1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Далее, [Р (~)," ~ г)1' = Р © ~ г, ..., ь'," ~ г) Р 1Т„„- йг) и [РЖ" <- )]'=Р(~от~-г, "., ~"<-г)=-Р1т.,~-й.). Иэ этих двух неравенств и плотности семейства распределений для Тп„, пгп!, вытекает плотность семейства распределений для Ц', игл). Поэтому найдется подпоследовательность )п«) ~1п) и случайная величина т)! такая, что Ьл, ~ «)„п1-~Оп.
Поскольку величины ь'„', ..., ь„' одинаково распределены, то ~„' ' — т)„..., ~'„~' —" "1 1 — т)», ГДЕ Ч«=т)з=...=«)». В СИЛУ НЕЗаВИСИМОСтИ ВЕЛИЧИН ~п', ... ..., Ь!»1 из следствия к теореме 1 из З 3 вытекает, что величины * и ) Запись  — Ч означает, что случзппые величины В п «З совпадают па распределению, т, е. Гь(п)=рч(л), лий, а59 з з ввзгглнично двлнмыа глспгвдвлвния Ч~ " Ч» независимы и Т„л=~)п+ 1 гм> а Ч Но Т„л ~ Т, поэтому (задача 1) 5=Ч+ +Ч ~р(() =е" е и, полагая аа й 2 1 т ср„(1)=е "е сразу находим, что ср(1)=(<р„(()1".
В пуассоиовском случае ~р(1) =ех(' — '), — (е — 1] и если положить ср„(г) =е", то ~р(1) =(~р„()))". Если случайная величина Т имеет Г-распределение ~ плотно. стью х е а-1 -х/а ~ (х) (о) Р аа э х~бэ О, х<О, то, как нетрудно показать, ее характеристические рункция равна 1 ~р (1) = 11 арба Следовательно, <р (1) = (<р„(())", где 1 11 гРЯ)чаи > и, значит, Т безгранично делима. Теорема доказана. 3 а м е ч а н н е.
Утверждение теоремы остается в силе, если условие, что при каждом я=1 величины с„„..., $„„одинаково распределены, заменить на условие равномерной асимптотической малости (4.14), 2. При проверке того, является ли данная случайная величина Т безгранично делимой, проще всего исходить из вида ее характеристической функции ср(1). Если для любого п~1 можно найти такие характеристические функции ~р„(1), что ~р(() =(~р„(()]", то Т безгранично делима. В гауссовском случае зво ГЛ, Н!. СХОДПМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР !лол Г Их ! 1+хл ф(()=Ир — — + ( (ет" — 1 — — 1,1 —,, й?.( ), (2) где 3 ен)?, о'~0 и )! — некоторая конечная мера на (Т?, %()?)) с )!(О) =О. 3. Пусть $„5„...— последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин и 5,=3!+...+3,. Предположим, что существуют такие константы Ьл, а„~О и случайная величина Т, что $л ь" е Т.
лл (3) Спрашивается, как охарактеризовать все распределения (случайных величин Т), которые могут возникать в виде предельных распределений в (3)? Если независимые одинаково распределснные случайные величины 3„$„... таковы, что Ос о'= — 1)В!(со, то, полагая Ь„= = ПМа! И ах=а~l П, СОГЛаСНО 3 4, НаХОдИМ, Чта Т ИМЕЕТ Нармальное распределение ~"' (О, 1). Если 1(х) =,, — плотность распределения Коши (с пара- 0 и (х'+ 0') метром 0 ) О) и $„$„... — независимые случайные величины с плотностью ((х), то характеристическая функция срм(() равна !л ( - - !!!1 е-01'1 и, значит, <рз т(()=1е " ) =е-О!'1, т. е. величина 5.(п л имеет также распределение Коши (с тем же самым параметром 0).
Таким образом, в качестве предельных распределений, помимо нормального, могут появляться и другие распределения (как, например, распределение Коши). Если положить с„,ь = — —, ! (А(п, то найдем, что ех ал лал л $.— ь ~~~~~ $ „( Т ) х=! Таким образом, все мыслимые распределения для Т, которые могут появляться в качестве предельных в (3), обязательно являются (в соответствии с теоремой 1) безгранично делимыми. С!днако специфика рассматриваемых величин Тл = " " дает $л — Ьл ал Приведем без доказательства следующий результат об общем виде характеристической функции безгранично делнмых распре.
