1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Поэтому простое понимание интеграла ~ е'"'ЫЯ(Л) как интеграла Римана— Стнлтьеса для каждого в становится неприемлемым. 2. По аналогии с общей концепцией интегралов Лебега, Лебега— Стилтьеса и Римана — Стилтьеса (~ 6 гл. П) рассмотрение стохастического случая начнем с определения стохастической меры. Пусть (Я,,У', Р) — вероятностное пространство, Š— некоторое множество с алгеброй Ж, его подмножеств и о-алгеброй в.
э я ОРТОГОнхлъные стоххстические меРы О п р е д е л е н и е 1. Комплекснозначная фуннция 2 (Л) = = 2 (ы; Л), определенная для «» ~ й и Л ен Ж„называется конечнооддитивной стохастической мерой, если: 1) для любого Л~й!«М~Я(Л)!'<Оо; 2) для любых двух непересекающихся множеств Л, и Л, из сь 2 (Л, + Л,) = Л (Л,) + 2 (Л«) (Р-п. н.). (4) Определение 2. Конечно-аддитивная стохастическая мера Я(Л) называется злементпрной стохастической мерой, если для любых непересекающихся множеств Л„Л,„... из «1« таких, что Л==.~ КЛА~=~:о, А =-! л « М 2 (Л) — ~~~ Я(Л,') — ~ О, и э- оо.
(5) Замечание 1. В данном определении элементарной стохастической меры, заданной на множествах из с„предполагается, что ее значения принадлежат гильбертову пространству Н' =- = Н'((), .У, Р), а счетная аддитивность выполнена в средне- квадратическом смысле (5). Существуют и другие определения стохастических мер, в которых отсутствует требование существования второго момента, а счетная аддитивность понимается, например, в смысле сходимости по вероятности или с вероятностью единица. Замечание 2. По аналогии с неслучайными мерами можно показать, что для конечно-адаптивных стохастических мер условие (5) счетной аддитивности (в среднеквадратическом смысле) эквивалентно непрерывности (в среднеквадратнческом смысле) в «нулем М ~2(Л) ~'-ь.0, Л„,'1 ф, Л„е= оь.
(5) Мс (Л,) 2 (Л«) = О, (7) или, что эквивалентно, если для любых Л, и Л, из оь Мг(Л,)2(Л,)=М~г(Л,ПЛ«))'. (81 Обозначим т (Л) = М ~ Е (Л) ~', Л ен е'ь. В классе элементарных стохастических мер особо важны меры, являющиеся ортогональными в смысле следующего определения. Оп ределение 3. Элементарная стохастическая мера 2(Л), Л е= еь, называется ортогональной (илн мерой с ортогональными значениями), если для любых двух непересекающихся множеств Л, и Л, из еь 414 Гл, чь стАционАРные случАнные последовктельности Для элементарных Ортогональных стохастических мер функция множеств т = т (Л), Л еи Ж„является, как легко видеть, конечной мерой и, следовательно, по теореме Каратеодори 5 3 гл.
11) она может быть продолжена на (Е, Ж). Так полученную меру будем снова обозначать через т =1п(Л) и называть структурной функцией (элементарной ортогональной стохастической меры с = л (Л), Л ен 82). Теперь естественным образом возникает следующий вопрос: раз функция множеств т=т(Л), определенная на (Е, Жо), допускает продолжение на (Е, Ж), где В=о(бо), то нельзя ли элементарную ортогональную стохастическую меру л =7(Л), Л ен 6„ продолжить на множества Л из 8, причем так, чтобы М (Я (Л) 12 = т(Л), Л ~8, Ответ на этот вопрос утвердительный, что вытекает нз нижеследующих конструкций, приводящих в то же самое время и к построению стохастического интеграла, необходимого для интегрального представления стационарных последовательностей. -3.
