1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 64
Текст из файла (страница 64)
н.) (1,— м1,)+...+6„— м3„) (14) л а Обозначим ~„=$„— Мс„. В силу леммы Кронекера для выполнения (14) достаточно лишь установить, что ряд ~~. ' — сходится (Р-и. Н.). В свою очередь, согласно теореме 1 из $2, для этого достаточно показать, что предположение М!$1!'»„со обеспечивает ъа 0$« сходимость ряда т — ". ла Имеем ~~~ о~„ч~)т~ мМ ~~~ ! ~[ь ~(~й ) л=! л=-! ал л = ~ ', МД;((;~,~~л))= '~ — „', ~ МР)'(й — (=~~,~~й))= л=! л=! «=! = ~ МР((й — 1 ~~,~»й)).,'~, — „', «=! л=« »2 ~~> «М[Ц1(Й вЂ” 1»131~»лИ» «=! » 2 ~' М [!' $1 / 1 (й — 1» ! $! !» й)) = 2М ~ $1! ( Со.
«=! Теорема доказана. Замечание 1. Утверждение теоремы допускает обращение в следующем смысле. Пусть с„$„...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, для которых с вероятностью единица ~1+' "+~" а- С л где С вЂ” некоторая (конечная) константа. Тогда М ) $1 (» со и С =М$,. В самом деле, если — "-лС (Р-п, н.), то — — — — -«О (Р-п. н) $л Юл lл — 11 5л1 л л 1 л тл — 1 и, значит, Р()$„~~л б. ч.)=0. По лемме Бореля — Кантелли 2',Р()$,)>л) -со 382 ГЛ Ш.
НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ и в силу леммы 3 М($, ~(со. Тогда из доказанной теоремы следует, что С=Меи Таким образом, для независимых одинаково распределенных случайных величин условие М! 2,~(оо является необходимым и достаточным для сходимости (с вероятнсстью единица) отношений о,уп к конечному пределу, 3 а меч а и не 2.
Если математическое ожидание т = М3, существует, но не обязательно конечно, то утверждение (11) теоремы также остается в силе. В самом деле, пусть, например, М$, (оз и М$;=со. Положим для С 0 З„'= ~У(й, С). Тогда (Р-и. н.) Ес 1нп —" )11гп —" = М$,1 ($, ~ С). — п — и л л Но при С- со мй1((Е, С) Мй, ==, поэтому — — — +оо (Р-п. н.). л 4. Остановимся на некоторых применениях усиленного закона больших чисел.
Пример 1 (применение к теории чисел). Пусть 11=:(О, 1), лй — борелевская система подмножеств в) и Р— мера Лебега на 1"О, 1). РассмотРим двоичное Разложение ы=0, вйые чисел юане) (с бесконечным количеством нулей) и определим случайные вели- ЧИНЫ 5, (Ы), $Ч(Ы), ..., ПОЛаГая С„(Ы) = Ыл.
ПОСКОЛЬКУ дЛя ЛЮбОГО и--1 и любых х„..., хл, принимающих значения 0 или 1, (Ви $ (Ы) =Х, ", 5. (Ы) = Хл) —— х1 хл х х х 1 2 2 ''' 2л 2 ''' 2ь 2л1 = ) к --+ —, +...+ „-= ы( — +...+ -ь + —,„1, то Р-мера этого множества равна 1/2л. Отсюда вытекает, что йи е„... — последовательность независимых одинаково распределен- ных случайных величин с Р ( ь1 = О) = Р ($, =- 1) = 2 . Отсюда и из усиленного закона больших чисел вытекает следующий результат Бореля: почти все числа интервала 10, 1) нормальны в гпом смысле, что с верояпиюстью единица доля нулей и единиц в их двоичном разложении стремится к 1(2, т, е. — „,~, Т(ел=1)- —, (Р-п н) ААИ о О.
УСИЛЕННЫИ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ П р и и е р 2 (применение к «методу Монте Карло»). Пусть 1(х) — непрерывная функция, заданная на интервале [О, 11 и принимающая значения из [О, 11. Следующие рассуждения лежат в сснове статистического метода численного вычисления интегра- 1 лов ) Г(х) о(х («метод Монте Карлов). о Пусть $„«1„3„«1„...— последовательность независимых случайных величин, равномерно распределенных на [О, 1]. Положим 1, если ) ($1) ) «11, О, если Г ($!) ( 11о Ясно, что Мо, = Р (Пи ~ о),) = ~ П ) 11 о В силу усиленного закона больших чисел (теорема 3) л 1 — Ч р1-э ~ Г'(х) 1(х (Р-п. н.).