делений. Т е о р е м а 2 (представление Леви — Х инчина). Случайная величина Т является безгранично делимой тогда и только пюгда, когда !г ф = ехр ф (О с з к везгплнично делимыв икспгвделения возможность получить дополнительную информацию о структуре возникающих здесь предельных распределений. С этой целью введем такое Определение 2. Случайная величина Т (а также ее функция распределения Р(х) и характеристическая функция (р(()) называется устойчивой, если для любого п)1 найдутся такие константы а„) О, ()„и такие независимые случайные величины $„..., ь„, распределенные как Т, что алТ+ ӄ—" $, +... + $„ (4) )'х — Ь, ') или, что то же самое, Р ' ) =- Г л...
л г (х), или [,р (()] = [(р (ал()]Е"л'. Теорема 3, Случайная величина Т может быть пргделол( ~л Ьл по распределениюслучийныхееличин " ", а„~О, тогда и только ал тогда, когда Т является устойчивой. Доказательство. Если Т устойчива, то, согласно (4), Тг ал ьл ал где 5„= л+...+ь„, и, следовательно, " "--"- Т. ал Обратно, пусть $„зе, ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, 5„=51+...+ь„ ~л Ьл и " л --Т, а„)О, Покажем, что Т является устойчивой слуал чайной величиной. Если Т вЂ” вырожденная случайная величина, то она, очевидно, устойчива. Будем поэтому предполагать, что Т является невырожденной случайной величиной. Зафиксируем я ~ 1 и обозначим Зл =51+" +3ю ", З. =5(»-)).+)+".+1»ю (1) М) (1) 5(' — Ьл М) Блц — Ьл и) (Ц Тл =,...,Т, ал ал Ясно, что по распределению все величины Тл), ..., Т(го совпадают и Обозначим У(') = Т(1 ) +...
+ Т(, ). 362 ГЛ. Н). СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МСР Тогда Пм) — 'Т"'- ...+Тон Г ' > где Тн) в ... =- Т'")= Т. С другой стороны, ~l„ М) Ь+" +.'лл — ЬЬл л>ы ! $> + ... + балл — Ьлл ') ) Ь>л †)>Ьл М> » > „ М) ал л)л> вл (б) где М) л>л лч>) Ь>л-ВЬл в вл >) «>+ ' +«Лл Ь)>л > Ьл= в„л Из (б) ясно, что и>~) — ())~) л л ( Ал= что и доказывает, что Т является устойчивой случайной вели. чиной. Теорема доказана. Сформулируем и докажем упомянутую выше лемму.
Лемма. Пусть с„" я и сущеспгву)от такие константы ал 0 и Ь„чпю г аД„-'; Ьл — $, причем случайные величин>в $ и х не вырождены. Тогда найдутся такие константы а~О и Ь, что !ипа, =а, ДшЬ,=Ь и Ц в а3+Ь. Доказательство. Пусть >р„ч) и Ч) — характеристические функции $„, $ и 5 соответственно. Тогда >р,; +ь (г), характеристическая функция а„$л+ Ь„равна е™л>р„(а„>), и согласно Из приводимой ниже леммы следует, что найдутся такие кон- станты им~)О и (тм~, что )х~„~-«>х' ), )3,'~~ — «()'*), и — «со.
Позтому й т +...+ты — р» Т =- +"' зез Ф к ввзгвлнинно двлимыв глспввдвлвния следствию к теореме 1 и задаче 3 из 3 3, ес чр (а г) -+ ср (1) Ч.(1)- Ч(1) (7) (8) равномерно на каждом конечном интервале изменения й Пусть (п111 — подпоследовательность (и) такая, что а„ -э а. Покажем прежде всего, что а(со. Пусть а=со.
В силу (7) для любого с ) О зцр (~<р„(аД( — ~Ф(1)~~-эО, п —: со. !1, ~с Возьмем вместо 1 величину 1„= —. Тогда, поскольку а„,-+со„ сс а„ то р.,,',,— "-~ / — /с ( —" а и, значит, 1 ~р., (г,) ~~ -. ~ ~р (О), = 1. Но ~ )срс,(~с) ~-с /ср((с) ~~. Поэтому (ср(1с) ~~=1 для любого 1, ~ Д, и, следовательно, согласно теореме 5 из з 12 гл. !1, случайная величина е должна быть вырождена, что противоречит предположению леммы. Итак, а(со. Предположим теперь, что существуют две подпоследовательности (пс) и (п() такие, что а„-эа, а„-с-а', где а~и' и для определенности О~а' (а. Тогда из (7) и (8) )ср„.
