1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 57
Текст из файла (страница 57)
3, Пусть (»т,,Я()т)) — числовая прямая с системой борелевских множеств,9 ()с), порожденных евклидовой метрикой р (х, у) ==- = !х — у! (ср. с замечанием 2 в п, 2 3 2 гл. 11). Обозначим Р, Р„, а~1, вероятностные меры на (Р,,ЗД)), и пусть Р, Е., и~1,— соответствующие им функции распределения, Тогда справедлива Т е о р е м а 2, Следующие условия эквавалентньи (1) Р„и Р, (2) Р„~Р, (3) ń— Е, (4) Е„=~у.
Лок азател ьство. Поскольку (2) с:«(1) с«(3), то достаточно доказать, что (2) ии (4). Если Р„~ Р, то, в частности, Р( — ~,х! Р( — -,х') для всех хен)с таких, что Р(х)=0. А это н означает, что Е,= >Е. Пусть теперь Е'„==э Р. Для доказательства сходимости Р ==э Р достаточно (в силу теоремы 1) показать, что !!п»Р„(А) = Р(Л) для всякого открытого множества А. Если Л вЂ” открытое множество, то найдется счетная система непересекающихся открытых интервалов 1„Ьм ... (вида (а, Ь)) таких, что А ~Х Ти. Зафиксируем е)О и выберем в каждом »=» интервале 1» (а„Ь») подынтервал !'»=(а», Ь»] такой, что а», Ь»ее6(Е) и Р (!»)==.Р(Д)+е 2-и.
(Поскольку множествоточекразрыва функции Е-Е(х) не более чем счетно, такие интервалы 1», /г)1. действительно существуют.) Тогда по лемме Фату 1!п! Р„(А) 1пп ~ Р„(7„) ) ~х"„!!»п Р„()в) ~ и и» ! »=! и ~ 1пп Ри(!»). «-! и » ь слАБАя сходимость Но Р„(Т») = Е„(6») — Е» (а») -«Г (Ы) — Е(а») = Р (1»). Поэтому 11гп Р„(А)» ~ч ', Р (Г~)» ~', (Р (]») — е 2-») = Р (А) — е, что в силу произвольности в)О доказывает, что 1ппР,(А) = " Р (А), если А — открытое множество. Теорема доказана. 4. Пусть (Е, Ь) — измеримое пространство. Систему подмножеств «и," (Е) = 8 назовем определяюи1им классом, если для любых двух вероятностных мер Р и О, заданных на (Е, Ел), из равенства Р (А) =0(А) для всех А ев Х»(Е) вытекает, что эти меры совпадают тождественно, т.
е. Р(А) =0(А) для всех А ~ Ж. Если (Е, Е, р) — метрическое пространство, то систему подмножеств Л", (Е) ы о назовем классом, определяюи(им сходимосгпез если для любых мер Р, Р„Р.„... из того, что Р„(А) — «Р(А) для всех А е-:«и",(Е) с Р (дА) =О вытекает, что Р„(А) — «Р (А) для всех А е= 6 с Р (дА) =О. В случае (Е, Ь) = ()1, % ()1)) в качестве определяющего класса Л'» (Й) можно взять класс <элементарных» множеств Ю=(( — со, х], х~)«) (теорема 1 из З 3 гл.
11). Из эквивалентности условий (2) и (4) теоремы 2 вытекает, что класс .Ж является также и классом, определяющим сходимость. Естественно возникает вопрос о таких определяющих классах и для более общих пространств. В случае пространств Р", и» 2, класс Л' <элементарных» множеств вида ( — ю, х1=( — со, х»)х ... х( — со, х„1, х = = (х„..., х„) ев Я» является как определяющим классом (теорема 2 из Э 3 гл, !1), так и классом, определяющим сходимость (задача 2). В случае пространства )т цилиндрические множества Ю»(Р ) являются теми «элементарными» множествами, по вероятностям которых однозначно определяется вероятность для всех борелевских множеств (теорема 3 из 3 3 гл.
П). Оказывается, что в этом случае класс цилиндрических множеств является тем классом, 836 ГЛ. Н! СХОДНМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР й Гп еп х — бе Ср(х+бе, где е=(1,, 1) ~)т". Будем говорить также, что последовательность функций распределения (Е„) сходитпея в основнол! к функции распределения Е(Е, =ФЕ), если Е,(х) — »Е(х) для всех точек х ~»!', где функция Е=-г (х) непрерывна. Показать, что утверждение теорет!ы 2 остается справедливым для )т", и) 1. (См.
замечание к теореме 2.) 2. Показать, что в случае пространств тт" класс «элементарных» множеств Й' является классом, определяющим сходимосТь. 3, Пусть Š— одно из пространств )т, С илц О. Будем говорить, что последовательность вероятностных мер (Р„) (задавных на о-алгебре О' борелевскпх множеств, порожденных открытыми множествами) сходится в основном в сзаысле конечномерных распределений к вероятностной мере Р (обозначение: Р»=РР), если Р„(А) — Р (А), и — со, для всех !(илиндричгеких множеств А с Р (дА) =-О. Показать, что в случае пространства )т (Р„ = Р) (Р„ = Р). который Определяет также и сходимссть (задача 3).