Итак, пусть 2 =2(Л) — элементарная ортогональная стохастическая мера, Л ен Е„со структурной функцией т = т (Л), Л я К. Для каждой функции 7(Д) — ~:~о)А„Ло ен ~'о (10) принимающей лишь конечное число различных (комплексных) зна- чений, определим случайную величину 27 ф = У)22 (Ло). Пусть Е' =12 (Е, Ж„т) — гильбертово пространство комплекснозначных функций со скалярным произведением (1, д) = ~)(Х)д().) т(с(А) и нормой )Г(=(), ))112, а Но=Но(21, .К, Р) — гильбертово пространство комплекснозначных случайных величин со скалярным произведением Я, 2)) =МЕЧ н нормой ($1=($, $)112.
Тогда очевидным образом для любых двух функций 1 и Ы вида (10) (у()) уМ))=() а> и ) оу (Д (2 — (Р(2 — 1 ~7 Ц,) ~от (й)о) % 2 ОРТОГОнлльные стохлстические меРы 41в Пусть теперь 7~(.' и (1„) — функции типа (10) такие, что (1 — )„1 — «О, п — «со (существование таких функций следует из задачи 1). Поэтому )ЕУЧ.) — а~(~ )1=)).— ! "— «О, и, т — со. Следовательно, последовательность (РУ (7„)) фундаментальна в среднеквадратическом смысле, и в силу теоремы 7 из э 10 гл.
11 найдется случайная величина (обозначим ее ЕУ (1)) такая, что чУ (~) ее Нл и (чу (~„) — чУ (1) ,'~-«0, п-«со. Так построенная случайная величина чУ(7) определяется однозначно (с точностью до стохастической эквивалентности) и не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности ()„). Назовем ее стохастическим интегралом от функции 14=1.' по элементарной ортогональной стохастической мере Л н будем записывать ,уа = ~~(й) г(д),). Отметим следующие основные свойства стохастического интеграла чх (7), непосредственно вытекающие из его конструкции (задача 1). Пусть функции о, 7, 7„ен ~'. Тогда (У(1').
У(й')) =<1 й'>1 ) У(01=0(' е7(а)+Ьй) =аль(7)+Ьег (д) где а и Ь вЂ” константы; ( к().) - ~ (~)( -. о. (14) если 1(„— )1 — «О, п-«со. 4. Используем определенный выше стохастический интеграл для продолжения элементарной ортогональной стохастической меры г, (Л), Л ~ е'„на множества из К =о(Ж,).
Поскольку мера т предполагается конечной, то функция 1л = )л().) ее У для всякого Л я Ж. Обозначим 2 (Л) =ох ()л). Ясно, ччо для Л ~ Ж, 2 (Л) = Л (Л). Из (13) следует, что если Л„Д Л, = ф, Ло Леяй, то 2(Л,+Л,)=й(Л,)+г(Л,) (Р- ..), а из (12) вытекает, что М,,'г(Л)~'= (Л), Л =-й. Покажем, что случайная функция множеств х, (Л), Л ее Ж, является счетно-аддитивной в среднеквадратическом смысле. 4!а гл. ю. стхционхгные слтчлп!!!!а последовательности В самом деле, пусть Л, сна и Л= 'У, 'Л,.
Тогда г(л) — у; г(л,) ==т(д„), Ф= ! л д.(Л) = 1,(Л) — ~ 4,(Л) =1 „(Л). л=! Х л, где Но т. е. М~г(Л) — ~г(Л,) О, и л=! Из (11) следует также, что для Л, ПЛ.,= гО, Л„Л, ~ Е, МЯ (Л,) Е(Лз) =О. М(2х — Е~„(~ О, Л,), Л, Л„ен)с; 3) для любых Л,(Л,(Л, =Л, М(г„— л,,)(д.— к,,) =О.
