1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Заранее не ясно, какие значения может принимать эта вероятность, Замечательным оказывается, однако, то обстоятельство, что а рПоП можно утверждать, что эта вероятность может принимать только два значения 0 или 1. Этот результат является следствием так называемого закона «нуля или един!щы» («О или 1») Колмогорова, формулировка и доказательство которо~о составляют основное содержание данного параграфа. 2. Пусть (Я,,У, Р) — вероятностное пространство, $, 5„...— некоторая последовательность случайных величин.
Обозначим $ !. ЗАКОНЫ НУЛЯ ИЛИ ЕДИНИЦЫ* ,У „= о($„, «„»„...) — о-алгебру, порожденную случайными величинами $„, $„~„..., и пусть й=П у" л=! Поскольку пересечение а-алгебр есть снова о-алгебра, то Х— есть о-алгебра. Эта и-алгебра будет называться «хвостовой» или «остаточной», в связи с тем, что всякое событие А ен Х не зависит от значений случайных величин 5„..., $„при любом конечном числе и, а определяется лишь «поведением бесконечно далеких значений последовательности $„$„...».
Поскольку для любого !«~: 1 с! $„ Вл л» А,= ~~ ="- сходится = г -"- сходится я,У», п и л ! л=* то А,ен П У, =Х. Точно так же, если $„$„...— произволь- ная последовательность, то Ав - .У, '$л сходится~ ~ х, ! л Следующие события также являются «хвостовымим А =(З„«= 1« для бесконечно многик и), С другой стороны, В, (зл = 0 для всех и = 1), Вв=)!!ш(ьв-!-...-(-$„) существует и меньше с) л являются примерами событий, не принадлежащих Х, Будем теперь предполагать, что рассматриваемые случайные величины являются независцэ|ыми. При этом допущении из леммы где 1« ен $(й), и= 1; А„=!1ип ! л А,=(!!ш Ав=(!|ш л Ав= (!!ш $„< со~; «|+ ° "+«л и 1'+"'+1" (с1 и Ф сходится~! зев ГЛ.
1Ч НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАПНЫЕ ВЕЛИЧПНЫ Бореля — Кантелли следует, что Р(А») =Ос=>ХРа. =~.)с Р (А,) =- 1 с=:> ~; Р Д„я 1„) = сс. Таким образом, вероятность события А» может принимать лишь два значения 0 или 1 в зависимости от сходимости или расходи- мости ряда д", Р Я„~ 1„). Это утверждение носит название закона «О или !» Бореля. Т е о р е м а 1 (закон «О или 1» Колмогорова). Пусть $, ...
— последовательность независимых случайных величин и Я ~ Х. Тогда вероятность Р (А) может принимать лишь два значения: нуль или единииа. Д о к а з а т е л ь с т в о. Идея доказательства состоит в том, чтобы показать, что каждое «хвостовое» событие Л не зависит от самого себя и, значит, Р(АДА)=Р(А) Р(Л), т. е. Р(А)=Р'(А), от- куда Р(А) =0 или 1, Если А я Х, то А ЕЕ,У, = о Я„$„...) = о '( ),У ",'р где У ", = « = о Яп ..., $„), и можно найти (задача 8 из у 3 гл. П) такие множества А„еп,У",, и=1, что Р(АЛА,)- О, и — оо, Отсюда следует, что Р(А„)-«Р(А), Р(А,ПА) — «Р(А), Но если А «и Х, то для каждого и= 1 события А„и А независимы: Р (А П А„) = Р (А) Р (А„), откуда в силу (1) следует, что Р(Л) =Р'(А), и, значит, Р(А) =0 или !.
Теорема доказана. Следств не. Пусть») — случайная величина, измеримая относительно «хвостовой» о.-алгебры Х, т, е. (») Еп В) еп Х, В еп енсу(й). Тогда Ч является вырсжденной случайной величиной, т. е. существует константа с такая, что Р(т) =с) =1, 3. Приводимая шже теорема 2 служит иллюстрацией нетривиального применения закона «нуля или единипы» Колмогорова.
Пусть $Н $„... — последовательность независимых бернуллиевских случайных величин с РЯ„=!)=-р, Р(»„= — 1)=д, р+ +у=1, п=-1, и 5„=$,+...+$„, Интуитивно понятно, что в симметричном случае, р=1)2, «типичные» траектории случайного блуждания 5„, п~1, бесконечно много раз проходят через нуль, а в случае рай!!2 «уходят» в бесконечность.
Сформулируем теперь точный результат. Теорема 2. а) Если р= 1(2, то Р(5„=0 б. ч.) =1. Ь) Если р~= 1)2, то Р (5„=0 б, ч.)=0. з г. законы *н»ля илн адпницы» заэ Доказательство. Прежде всего отметим, что событие В= =(5„=0 б. и.) не является «хвостовым», т. е, ВфХ= П 7„, ,Р„=о Я„, «„„г ). Поэтому в принципе не ясно, что вероятность события В принимает лишь значения 0 или 1. Утверждение Ь) легко доказывается применением (первой части) леммы Бореля — Кантелли. Действительно, если В»„=(5«„=-0), то по формуле Стнрлинга ««л !«рд)" Р (В«,) = С»«р г) 1' гггг и, значит, Х'Р(В«„)~со. Поэтому Р(5„=0 б.