Таким образом, ю! ()т ) =-л',()т ). Можно было бы ожидать, что и в случае более общих пространств класс цилиндрических множеств является классом, определяющим сходимость. Однако, вообще говоря, зто не верно. Так, например, рассмотрим пространство (С, %„(С), р) с равномерной метрикой р (см. и. 6-З 2 гл. П). Пусть Р— вероятностная мера, целиком сосредоточенная на функции х, = О, О = ( == 1, а Р„ — вероятностные меры, н)1, каждая из которых сосредоточена на функции х„изображенной на рис.
35. Нетрудно убедиться, что Р„(А)- Р(А) для всех цилиндрических множеств А с Р (дА) = О, Но, если взять, например, множество А =(х е С: (х») ~ з, 0- (. 1) е= Ло(С), то Р(дА) =О, Р„(А) =О, Р(А) =1 и, следовательно, Р„уЬ Р. Таким образом, ЙГ,(С) =тй,(С), йо й',(С) с: У~»(С) (включение строгое!). о. Задачи. 1. Будем говорить, что функция Е = Е (х), заданная на )т", непрерывна в точке х~)т', если для любого В)0 найдется такое 6 > О, что ~ Е (х) — Е (у),! < е для всех р ен У', удовлеТворяющих неравенству % а относитвльнхя компактность и плотность ззт 4. Пусть Р и 6 — функции распределения на числовой прямой Е (Р, 6) = !п1 (й ) 0: Р (х — Й) — Й = 6 (х) =,=. Р (х+ Ь) + Ь) — расстояиие Леви (между Р и 6).
Показать, что сходимость в основном эквивалентна сходимости в метрике Леви: (Р„~Р) е~1,(Р„, Р)-э.О. 5. Пусть Р„~Р и функция распределения Р является непрерывной. Показать, что тогда сходимость Р„(х) к Р(х) равномерна: зпр~Р„(х) — Р(х)г-иО, п- оо.
к б. Доказать утверждение, сформулированное в замечании 1 к теореме 1. 7. Убедиться в справедливости эквивалентности условий (1')— (!Ч"'), сформулированных в замечании 2 к теореме 1. 8. Показать, что Р„-- Р тогда и только тогда, когда всякая подпоследовательиость (Р„ ) последовательности (Р„) содержит подпсследовательносзь (Р„-) такую, что Р„ — Р. $ 2. Относительная компактность и платность семейств вероятностных распределений 1. Если задана последовательность вероятностных мер, то прежде чем рассматривать вопрос о ее (слабой) сходимости к той или иной вероятностной мере, следует, конечно, выяснить, а сходится ли вообще эта последовательность к некоторой мере или имеет опа хотя бы одну сходящуюся подпсследовательность. Так, например, последовательность (Р„), где Ре„ = Р, Р,„, =— = С), а Р и С) — различные вероятностные меры, не являезся, очевидно, сходящейся, но имеет две сходящиеся подпаследовательиости (Реп) и (Ре ы) Совсем просто устроенная последовательность (Р„) вероятностных мер Р„, п =- 1, каждая из которых сосредоточена в точке (п)(Р„(п', = 1), не только не является сходящейся, но и не содержит ни одной сходящейся.подпоследовательности.
(Поскольку 1пп Р„(а, Ь] = 0 для любых а ( Ь, то предельная мера должна была бы быть тождественно равной нулю, а это противоречит тому, что 1-Р„()с) тг~О, и-~-оо.) Интересно отметить, что в этом примере соответствующая последовательность функций распределения (Р,), где 1, х=.- и, Р„(х) = О, х<п, 338 ГЛ.
ПЬ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР является, очевидно, сходящейся; для любого хан Е Е«(х) -» 6 (х) = — О. Однако предельная функция 6 = 6 (х) не является функцией распределения (в смысле определения 1 из 5 3 гл. П). Этот пример поучителен с той точки зрения, что, как он показывает, класс функций распределения не является компактным. Он подсказывает также, что для сходимссти последовательности функций распределения к функции, которая являлась бы также функцией распределения, нужны некоторые условия, предотвращающие «утечку массы на бесконечнсстьы После этих вводных замечаний, поясняющих характер возникающих здесь труд.юстей, перейдем к ссповным определениям.
2. Будем предполагать, что все рассматриваемые меры определены на метрическом пространстве (Е, б, р). Определение 1. Семенство вероятностных мер У = (Р; ссе=~»() назовем относительно компактным, если любая последовательность мер из Ф содержит подпсследовательность, слабо сходящуюся к некоторой вероятнсстной мере. Подчеркнем, что в этом определении предельная мера предполагается вероятностной, хотя, быть может, и не принадлежащей исходному классу Х.
(Именно с этим последним обстоятельством связано появление слова «относительно» в данном определении.) Проверка того, что данное семейство вероятностных мер относительно компактно, является делом далеко не прес»ым. Желательно поэтому иметь прсстые и удобные критерии, позволяющие сеун;ествлять эту проверку. Этой цели служит Определен ие 2. Семеество еероятнсстных мер д» =- = ',Р,; а е= Л) называется плотным, если для каждого е О можно указать компакт К с=' Е такои, что знр Р„(Е" К) =.В. (1) «мн Определение 3.
Семейство функций распределения,У— = (Е; а«='«1), определенных на Й", п= 1, называется относительно компактным (плотным), если таковым является соответствующее семейство вероятностных мер д» = (Р„; а ен 3(), где Є— мера, построенная по Е„. 3. Следующий результат играет фундаментальную роль во всей проблематике слабой сходимости вероятностных мер. Теорема 1 (теорема Прохорова).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