— о 1 Таким образом, численный подсчет интеграла )1(х)«(х можно о Осуществлять с помощью моделирования пар случайных чисел л (о1, 11!), 1-'-1, с последующим подсчетом величин ро и — 1' рь 1=! 5. Задачи. 1. Показать, что М$« = со тогда и только тогда, когда ~Ч ', пР (< Б < ) и) ( Оо. л=! 2. Предполагая, что $„$„... независимы и одинаково распределены, показать, что если М ~$1;"«:,ОО для некоторого 0 а с 1, то —," — «О (Р-п. н.), и если М<$!<В Ссо дтя некоторого 1~~(2, л !" то " н~ «1 — ~.0 (Р-п.
н.). 8л ЛЫ51 3. Пусть «„$„...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с М < 51< =со. Показать, что для любой последовательности констант (а„1 1(ш~ — „" — а„<=со (Р-п. н.). 4. Показать, что все рациональные числа из [О, 1) не являются нормальными (в смысле примера 1 в и.
4). Гл. Ич незАВисимыа случАиньсе Величины й 4. Закон повторного логарифма 1. Пусть В„$„...— последовательность независимых бернул. лиевских случайных величин с Р ($„= 1) = Р (В„= — 1) = — 1/2, 5„=$,+...+$„. Из доказательства теоремы 2 в З 1 следует, что с вероятностью единица »л ~л 1нп — "=+со, !Ип== — оо. рл — ) л С другой стороны, согласно (3.11), ~» -э.О (Р-п.
н.). 1 л!он л Сравним зти два результата. Из (1) следует, что с вероятностью единица траектории (5,)„»с бесконечное число раз пересекают сскривые» с-еф'л, где е — любое положительное число, но в то же самое время они в силу (2) лишь конечное число раз выходят из внутренности области, ограниченной кривыми .+: е И'сс!они.
Эги два результата дают Весьма полезную информацию о характере «размаха» колебаний симметричного случайного блуждания (5,),»с. Приводимый ниже закон повторного Логарифма сушественно уточняет эти представления о «размахе» колебаний (5„)л»ь Введем такое Определение. Функцня ср*=Ф»*Л),, л Га!, называется Верхней (для (5,)„»с), если с вероятностью ед«н«ца 5„=ср*(л) для всех л, начиняя с некоторого л=-лсс(»~). Функция ср, =ср» (л), и'= 1, называется нл»ннес( (для (5„)„»с), если с вероятностью единица 5„) ср» (и) для бесконечно многих л. В соотвегствпи с этим определением и в силу (1) и (2) можно сказать, что каждая из функций ср» =е1 л 1ойп, е)0, является верхней, а функция ср» =В И л — нижней, В) О.
Пусть р =ср (и) — некоторая функция и ср,* = (1+а) ср, ср„= =(1 — е) ср, где В)0. Тогда нетрудно видеть, что г — 5„1 Г. Г В»с 1(пз — "~1~ =~!)сп~гзцр — 1~1~с=> ср (л) ! '( „~ ср(л) ! ~т ~ 1 ! а ДлЯ ВсЯкоГо В ) О, начи- ~ 1 л:»,с«~ 'р(м) ная с некоторого л, (е) с р~ 5 . (1+ ), (,и) для всякого а)0, начи- ~ ная с некоторого л,(В) $ С ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА Точно так же ( ° и ~4 ~Г ° ~ ~44 !ип —" »1! = !!!тагир — 1»1),с:О для всякого г ) О, начи- ~ ~л З 4Н44 ч'(4в) Ная С НЕКОтОрОГО П, (Е) ( В ="(1 — е)4р(т) для всякого е)0 и для 1 <=->~ бесконечно многих значений т, больших ~.