ч.).=0. Для доказательства утверждения а) достаточно доказать, что событие г —. 3„. 3„ А=г)!ш — '" =со, !пп — ".= — со~ )г а ' — 1«л имеет вероятность 1, поскольку Л = В. Пусть Л, = (!Оп ~ —.—" ~ ) с~. Тогда А,4 А, с- со, при этом как событие А, так и все события А, являются <хвостовыми». Покажем, что для каждого с) 0 Р(А,) =1. Поскольку А, ~ Х, то достаточно лишь установить, что Р(А,) ) О. Но Р~1!ш!,." ! = с~ - 1!гп Р(( —," ~) с')О, где последнее неравенство следует из теоремы Муавра — Лапласа.
Итак, для всех с ) 0 Р (А ) =- 1 и, значит, Р (А) = )пп Р (А ) =1. с со Теорема доказана. 4. Отметим еще раз, что событие В = (5„ = О б. ч.) не является «хвостовым». Тем не менее пз теоремы 2 следует, что для схемы Бернулли вероятность этого события, как и в случае «хвостовых» событий, принимает лишь два зггачения 0 или 1. Оказывается, что это обстоятельство неслучайно и является следствием так называемого закона «О или 1» Хьювитта и Сэвиджа, который обобщает для случая независимых одинаково распределенных случайных величин результат теоремы 1 на класс так называемых «перестановочных» событий (включающий в себя и класс «хвостовых» событий).
Введем необходимые определения. Взаимно однозначное отображение п=(п„и„...) множества (1, 2, ...) в себя назовем конечной перестановкой, если я„=л для всех гг, за исключением, быть может, конечного числа. 370 ГЛ. НП НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Р (А ЛА„) = Ре (В 7АВ„) = Р„„ды (В ЛВ„). (3) Раз событие А является перестановочным, то А ю Я ~ В) = п„(А) ю (п„($) ен В).
Поэтому рн„ин(ВйВ„)=Р( „(р В) Л(„„(т) В )) =" Я ен В) 7А(п,($) ен В„)) =Р(А йп„(А>)), Итак, из (3) и (4) Р (.4 ЬА„) = Р (А бп„(А„)), (4) В силу (2) отсюда следует, что Р (АЛ (А„() п„(А„)))-«-О, п-» со. Поэтому нз (2), (3) и (6) заключаем, что Р (А„) -ь Р (А), Р (и, (А„)) — » Р (А), Р(А ()п„(А„))-»Р(А), Если $=($„$„...) — последовательность случайных величин, то через п($) будем обозначать последовательность Я„о $„„...). Если событие А =ДЕЕВ), В яЮ()«), то через п(А) обозначим соб>итие (п($) ~ В), В ен %(1« ). Назовем событие А-ЯяВ), Вя л1(1« ), перестановочннм, если для любой конечной перестановки и событие п(А) совпадает с А. Примером перестановочного события является событие А = = (5„=0 б.
ч.), где 5„=«,+...+$„. Более того, можно показать (задача 4), что каждое событие из «хвостовой» о-алгебры Х(5) = П,У„(5),,У„(5)=о(вн 5„, 5„«„...), порожденной величинами 5, = $„5> = $„+ «„..., является перестановочным, Теорема 3 (закон «О или 1> Хьюитта и Сэвиджа). Пусть $ы ««, ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин и А=(ьн (ен $«,,. ) ~В) — перестановочнов событие.
Тогда Р(А) =0 или 1. Лок азате льет во. Пусть А=ЯВИВ) — перестановочноесобытие. Выберем множества В„~ %(1«") такими, что -для А, = (Вн (>н ..., $„) ЕБ В„) Р(А ЛА«)->0, Лексо. (2) Поскольку случайные величины Вн $„,„независимы и одинаково распределены, то распределения вероятностей РВ(В) нм =Р Д ен В) и Р„„~ы(В) =Р(л„($) я В) совпадают. Значит, 371 ь в сходимость гидов Далее, в силу независимости случайных величин Зп $„... Р(А„()п„(А„))=РЯ„..., $„) яВ„, Я„„, ...„$»„) ен В„) = — Р ((»и ~ ьл) е Вл) ' Р Ял«п, . р ~о») е= В»)— Р (А„) Р (п„(А„)), откуда в силу (?) Р (А) = Р' (А) и, значит, Р(А)=0 или 1. Теорема доказана. 5.
Задачи. !. Доказать следствие к теореме 1. 2. Показать, что если ($„) — последовательность независимых случайных величин, то случайные величины !1пз3„и 1!щ «„являются вырожденными. 3. Пусть ($„) — последовательность независимых случайных величин, 5„=«,+...+«„, и константы о„таковы, что 0(д„) оо. л» зл Показать, что случайные величины 1пп †" и 1!ю †"- являются выь„ ь„ рожденными. 4. Пусть 5„=$,+...)-~«, и= 1 и 2 (5) = (),У'„(5),,T„(5) = = о(ьи 5„, 5„„„...). Показать, что каждое соСытие из 2,"(5) является перестановочным.
