1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Но У, 'и-1 ( ОО, поэтому А=! ~ч '„Р (А„) сэ. Итак, соотношение (5) доказано. Перейдем к доказательству (6). В, соответствии с (4) надо показать, что для Л= 1 — В, з) О, с вероятностью единипа 5„=- ~Л!р(п) для бесконечно многих и. Применим доказанное соотношение (5) к последовательности ( — 5„)„»!. Тогда получим, что для всех п, за исключением, быть может, конечного числа (Р- п. н.) — 5„(2!р(л). Следовательно, если пА=!т'", Ж.»1, то для достаточно больших и заь ГЛ 1У НЕЗЛВНСНМЫЕ СЛУНАВНЫЕ ВЕЛНЧННЫ Теперь достаточно показать, что для бесконечно многих й )'» ) ) ' [2 ()17" — !У»-') 1п! и Л1»~н».
(14) Очевидно, )'» л») (О, 7»'» — Ж»-1). Поэтому в силу леммы 2 Р (У» )) ' [2 ()))» — й(»- ') )п )п Д!»)11») ! 1»Ч 1»1и»» С1 л» 1» 1 С» р Еаза'(2 !п !им»)1!» 0»)н' !ы! ' ! Так как ~ — = со, то, следовательно, по второй части леммы ЛЬ!иь = Бореля — Кантелли с вероятностью единица для бесконечно многих й выполнено (14), что и доказывает соотношение (6). Теорема доказана. Замечание 1. Применяя (7) к случайным величинам ( — 5,)„ находим, что (13) 1нп — = — 1. т() Из (7) и (!5) следует, что закону повторного логарифма можно придать также следующую форму: Р (1 !1п — "' = 11 = 1.
! Ел ! ю() / (!б) Замечание 2. Закон повторного логарифма говорит о том, что для любого в~О каждая из функций лр;=(1+е)»р является верхней, а функция»Р»л=(1 — Г)»Р — нижней. Утверждение (7) закона повторного логарифма эквнвале1пно также тому, что для всякого е)0 Р [ ! 5„! ) (1 — е) ф (п) б. ч. ) == 1, Р ( ! 5„! ~ (1+ е) 1Р (и) б. ч. ) = О. 3. Задачи. 1. Пусть 3„$„... последовательность независимых случайных величин, е„Ф(0, !). Показать, что Р(!нп»".
=1~=1. 2. Пусть $1, Е„...— последовательность независимых случайных величин„распределенных по закону Пуассона с параметром ).)О. Показать, что (независимо от )1) Р (!~п 1~ 1 3. Пусть Е„Е„... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с Ме1П =е — !'1~, 0(а~2. звэ $4 ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА Показать, что 4. Установить справедливость следующего обобщения неравенства (9). Пусть $о ..., $„ — независимые случайные величины.
Тогда для всякого действительного а справедливо неравенелыа Леви Р) щах (ЯА+(А(5„— БАЦ)а) ч-2Р(5,- а), И~А~а где )тЯ) — медиана случайной величины $, т. е. такая константа, что 2 ' (~ ') (~))' 2' ГЛАВА Ч СТАЦИОНАРНЫЕ (В УЗКОМ СМЫСЛЕ) СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ЗРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ в 1.
Стационарные (в узком смысле) случайные последовательности. Сохраняющие меру преобразования 1. Пусть (Гс, ,У, Р) — вероятностное пространство и « = =- (з„ Е«,...) — некоторая последовательность случайных величин, или случайная последовательность. Обозначим через в»з последовательность (й»«! «ь»+« ° ). Оп р еде лен и е 1. Случайная последовательность $ называется ста!(аонарной (в узком смысле), если для любого й) 1 распределения вероятностей 8Д и 5 совпадают: Р (61, $„..) ен 8) = Р ((Ь««, $»„, ...) ен В), В ~ 'й (Р ). Простейшим примером такой последовательности $ является последовательность $ = (С„ 3„ ...), состоящая из независимых одинаково распределенных случайных величин.
