1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Пусть д«=(Р„; аен'Л)— семейство вероятностных мгр, заданных на полном сепарабельном метрическом пространстве (Е, а', р). Семейство д«является относительно компактным тогда и только пюгда, когда оно является плотным. э а ОтносительнАя кОмпАктнОсть и плОтнОсть ззэ Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы будет приведено лишь для случая числовой прямой. (Почти без всяких изменений это доказательство переносится на случай произвольных евклпдовых пространств )т", и ) 2.
Затем справедливость теоремы устанавливается последовательно для )с, для а-компактных пространств и, наконец, для общих полных сепарабельных метрических пространств путем сведения каждого из этих случаев к предыдущему.) Н е о б х од и м о с ть.
Пусть семейство вероятностных мер К =- ° (Р„; а ен 9!), заданных на (Я,,й()х)), относительно компактно, но пе плотно. Тогда найдется такое е)0, что для любого компакта К ы 1!' зпр Р,()т" К) »е а значит, и для любого интервала 1=(а, й) зпр Р„(й'~1) е. а Отсюда вытекает, что для каждого интервала 1„=( — и, и), и)! найдется такая мера Р„, что Р ()1'~1„) > е.
Раз исходное семейство б! относительно компактно, то из после- довательности (Р )а» ! можно извлечь подпоследовательность, скажем, (Р„ ! такую, что Р„ " С), где С( — некоторая вероят"~л! а!, постная мера. Тогда в силу эквивалентности условий 1 и 11 в тео- реме 1 из 9 1 для всякого п 1 1!ш Р (К~1„) ==. 0 (К~1„).
(2) Но 0(Л",1„) ! О, п-~-оо, а левая часть в (2) больше е)0. Это противоречие йоказывает, что относительная компактность влечет аа собой плотность. Лля доказательства достаточности нам необходим один общий результат (называемый теоремой Хелли) о ссквсн!!иальной кол!- пактностпи семейства обобщенных функций распределения (п. 2 й 3 гл. !!). Обозначим через ел =(б) совокупность функций б=б(х) (обобщенных функций распределения), удовлетворяющих следующим свойствам: 1) б (х) — не убывают; 2) 0 = б ( — сю), б (+ ОО) ~ 1! 3) б (х) — непрерывны справа. Ясно, что Ф включает в себя класс функций распределения х (г), для которых г ( — Оо) = 0 и с" (+ со) = 1, зло гл, гп сходимость ввгоятностных маг Теорема 2 (теорема Хелли).
Класс «7=(6) обобщенных срункций распределения является секвенциально компактным, т, е. для любой последовательности (6„) функций из «7 найдутся (аункции Сан«7 и подпоследовательность (и») я (и) такие, что 6~с ) 6Ю для любой точки х из мноясества С (6) точек непрерывности Функции 6 = 6 (х).
>«он а вате льство. Обозначим через Т=(х„х„...) счетное всюду плотное множество в Л>. Поскольку числовая последовательность (6„(х>)) ограничена, то найдется подпоследовательность Л', = (п',", и',", ...) такая, что при ю'-» со 6,,: (х,) сходятся к некоторому числу дь В свою очередь из последовательности Л', мо»сно извлечь подпоследовательность Л',= (>г',", и.,"', ...) такую, что 6„(х,) сходятся при (-»-с«> к некоторому числу д» и т.
д. Определим на множестве Ты Р функцию бг(х), полагая бг(ха =у„х; еи Т, и рассмотрим «канторовскую» диагональную последовательность Л>=(п',", и>", ...). Тогда для любого х; ~Т при и- со б < ~(х,) .бг(х>). Определим, наконец, функцию 6=6(х) для всех хан >«, полагая 6 (х) = (п! (бг(у): у е= Т, у х). (3) Мы утверждаем, что 6=6(х) есть искомая функция и 6, >(х)- ~» 6(х) для всех точек х, где 6(х) непрерывна.
Поскольку все рассматриваемые функции б„являются неубывающими, то 6 ыо(х)(6, >(у) для всех х и у, принадлежащих О1 Н множеству Т и удовлетворяющих неравенству к~ у. Поэтому для таких х и у б т (х) ~ бг (у). Отсюда и из определения (3) следует, что функция 6=6(х) является неубывающей. Покажем теперь, что она непрерывна справа. Пусть х» ) х и «(=(ни 6(х,).
Ясно, что 6(х)-=с(, и надо установить, что на самом деле 6 (х) = й. Предполо>ким противное, т. е. пусть 6 (х) (й. Из (3) следует, что тогда найдется такая точка уя Т, х<у, что бг (у) ( й. Для достаточно больших й х ( х» ( у, а, значит, 6 (х,) ( бг(у) ~й и !ни 6(х») ( а', что противоречит равенству й = )пи 6(х»), Итак, построенная функция б принадлежит «7. $ а Относитяльнхя компхктность и плОтнОсть 34! Установйм теперь сходимость С < > (х') -+. С (х') для всякой ит тОчки х е= <о (6). Если х'(де= Т, то 1пп 6 <т>(х«) =-!нп и т т откуда 1пп С <т>(х') = !п1(Сг(у): у~х", ус= Т) =6(х»). т «и С другой стороны, пусть х' д(х', у ~ Т.