(4) некоторого п, (е)» сг, (г) А для того чтобы доказать, что функции 4рь,=(1 — г)4р, г)0, являются нижними, надо установить, что Р)1!ш — "»1(=1. (8) 2. Теорема 1 (закон повторного логарифма). Пусть С„$„... последовательность независимых одинаково распределенных случайньсх величин о М$4 =0 и МЦ =оь»0. Тогда Р ~1 ип —" = 1~ = 1, (7) где ф (п) = р' 2оьп )ои 1ои п. (8) 7(ля случая равномерно ограниченных случайных величин закон повторного логарифма был установлен Хинчиным (1924 г.). В 1929 г. Колмогоров обобщил этот результат на широкий класс независимых случайных величин. В условиях, сформулированных в теореме 1, закон повторного логарифма установлен Хартманом и Винтнером (1941 г.). Поскольку доказательство этой теоремы довольно сложно, ограничимся рассмотрением лишь частного случая, когда случайные величины $„' являются нормально распределенными, 44 (О, 1), п»1.
Начнем с доказательства двух вспомогательных результатов. Лемма 1. Пусть $„..., $„— независимые случайные величины о симметричным распределением (Р ($ь е:— В) = Р ( — $ь ~ В) для Из (3) и (4) вытекает, что для того, чтобы проверить, что каждая из функций 4с," =(1+е)4р, е) О, является верхней, надо доказать, что Р)1!ш —" =.11=1. (5) Ф(") ! 386 ГЛ НА НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ каждого Вен Я(В), й-=.п). Тогда для любого действительного а Р( гпах Яи)а)-=.2Р(5,)а). ~1~к~и (9) Доказательство. Пусть А=1 гпах Яь.»а~, АА=(5;~а, 11,сигал (~й — 1; Яи)а) и В=(5„)а). Поскольку на множестве АА 5л а (так как 5*(5„), то Р (В П А„)» Р (А, П (Ял» ЯА)) = Р (А А) Р (5„» 5А) =- = Р(АА) Р(йи„+...+й.
О). В силу симметричности распределений вероятностей'случайных величин л, ..., с„ Р($~Ы+ "+3 )0)=РКИН+" +е.(0). Поэтому Р ДА,+...+~„»0)»1/2 и, значит, л л Р (В)» ~ Р (А, П В)» ~ ~~~ Р (А,) = ~- Р (А), и =-1 и=1 что и доказывает (9). Лемма 2.
Пусть Я„иФ" (О, и'(п)), и'(п) ( со и числа а(п), и»1, таковы, что — -~со, и-л.со. Тогда а (и) о (и) а'(л) Р фЯ„ ) а (п)) - е у йи а (и) (10) Доказательство следует из того, что при х-+.оо 1 1 =-(е- па- =е "" АА=(5„)Ьр(п) для некоторого и ен(пт пи,1)), (11) а случайная величина 5„)о(п) иг" (О, 1). Доказательство теоремы 1 (в случае Е, ь) (О, 1)). Установим сначала соотношение (б), Пусть е)0, Л= 1+В, п„= Л', где й»й„а й, выбирается так, чтобы !и 1пй, был определен.
Обозначим также ЗЗ7 Э ! ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРНФМА и пусть А = [Аэб. ч.) =(5„:»Л!Р(а) для бесконечно многих и), В соответствии с (3) для доказательства (5) достаточно доказать, что Р(А) =О. Покажем, что ~ Р (АА) (ОО. Тогда по лемме Бореля — Кантелли Р (А) =О. Из (11), (9) и (1О) находим, что Р(АА) ~ Р (5„)л!(!(ПА) для некоторого пан (НА, ПА„)) = (Р(5„)Л!р(п„) для некоторого п=-л,,1) ~ АФ(!!11 !1 Ф:- 2Р (5„, ) Л!Р (пА) ', е ТГ2з — — ' ~ С е — и ! "—.— С.
е — 1!" А = С )1 — '. 1 ! 1 5„,~ — 2!(1(пэ 1) или 5„,'=- )'А — 2ф(ПА !), где г'„=5„„— 5„ Поэтому, если доказать, что для бесконечно многих й (12) (1З) ГА ) Л!р (ПА) + 2!р (ПА-1), то вместе с (12) это даст, что (Р-п. н.) для бесконечно многих )Г 5„1» Л!р(ПА). Возьмем некоторое Л' е= (Л, 1). Тогда можно найти такое У~1, что для всех й Л' [2 (ЛГ» — д(1- 1) 1п 1п Ж']1!1 ) Л (2!уэ 1п 1п йГ') О'+ +2(2ЖА '1и!п ЖА-1)!7!в = Л!р(й(А)+2!р(й(А '). где С, и Сэ — некоторые константы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
