1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Определение 3. Случайная величина $=$(ьа) называется инвариантной (почти инвариантной), если в(ьа) =$(Тая) для всех аа = й (для почти всех аь еи ь1), Следующая лемма устанавливает связь между инвариантными и почти инвариантными множествами. Лемма 1. Если А является почти инвариантным множеством, пю найдется такое инвариантное множеспмо В, что Р (АЛВ) = = О. Доказательство. Положим В=1ппТ-"А, Тогда Т'В = =1(апТ-~а'мА=В, т. е. В енот.
Нетрудно убедиться в том, что АЛВ~= 0 (Т аАЛТ-~аамА). Но Р(Т-аАЛТ-~а+пА) Р) АЛТ-аА) а--а = О. Поэтому Р(АЛВ) =О. Лемма 2. Преобразование Т эргодично тогда и только тогда, когда каждое почти инвариантное множество имеет меру нуль или единица. Доказательство. Пусть А ~ау*; тогда по лемме 1 найдется инвариантное множество В такое, что Р(АЛВ)=0. НоТ эргодичио и, значит, Р(В) =0 или 1, Поэтоьиу Р(А)=0 или 1.
Обратное очевидно, поскольку Ф с: — чУ*. Лемма доказана. Т е о р е м а 1. Пусть Т вЂ” сокраняющее меру преобразование, Следующие условия вквивалентньп (1) Т вргодично; (2) каждая почти инвориантная случайная величина есть (Р-и. и ) константа; (3) каждая инвариантная случайная величина есть (Р-и. н.) к он стан та.
Доказательство. (1) с=о(2). Пусть Т эргодично и $ почти инвариантна, т. е. (Р-п, н,) $(аа) =$(Таа). Тогда для любого с~В множество А,=(ек С(ьа)==.с) ~от* и по лемме 2 Р(А,)=0 или !. Пусть С=вор(с: Р(Аа)=0). Поскольку Аау(2 при с)'оо и А,(, ф при с~ — оо, то !С!(оо. Тогда а(: а< >~а)-а(0 (а~,>~с — -'))=а аь = 1 и аналогично Р(аь: $(ьа)- с)=0. Тем самым Р(ьн $(ао) =С) =1. (2):=ь (3). Очевидно. 395 э х эггодичность и пегьмешивлнив (3)==Э(1). Пусть А вне, тогда !л — инвариантная случайная величина и, значит, (Р-п.
н.) 7л=О или 1л=1, откуда Р(А) =0 или 1, Замечание. Утверждение теоремы остается в силе и в том случае, когда рассматриваемые случайные величины ограничены. В качестве иллюстрации применения этой теоремы рассмотрим следующий Пример. Пусть 11=10, 1),,К=Л([0, 1)), Р— мера Лебега и Ты=(ы+Х) шоб!. Покажем, что Т эргодично в том и только том случае, когда Х иррационально. Пусть 9 = 9(вэ) — случайная величина с Мв'(а) С со. Тогда известно, что ряд Фурье ~ч,' с„е'"'"" функции $(ы) сходится в к = — со среднеквадратическом смысле, 2, с„!'(оо и $(ы)= ~ с„ее"'"" (Р-п.
н.). Отсюда $(Та) = ~Ч ', с„е' '""е'"'"х, и, если $ инвариантна, то с„(1 — е'""х) =О. По предположению Х иррационально и, значит, для всех пчь! еэ ""~1. Поэтому с„=О, пФ!, Е(а)=с, (Р-и. н.) и по теореме 1 преобразование Т эргодично. С другой стороны, пусть Х рационально, т. е„ ). = й/т, где й и т — целые, Рассмотрим множество А=(еи 0(ы - 'к~т, 2т —,2 2т — ! 1 2/т~в(3!т, ... =-в< !.
Ясно, что это множество т Ш является инвариантным, но Р (А) = 1~2. Следовательно, Т не эргодично. 2; Определение 4. Сохраняющее меру преобразование Т называется перемешиванием (обладающим свойством перемешивания), если для любых А, Вен,К И т Р (А П Т-"В) = Р (А) Р (В). к са Следующая теорема устанавливает связь между эргодичностью и перемешиванием. Теорема 2.
