилтьеса» ~ ец" Ы(Л). Однако в рассматриваемом нами случае функция Я(Л) является случайной (зависящей также и от ы). При этом выясняется, что для интегрального представления произвольной стационарной последовательности приходится привлекать к рассмотрению и такие функции л (Л), которые при каждом ы имеют неограниченную вариацию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