(а„у) ,'-с-'ср(аг) ), (Чс„. (а„.г) (-с-) ф(1) ! ~ср„(а„с'1 ~-» ~ ср(а'1) !, / ~р„(а„. (1)1-с. ! ф(1) /. Следовательно, ~1р(аг) 1=!ср(а'~) ~, и, значит, для л1обого (ен)т ~ч(1)~=~у( — "„6=...=~%((-"„-) 1) 1, Поэтому ~ср(Г) )=1 и, согласно теореме 5 из З 12 гл, П, отсюда вытекает, что $ — вырожденная случайная величина, Полученное противоречие показывает, что а=а' и, значит, существует конеч, ный предел 1ипа„ас причем а~О.
364 ГЛ. Н!. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Покажем теперь, что существует предел 1!и!Ь„=Ь и а)О. Поскольку (8) выполнено равномерно на каждом конечном интервале, то !р„(а„1) ь- !р (а(), и, значит, в силу (7) существует 1!пте» для всех тех 1, для иь » ж которых !р(а!)~0, Пусть б 0 таково, что для всех,'1!'<б !р(а!)~0. Тогда для таких Т существует !Инеи» и, значит, 1!щ ' Ь„~ < ОО. Пусть существуют две подпоследовательности (и,) и !и!), такие, что !Нп Ь„ = Ь и 1нп Ь,! = Ь'.
Тогда для !(! < б еГРь еем' (!, сь)~, ~Ф(1) =!'1() — й!1," 1+!'6 — „б »( где 0<а< 2, р е=)т, й==О, !ь !«1, —,= !!! 0 при 1=0 и я~1, 1й — з- !х, если б(!, а) = — !од ! 1 !, если (10) а = 1. Отметим, что особо просто устроены характеристические функции симметричных устойчивых распределений: !р (Т) = е-' '!", где 0<а«2, й)0. 5. Задачи. 1. Показать, что если $„ ~ $ и $„ -" т), то ~ь »вЂ т!. 2. Показааь, что если !р! и !рз †д безгранично делимые характеристические функции, то р, !ра — также безгранично дели.
мая характеристическая функция. и, следовательно, Ь=Ь'. Итак, существует конечный предел Ь = =-1нпй„и, согласно (7), тр (!) = е™ср (аТ), в что означает, что $ = а$+ Ь. Поскольку с не вырождена, то а ~ О, Лемма доказана. 4. Приведем теперь (без доказательства) теорему об общем виде характеристической функции устойчивых распределений.
Те о р ем а 4 (представление Леви — Хинчина). Случайнан величина Т является устойчивой тогда и только тогда, когда ее характгристическая функция ср(!) иьчеет вид р(Т) =ехр зр(Т), 5 5. Безгехнично делимые РАспееделения 3. Пусть ~р„— безгранично делимые характеристические функции и ~р, (1) — ~-гр (() для каждого ( ~ Й, где ср (г) — некоторая характеристическая функция. Показать, что ч~ (1) безгранично делима. 4. Показать, что характеристическая функция безгранично делимого распределения не обращается в нуль.
5. Привести пример случайной величины, являющейся безгранично делимой, но не устойчивой. 6. Показать, что для устойчивой случайной величины М1с~' -оо для всех ге=(0, я). 7. Показать, что если $ — устойчивая случайная величина с параметром 0 -а=-1, то р(() не дифференцируема при ~=О. 8. Дать доказательство того, что функцяя с-ап~" с драО, 0( ;а -=.
2, является характеристической. ГЛАВА 1т! ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И СУММЫ НЕЗАВИСИМЪ1Х СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН $ 1. Законы «нуля или единицы» 1, Ряд ~~ — расходится, а ряд ~~ ( — 1)" — сходится. Поста- %» 1 л Л ° Л л а=! »=! вим следующий вопрос. Что можно сказать о сходимости илн расходимости ряда ~~ —, где $„3„...— последовательность неза«» л=! висимых одинаково распределенных бернуллиевских случайных величин с Р (е! =+ 1) = Р (5! = — 1) = 1!2? Иначе говоря, что можно сказать о сходимости ряда с общим членом «-1?и, где знаки + и — «разбросаиы» в случайном порядке в соответствии с рассматриваемой последовательностью $„$«, ...? Обозначим А = кп ~ — сходил!Ая «и Л л »=! множество тех элементарных исходов, где ряд ~~ - — сходится «л »=! (к конечным значениям) н рассмотрим вероятность Р (А!) этого множества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