Всякое преобразование Т, обладающее свойством перемешивания, является эргодическим. 5 о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А я У, В ен еэ . Тогда В = Т-"В, я~1, и, значит, Р(А ПТ-"В)= Р(А() В) для всех и-=1. В силу 396 Гл ч стгциОнлРныг слечьпные пОследОВАтельнОсти (1) Р (А П В) = Р (А) Р (В). Поэтому при А В находим, что Р (В) = Р'(В) и, следовательно, Р(В) = О или!.
Теорема доказана. 3. Задачи. 1. Показать, что случайная величина $ является инвариантной тогда и только тогда, когда она Вт-измерима. 2. Показать, что множество А является почти инвариантным тогда и только тогда, когда или Р (Т 'АН,А) = О или Р (А' Т-'А) =- = — О. 3. Показать, что преобразование, рассмотренное в примере и. 1, не обладает свойством перемешивания. 4. Показать, что преобразование Т есть перемешивание в том и только том случае, когда для любых двух случайных величин н т! с М~т(оз, Мт)' с со Мь (Т'в) т! (в) — М-' (в) Мт) (в), и — ОО. $ 3.
Эргодические теоремы 1. Теорема ! (Биркгоф и Хинчин). Пусть Т вЂ” сохранятоитег меру преобразогание и В =-В(в) — случайная величина с М ~ 5,,'(со. Тогда (Р-и. и.) и†! 11П1 — ' ~ ~(Т'в) = М ($ ! '~). ~!) ь=ь Если к тому же Т гргодично, то (Р-и. и.) а — ! ! Пп — «~ $ (Т'в) = М$. а и ь =-о !2) 5ь(в) =$(в)+ $(Тв)+...+$(Ть-тв), Мь(в) =гпах(0, 5, (в), ..., 5ь(в)).
Тогда для любого п==! М(ь(в) т(м,>ь)(в)1~О Доказательство. Если л)я, то М„(Тат)= 5ь(Тв) и, значит, $(в)+М„(Тв) ~ В(в)+5ь(Тв) =5ь+ (в). Так как. Приводимое ниже доказательство существенно опирается на следующее предложение, простое доказательство которого было найдено А. Гарсиа (19бб). Л е м м а (максимальная эргодическая теорема). Пусть Т— сохраняющее меру преобразование, $ — случайная величина с М ! в ! ( <ОО и т 3.
ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ очевидно, что с (со) =-.5,(со) — М„(Тсо), то Е (от) зв Гпах (5, (от), ..., 5„(о!)) — М„(Тот). Поэтому М [Е (со)! (и„>о) (со)[.=--. )сс) (птах (5, (от), ..., 5„(со)) — М„(Тсо)). Но на множестве (М„) 0) !пах (5„..., 5,) = М„. Следовательно, йС) [Е (со) !(М„>о) (со)[==- М [(Ми (о!) — Ми (Тсо)) !(и„сео >о)[-- =- (с!) (М„(со) — М„(Тсо)) = О, так как, если Т вЂ” сохраняющее меру преобразование, то ММ„(со) = =- (с!)Ми(Тсо) (задача 1 из Э 1). Лень!а доказана.
Д о к а з а те л ь с т во те о р е и ы. Будем предполагать (сс) (Е) етт) =0 (в противном случае от Е надо перейти к ье — М (Е ~ ай)). ~и ~и Пусть т)=!пп — -" и т)=1сгп-" —. Для доказательства достаточно п и установить, что (Р-п. и.) о==- ) г)==О. Рассмотрим случайную величину т) =- т) (ю). Поскольку т) (со) = т) (Тсо), то Ч инвариантна и, следовательно, для каждого е>0 множество А, = (т) (со) > е) также является инвариантным. Введем новую случайную величину ее (со) =- (Е (со) — е) („, (от), и пусть 5е(со) ==И'(со)+...+Е*(Т"-'со), Ме(со)=!пах(0, 5с, ..., 5е).