Итак, построенная случайная функция Е (Л), определенная на множествах Л ~е, является счетно-аддитивной в среднеквадратическом смысле и на множествах Л ен К, совпадает с с (Л). Будем называть 2 (Л), Л ен Ж, ортогональной стохастической мерой (являющейся продолжением элементарной ортогональной стохастической меры Л(Л)) со структурной функцией гп(Л), Л ен о', а определенный выше интеграл 7(1) = ~1(Л) 2(с(Л) — стохастическим интегралом по этой мере.
5. Обратимся теперь к наиболее важному для наших целей случаю (Е, 8)=(Я,,ЗЯ)). Как известно 6 3 гл. !1), всякая конечная мера т=т(Л) на (Я, зу(Я)) находится во взаимно- однозначном соответствии с некоторой (обобщенной) функцией распределения 6=6(х), причем т(а, (!1=6(о) — 6(а). Оказывается, нечто подобное справедливо и для ортогональных стохастических мер. Введем Определение 4.
Совокупность (комплексцозначных) случайных величин (Лх), Ленй, заданных на (О, У, Р), назовем случайным проиессом с ортогональными приращениями, если 1) М ( Ях (з ( оо, Л е= Я; 2) для каждого Ле-:)г 4» ОРТОГОн»льные стох»стические мвгы 417 Условие (3) является условием ортогональности приращений. Условие 1) означает, что Е»енО'. Наконец, условие 2) носит технический характер и является требованием непрерывности справа (в средчеквадратическом смысле) в каждой точке Хан)»'. Пусть л = 2(Л) — ортогональная стохастическая мера со структурной функцией т = т (Л), являющейся конечной мерой с (обобщенной) функцией распределения 6(Х). Положим 2»=2( — со, Ц Тогда М ( 2» !» =- т ( — со, Ч = 6(Х) (со, М !! с» — 2» !! = п»(Х„Х] ] О, Х, 4 Х, и, очевидно, выполнено также условие 3).
Таким образом, ! !е>рсеиш,»й процесс (Е>) является процессом с орп>огонаяьн»»ми приращениями. С другой стороны, если [2») — такой процесс с М!2»!»=6(Х), 6( — со) =О, 6(+ со) ~со, то положим для Л=(а, Ь] Е (Л) = Е (Ь) — 2 (а). Пусть е — алгебра множеств Л = ~ (а», Ь»] и 2 (Л) = ~ ~ (а», Ь»].
»=! »=1 ЯСНО, ЧТО М ~ Е (Л) (» = т (Л), где т(Л) = ~ [6(Ь») — 6(а»)], и для непересекающихся интерва»=! лов Л, =(а„Ь,] и Л»=(а„Ь»] МК(Л„) Я(Л,) =О. Таким образом, Я=У(Л), Л вне», является элементарной стохастической мерой с ортогональными значениями. Функция множеств т=т(Л), Лен б», однозначно продолжается до меры на 6=Ю(И), и из предшествующих конструкций следует, что тогда 2 =2(Л), Л вне'„также можно продолжить на множестве Лен 8, где Ж=Ю()е), при этом М~ 2(Л) !»=т(Л), Л ~ »>()!).
Тем самым между процессами (2»), Лен)т, с ортогональными приращениями и М~Е»!»=6(Х), 6( — со)=О, 6(+со)(ос, и ортогональными стохастическими мерами г. = Л (Л), Л ен»г(е(), со структурной функцией т=т(Л) существует взаимно однозначное соответствие, при котором Ех 2( — со, Ц, 6(Л)=т( — оо, Л] и .3 (а, Ь] = Я» — г., т (а, Ь] = б! — 6 . По аналогии с обозначениями, принятыми в теории интеграла Римана — Стилтьеса, под стохастическим интегралом ~ [(Х) Ы»,, 4!8 гл.
ч~ сткционлгныв слччлиныв послвдовлтвльности где (гл) — некоторый процесс с ортогональными приращениями, понимается стохастический интеграл ~ )()) г (ЙХ) по соответствую- щей этому процессу ортогональной стохастической мере. 6. Задачи. 1. Доказать эквивалентность условий (5) и (6). 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