Тогда 6 (х') = Сг (у) =1цп С <, (у) =1!щ С <и,> (у) (1!тп С <т> (х'). °, т т (4) Поэтому, полагая А' '( х', получим, что 6(хи ):=!<П16,т,(АО). (б) и« или, что эквивалентно, 1 - е == Р„(а, Ь), и ~ 1. Выберем точки а', Ь'я В(6), такими, что а'«а, Ь'>Ь. Тогда 1 — е=-Ри»(а, Ь)--Ри, <а', Ь') =- ди„(Ь ) — ги (а')-»6(Ь ) — 6(а'). Отсюда следует, что С (+со) — 6 ( — оз) = 1, и поскольку О -= -.=:6( — оо) ~ 6(+со) «=1, то 6( — со) = О и 6(+оо) = 1. Таким Образом, предельная функция 6= 6(х) является функцией распределения и Е„„~С, что вместе с теоремой 2 из ~ 1 Но ес.ш 6(т" — ) =-6(х"), то тогда из (4) и (5) ззкл!Очаеы, что , < .« С ( .«) ии Теорема доказана.
Завершим теперь доказа>ельство теоремы 1. Достаточность. Пусть ссмейсгво Ф плотно и (Р„) — неко- торая последовательность вероятностных мер из с»«. Обозначим ч=рез (г„) последовательность соответствующих функций распре- ДЕЛЕШ<Я. В силу теоремы Хеппи найдутся подпоследовательпость )г"„А) = (г„) и обобщенная функция распределения 6 с= ~7 такие, что г"„»(х) — «-6(х) для хан 3(6). Покажем, что в силу предполо- жения о плотности семейства а.
функш<я 6=6(х) является на самом деле «настоящей» функцией распределения (С ( — ~) = О, 6 (+ оо) = 1). Возьмем е) О, и пусть ) =(а, Ь) — тот интервал, для которого зпр Ри()с «,у) (с, и 342 ГЛ. П!. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР доказывает, что Р„О, где С) — вероятностная мера, построенная по функции распределения 6. Теорема 1 доказана. 4. Задачи. 1. Провести доказательство теорем 1 и 2 для пространств )т", п) 2. 2. Пусть Є— гауссовская мера на числовой прямой с параметрами л»„и а„'-', а е 21. Показать, что семейство У=(Р„; ае-:2() является плотным тогда и только тогда, когда существуют константы а н Ь такие, что 'и!„( а, О', ~ Ь, а е= 6. 3.
Привести примерь! плотных и неплотных семейств вероятностных мер У=(Р„; ась 21), определенных на ()т,,%()т )). ч 3, Метод характеристических функций в доказательстве предельных теорем 1. Доказательство первых предельных теорем теории вероятностей — закона больших чисел и теорем Муавра — Лапласа и Пуассона для схемы Бернулли — основывалось на прямом анализе допредельных функций распределений Ь'„, которые довольно просто выражаются через бнномиальные вероятности.
(В схеме Бернулли суммируемые случайные величины принимают только два значения, что и дает, в сущности, возможное!ь явно найти функции Ь,.) 'Однако для случайных величин более сложной природы подобный ме~од прямого анализа функций Ь'„станов!!Тся практически неосуществимым. Г!ервый шаг в доказательстве предельных теорем для сумм произвольно распределенных независимых случайных величин был сделан Чебышевым. Предложенное им неравенство, известное теперь как кнсравенство Чебышева», не только дало возможность элементарно доказать закон больших чисел Я.
Бернулли, но и установить вссьма сбщне условия справедливости этого закона для сумм 5„ = ч! -!- +... + с„ и =.-.1, независимых случайных величии в форме утверждения, что для всякого е ~ О Р~~ —" — — ",~)е~ — «О, п-«со. (См. задачу 2.) Далее, Чебышевым был создан (и Марковым усовершенствован) так называемый «метод моментов», который позволил установить, 343 5 3.
МЕТОД ХАРАКТЕРИСТНЧЕСКНХ ФУНКЦИП что утверждение теоремы Муавра — Лапласа, записанное в виде л Р( ", " ~х~-».—, ~ е — "ч'йи, (2) носит универсальный характер атом смысле, что оно справедливо в очень общих предположениях относительно природы суммируемых случайных величин. Именно это дало сснование называть утверждение (2) центральной предельной теоремой теории вероятностей.
1!есколько позже Ляпунов предложил иной метод доказатель. ства центральной предельной теоремы, в сснове которого лежала (восходящая к Лапласу) пдся «характеристической функции» распределения верогпностей. Последующее развитие показало, что «метод характеристи:сских функций» Ляпунова является весьма эффективным при доказательстве самых разнообразных предельных теорем, что и «бусловпло его развитие и широкое применение. Сущность этого метода состоит в следующем. 2. Мы уже знаем Я 12 гл, 11), что между функциями распределсния и харакзеристическими функциями существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому изучение свойств функций распределения мгжно проводить, изучая соответств)ющие характеристические функции, Замечательным оказывае1ся то обстоятельство, что слабая сходимость Р« -'- Р функний распределения эквивалентна поточечной схсщимости гр„- «р соответствующих характеристических функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