Тогда, согласно лемме для любого а ) 1, ( и „"> о) 1 - О. Но прп и — «оэ (Ми':>О) =-[ тах 5е)О[~~зир 5ее) 01=)зцр- — > 01= ле е~и о~! ЕР>! ое = ( эир — ~ е~ П Ае = Ае !е>1 Ст где последнее равенство следует нз того, что евр — =-.т), а А, =- 5е е>! =-(ои т)>е). Далее„М ~~е)~М)$)+е. Поэтому по теореме о мажорируемой сходимости О~ МГ!(и„.>о))-МК*!.1 398 гл. ч. стлционАРные случлйныв послвдоватвльности Итак, О ~ М [оо тле[ М [(оо в) ~ле[ М [англо! в! (Ае) = М [М (ь ! о') Тло[ еР ('1е) — вР (Ае)~ откуда Р(А,) =0 и, значит, Р (Ч(0) =1.
Аналогично, рассматривая вместо $(оо) величины — $(оо), найдем, что 1пп [ — —" ! = — 1! —" = — о) п п и Р( — Ч-=.О)=1, т. е. Р(т1-.-0)=1. Тем самым О«=п-Ч(0 (Р-п. н.), что и доказывает первое утверждение теоремы, Для доказательства второго утверждения достаточно заметить, что поскольку М($,'от) — инвариантная случайная величина, то в эргодическом случае М(~о,'оу) =М$ (Р-п. н.).
Теорема доказана. Следствие. Сохраняющее меру преобразование Т эргодично в том и только том случае, когда для любых А, В ~ У ! !п1 „У Р (А () Т "В) = Р (А) Р (В). (3) о=о Лля доказательства эргодичности Т положим в (3) А = В ~ оУ. Тогда А () Т-'В =В и, значит, Р(В) =Р'(В), т. е. Р(В) =0 или 1. Обратно, пусть Т эргодично.
Тогда, применяя (2) к случайной величине $=!в(оо), где В еп У, найдем, что (Р-п. н.) 1пп — ~~ 1г-оэ (со) — Р (В), о=о М( — ~ $(Тооо) — М($!оУ)[-+О, и-+Оо. о=о (4) откуда, интегрируя обе части по множеству А ~ У' и используя теорему о мажорируемой сходимости, получаем требуемое соотношение (3). 2. Покажем теперь, что в условиях теоремы 1 в (1) и (2) имеет место не только сходимость почти наверное, но и в среднем. (Этот результат будет использован далее в доказательстве теоремы 3.) Теорема 2.
Пусть Т вЂ” сохраняющее меру пресбразованиг и 5=$(оо) — случайная величина с М(5!ч со. Тогда звз о э. эпгодические теОРемы Если к тому же Т эргодично, то л — ! М ~ — ~Р $(Того) — М$ ~ -+. О, и -~ оо. о=о (5) Доказательство. Для всякого ег»О можно найти такую ограниченную случайную величину т) (! т) (!о) ! ~ М), что М ~ $ — о) ( ~ о-е. Тогда л — ! М ~ — ~~ $ (Т"о!) — М (о! оУ) ~ ( М ~ -- ~~ (о (То!о) — о) (Тоо!)) ~-1- о=о о=о л †! +М~ — ~~ (т)(Тоо!) — М(г) ~оУ) ~+М ' ,'М($ !оУ) — М(!),'о7) ). (6) о=о ной величине !) следует, что — г' ео(о!) также сходятся (Р-п.
н. и .ьи А=! л и в среднем) к некоторой случайной величине Ч такой, что т) = Ч. Из теоремы 1 следует, что если М !ег~ ( оо, то ч= М ($!~аг), Поскольку (!) )-=. М, то по теореме о мажорируемой сходимости и в силу (1) находим, что второй член в правой части (6) стремится к нулю при и-! оо. Что же касается первого и третьего членов, то каждый из них меньше или равен е. Поэтому для достаточно больших и левая часть в (6) меньше 2е, что и доказывает (4). Наконец, если Т эргодично, то (5) следует из (4) и того замечания, что М (Е ! !оУ) = Мое (Р-п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