Отправляясь от такой последовательности, можно сконструировать широкий класс стационарных последовательностей «1 = («1„ »1„ ...), если взять произвольную борелевскую функцию у(х„ ..., к„) и положить «1»=й(«ь», 1»«! й» . ). Если $ = ($„$„...) — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с М($! ~(со и Мя»=и, то, ссгласно усиленному закону больших чисел с вероятностью единица, $1+ "+$л И я В !931 г. Биркгоф получил замечательное обобщение этого результата на случай стационарных последовательностей, Именно доказательство теоремы Биркгофа и составляет основное содержание настоящей главы.
Последующее изгожение будет вестись с привлечением понятия «сохраняющего меру преобразования», что даст возможность как познакомиться с одной из интересных ветвей анализа — эргодичес- 39! $! сохяхняющие меРы ПРеоБРАзозлния кой теорией, так и установить ее связь с теорией стационарных случайных последовательностей.
Пусть (»), .г', Р) — некоторое вероятностное пространство. Определение 2. Отображение Т пространства О в себя называется измеримым, если для всякого А еп.г' Т-'А = (в: Тв ~ А) е=,Р . Оп р еде лен не 3. Измеримое отображение Т называется сохроняо!«(им меру преобразованием (морфизмом), если для всякого А ев,У Р (Т-'А) =- Р (А). Пусть Т вЂ” сохраняющее меру преобразование, Т" — его и-я степень и С, = 9, (в) — некоторая случайная величина. Положим ««(а) = $, (Т"-'в), п ) 2, и рассмотрим последовательность = ($н $„...). Мы утверждаем, что эта последовательность является стационарной.
В самом деле, пусть А = (в: $ ~ В), А, = (в: Ц е В), где В ~ ЮЯ"'). Поскольку А =(в: (с,(в), 9,(Тв), ...) «нВ), а А, =- = (а: Я, (Та), $, (Т«в), ...) ~ В), то в е= А, в том и только том случае, когда Та«:— .А, или А,=Т-'А. Но Р'(Т-'А)=РА, и поэтому Р (А,) = Р (А), Аналогичным образом Р (А») = Р (А) для любого А»=(в: 9Д енВ),-й = 2. Итак, введение сохраняющего меру преобразования дает возможность построения стационарных (в узком смысле) с.тучайиых последовательностей. В определенном смысле верен и обратный результат: для каждой стационарной последовательности $, рассматриваемой на ($?, Х, Р),можно указать новое вероятностное пространство (Й, У, Р), случайную величину 9, (а) и сохраняющее меру преобразование Т такие, что распределение случайной последовательности = Я, (в), $,(Тв), ...) совпадает с распределением последовательности 9.
действительно, возьмем в качестве Й «координатное» пространство Я"' и положим У=-ЯЯ ), Р =Р«, где Рз(В) =Р !в: $ ен В), В ~Ю()с '). Преобразование Т, действующее в Й, определим по формуле Т(х„х«, ...) =(х», х», ...). Положим также для в=(х„х„...) х,(в) =х„~„(в) =~,(Т«-»в)„н~2. 392 гл и стАшюнА»ные случАйные последоВАтельности Пусть теперь А=(ы: (х„..., х„) ее В), В ~Ф(П») и Т 'А = = («»: (х„..., х„„) ее В). Тогда в силу стационарносзи Й (А) = Р («н (»и..., »ь») е= В) = Р (к Я», ..., $» )) я В) = )з [Т»А), т.
е, Т вЂ” сохраняющее меру преобразование. Поскольку Р (е.' [«н ..., $») е:-. В) = Р (ьк (Ен ..., $») ~ В) для любого й, то отсюда следует, что распределения 9 и ~ совпадают. Приведем примеры сохраняющих меру преобразований. Пример 1. Пусть !г=(ы,,,, «ь„) — множество, сос|оящее из конечного числа точек, и-. 2, .У вЂ” все его подмножества, Тв,=ьл,н 1((~п — ! и Ть»„=ь»ь Если Р(со)= — 1(н, то Т— сохраняющее меру пресбразование. Пример 2. Если»! =[О, 1),,У =Л([0, 1)), Р— мера Лебега, »~[О, 1), то Тх=(х+А)пюд! и Тх=2хпюд! являются сохраняющими меру преобразованиями.