й 2. Сходимость рядов 1. Будем предполагать, что со $«, ... — последовательность независимых случайных величин, 5„=$,+...+с„и А — множество тех элементарных исходов ь», где ряд »' $„(ю) сходится к конечному пределу. Из закона «О или 1» Колмогорова следует, что вероятносгь Р (А) =0 или 1, т. е. с вероятностью единица ряд ~' «. сходится или расходится, Цель настоящего параграфа †да критерии, позволяющие определять, сходится или расходится ряд из независимых случайных величин.
Т е о р е м а 1 (Колмогоров и Х инчнн). а) Пусть М«« = О, и з ь 1. Тогда, еслсс ХМЫС то ряд 2,"»„сходится с вероятностью единица. Ь) Если и тому ясе случайные величины "„п)1, равномерно ограничены (Р (! $„! ~ с) = 1, с ( со), »по верно и обратное: из сходимости с вероятностью единица ряда 2, '$„следует условие (1). Доказательство этой теоремы существенно опирается на Неравенства Колмогорова. а) Пусть $„в„..., в„— независимые случайные величины с М$; =О, Мз1(со, !(п, Тогда 37Е ГЛ. Пл НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ для всякого Е~О Ме'„ Р) п1ах (5А):и е~( —,". (1<А~с (2) Ь) Если к тому же Р(($1!(с) =1, 1':-и, то Р ) гпах ! 5А ) 7 е е( ) 1 — (с„+,) ° Доказательство.
а) Обозначим А =(п1ах (5А) = е), Л„= ()5,((е, 1=1, ..., й — 1, ~5„(="е), Тогда А = — ~'АА и М5'„.=-. М5"„!л = 2, М5'„!л Но М517л„= М (5А+ (й1Н1+" + $.))' 7л* = = МЯ!л„+2М51($л„+...+$л) 7л +М Ясы+...+Ел)' !лев =-МЯ!л„ что и доказывает первое неравенство. Для доказательства (3) заметим, что МЯ!л =- М5„' — М5'„7л- ~ М5'„— е'Р (А) = МЯ вЂ” ее+ВАР (А). (4) С другой стороны, на множестве А» )5А 1)~е, )5А)((5А 1(+1$А)-=е+с и, значит, МЯ!л = ~х , 'МЯ!АА+ ~ ', М (7лл (5„— 5А)е) == л л =(е+с)'~Р(АА)+~к~ Р(ЛА) ~', МЦ~ А А=! 1=А+1 ~Р(А) (е+с)'+ ~~ ЬЦ1' =Р(А)1(е+с)е+М5с]. 7=1 Из (4) и (5) находим, что М.сс ел Р(() =(.+.) +мз —" — ' (е+ с)л (е+ с)л (е+с)~+М5„' — ел 9~5 ~1 —— поскольку М5А(й„„+...+$л) 7лл= М517АА М Ял„,+...+$л)= О в силу предположенной независимости и условий М$1= 0, 1'= и.
Г1оэтому МЯ =- 1 МЯ7л -- е' ~ Р (АА) = е'Р (А), ! е сходпмость гадов 1!еравенство (3) доказано. Доказательство теоремы 1. а) Согласно теореме 4 из 2 10 гл. П последовательность (5„), и ) 1, сходится с' вероятностью единица тогда и только тогда, когда эта последовательность фундаментальна с вероятностью единица.
По теореме 1 из 10 гл, 11 последовательность (5„), и ) 1, фундаментальна (Р-п. и.) в том и только том случае, когда Р )зир ! 5,», — 5» ~ ="- е( -». О, (»)! ! и-!- со, (6) В силу (2) Р )зпр !5„» — 5„!'= а(= 1(ш Р) шах «-!-н м1» ! 5«+» 5« ~- ~; мц ~ 1)п! и со !энр ~ 5»» — 5„! ~ ~~ (-2 ° ',») ! В силу (3) Р (!зп ~ 5 5 ~ 1 (сч-«)» МЦ »=« Поэтому, если допустить, что У МЦ= со, то получим (7) Р)зпр ~ 5„» — 5„/» е~ = 1, 1») ! что противоречит неравенству (7). Теорема доказана. П р и м е р.
Если «„1„... — последовательность независимых бернуллиевских случайных величин с Р($„=+1) =Р($„= — !) =- = 1)2, то ряд «'1„а„, где !а„~ =..с, сходится с вероятностью единица тогда и только тогда, когда ~'„а'„(оо. 2. Теорема 2 (теорема о «двух рядах»). Для сходимости с вероятностью единица ряда 2,«„из независимых случайных величин достаточно, чтобы одноврел!енно сходились два ряда ~ Ма„ и 2; 0$„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