2. Остановимся на физических предпосылках, приводящих к изучению преобразований, сохраняющих меру. Будем представлять себе Р как фазовое пространство состояний ь» некоторой системы, эволюционирующей (в дискрезном времени) в соответствии с заданным законом движения. Тогда, если со есть состояние в момент а=1, то Т"«», где Т вЂ” оператор сдвига (индуцируемый данным законом движения), есть то состояние, в которое перейдет система через и шагов. Далее, если А— какое-то множество состояний ь», то Т 'А =(ьн Ть» е= А) есть по своему определению множество тех «начальных» состояний ы, которые через один шаг окажутся в множестве А. Поэтому, если интерпретировать О как «несжимаемую жидкость», то условие Р (Т 'А) = Р (А) можно рассматривать как вполне естественное условие сохранения «объема». (Для классических консервативных гамильтоновых систем известная теорема Лиувилля утверждает, что соответствующее преобразование Т является преобразованием, сохраняющим меру Лебега.) 3.
Одним из первых результатов относительно преобразований, сохраняющих меру, была следующая теорема Пуанкаре (1912) о «возвратности». Т е о р е м а 1. Пусть (й, У, Р) — некоторое вероятностное пространство, Т вЂ” преобразование, сохраняющее меру, и А ~ У. Тогда для почти каждой точки ь» е А Т"«яя А для бесконечно »~нагих и-- 1. Доказательство. Обозначим С=[«»ее А: Т"ь»ф А, для всех и ) 1). Поскольку для любого и ='-- 1 С () Т- С = ©, то Т С() Т-! НнС=Т- (С() Т-"С) = ф.
Таким образом, последовательность [Т-"С) состоит из непересекающихся множеств, Р-мера ззз $2. эегодичность и пегемешивхниа которых одна и та же. Поэтому у, 'Р (С) = ~ч , 'Р(Т-"С)» Р (й) = 1 п=О ~ьа и, следовательно, Р(С) =О. Таким образом, для почти каждои точки ы «= А, по крайней мере для одного л =- 1, Т"и «= А. Выведем отсюда, что тогда и для бесконечно многих а Т"ы «и А.
Применим предшествующий результат к преобразованиям Т', й=: 1. Тогда для каждой точки о «= А л(, где й! — множссзво нулевой вероятности, являющееся объединением соответствующих множеств, отвечающих разным й, найдется такое пх, что (Т")" ыо «= А. Отсюда, разумеется, следует, что Т"ы«= А для бесконечно многих и. Теорема доказана. Следствие. Пусть $(ы))0. Тогда на множестве(ы: 1(ьб О) '~", ~(Т'а) =со (Р-п. н.). е=:.о В самом деле, пусть А,= (ы: $(ы) ~ — ). Тогда, согласно ! ! теореме на множестве А; (Р-и.
н.) У $(Т'м) =со, и требуемый а =-о результат следу«т, если положить.п- оо. Замечание. Теорема сохраняет свою силу, если вместо вероятностной меры Р рассмотреть любую конечную меру р, р (Й) со. 4. Задачи. 1. Пусть Т вЂ” сохраняющее меру преобразование и с=с(ы)— случайная величина с существующим математическим ожиданием М$(а), Показать, что М$(ы) =-М$(Тв). 2. Пшсазать, что в примерах 1 и 2 преобразования Т являются преобразованиями, сохраняющими меру.
3. Пусть 11 = 10, 1), .У =,%(10, 1)) и Р— некоторая мера с непрерывной функцией распределения. Показать, что преобразования Тх=-"ьх, 0<1(1, и Тк=хх не являются преобразованиями, сохраняющими меру. Ф 2. Эргодичность и перемещивание 1. На протяжении всего данного параграфа будем через Т обозначать сохраняющее меру преобразование, действующее на вероятностном пространстве (Й, .,У, Р). Определение 1. Множество А «=,У называется инвариантным, если Т-'А = А.
Множество А «= У называется аочгпи инвариантным, если А и Т-'А отличаются на множество меры нуль, т. е. Р(АЛТ-'А)=0. 394 гл, ч. сткционкииыв слкчлиныв последовьтвльиости Нетрудно проверить, что класс инвариантных (почти инвариаитных) множеств ь7 (соответственно ч7а) образует о-алгебру, Определение- 2. Сохраняющее меру преобразование Т называеася эргодическим (или метричгски транзитивным), если каждое инвариантное множество А имеет меру нуль или единица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
